- •1. Структура системы цос. Структура систем сбора данных
- •2. Аппроксимация наблюдений для линейных моделей, действительный и комплексный случай.
- •3. Модели сигналов на основе действительного и комплексного ряда Фурье Модели сигналов на основе действительного ряда Фурье
- •4. Интеграл Фурье. Свойства Интеграла Фурье
- •Свойства интеграла Фурье.
- •4. Преобразование Фурье для комплексной синусоиды оказывается равным- функции от частоты
- •5 Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова. Кажущиеся частоты и Противомаскировочная фильтрация.
- •6. Стационарные и эргодические сигналы. Оценки моментных характеристик для стационарных эргодических сигналов.
- •7 Дискретное преобразование Фурье для действительного и комплексного случаев.
- •8. Функции спектральной плотности мощности сигналов. Оценивание функции спм для стационарных эргодических сигналов
- •9. Разностные уравнения цифровых фильтров. Импульсно-переходные функции цифровых фильтров.
- •10. Передаточные функции цифровых фильтров. Передаточные функции на комплексной плоскости
6. Стационарные и эргодические сигналы. Оценки моментных характеристик для стационарных эргодических сигналов.
Стационарность случайных cигналов подразумевает неизменность их статистических характеристик во времени.
Случайный сигнал называется стационарным в узком смысле, если его - мерные функции закона распределения вероятностей для группы переменных, сдвинутых на время, совпадают и, таким образом, не зависят от времени сдвига
.
Случайный сигнал является стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени- ,, а его корреляционная (ковариационная) функция зависит от разности аргументов-,.
Стационарный сигнал является эргодическим, если нахождение его статистических характеристик может быть осуществлено усреднением по одной реализации с помощью интегрирования на конечном временном интервале длительностьюс последующим предельным переходом
, ,
, ,
, .
При дискретизации единственной реализации случайного стационарного эргодического сигнала ,,-число наблюдений сигнала, возможна запись оценокматематического ожидания и дисперсии в следующем виде: ,.
Оценка корреляционной функции представится как функция дискретного аргумента ,.
7 Дискретное преобразование Фурье для действительного и комплексного случаев.
Дискретное преобразование Фурье для действительного случая
y(i)=y(Ti) – действительные наблюдения.
i=0,1,…,N-1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. Фиксированные частоты ωk модели подчиняются соотношениям: .
Модель для полигармонического сигнала примет вид
.
Вектор параметров c, так же как и векторная базисная функция φ(Ti) будет иметь размерность (2N-1)
.
Оптимизируемый квадратичный функционал S(c,Y) и соответствующая стандартная задача оптимизации представляется следующим образом:
Введём векторно-матричные обозначения: вектор наблюдений размерности N. матрица плана сигнала размерности (N, (2N-1)) вектор параметров модели размерности (2N-1).
|
Оптимальные параметры модели с0 вычисляются путём решения системы линейных уравнений
.
Благодаря предложенному расположению частот в модели, базисные функции ортогональны. В этом можно убедиться, если произвести вычисления скалярных произведений для базисных функций, сводящиеся к табличным формулам:
Матрица A=XTX является диагональной, размерностью (2N-1,2N-1), коэффициенты Фурье b=XTY представляют собой взвешенные тригонометрические суммы:
|
,
Оптимальные коэффициенты модели выразятся через коэффициенты Фурье:
Дискретное преобразование Фурье для комплексного случая
Пусть y(i)=y1(i)+jy2(i) комплексные наблюдения, i=0,1,…,N-1. Комплексная модель для наблюдений имеет вид ,
где - коэффициенты комплексной модели,k=0,1,…,N-1, W – корень N-й степени из единицы:
Функционал S(c,Y) – мера близости комплексных наблюдений и модели, запишется с помощью комплексных сопряжений
Введём векторно-матричные переменные – вектор комплексных наблюдений Y размерности N, комплексную матрицу плана сигнала X размерности (N,N), вектор с комплексных коэффициентов ДПФ размерности N.
Матрица A=X*TX и вектор коэффициентов Фурье b=X*TY выразятся с использованием комплексных сопряжений. Коэффициенты ДПФ находятся из системы Ac0=b.
Базисные комплексные синусоидальные функции Wki ортогональны, и поэтому матрица А - диагональная.
Параметры комплексной модели
Вычислим остаточную сумму для оптимальных коэффициентов комплексного ДПФ. Подставим под знак суммы полученные выражения для коэффициентов c(k)
После перемены порядка суммирования убедимся, что имеет место равенство:
Из последнего следует: S(c,Y)=0. Остаточная сумма для данного функционала на оптимальных коэффициентах ДПФ равняется нулю – предлагаемая тригонометрическая модель с нулевой погрешностью аппроксимирует наблюдения. Имеем формулы прямого и обратного ДПФ: