8. Функции спектральной плотности мощности сигналов. Оценивание функции спм для стационарных эргодических сигналов
Функция спектральной плотности мощности сигнала (СПМ) определяет отношение части мощности сигнала в частотном диапазоне (ω, ω+dω) к величине частотного диапазона dω. Рассмотрим сигнал y(t), для которого прямое и комплексно-сопряженное прямое преобразование Фурье на интервале -T0/2≤t≤T0/2 представляются интегралами:
.
Энергия сигнала y(t) длительностью T0 в частотном диапазоне (ω, ω+dω):
.
Функция СПМ Pyy(ω) представляется в виде предела:
.
Пусть
вместо непрерывной функции задаёт
набор её дискретных наблюдений y(i),
i=0,1,…,N-1,
T
– интервал дискретизации. Интеграл
Фурье может быть представлен дискретной
суммой, являющийся, по существу, его
оценкой для заданной частоты
:
.
Оценка интеграла Фурье реализуется через коэффициенты ДПФ. Аналогичные формулы могут быть записаны и для сопряженных преобразований Фурье и сопряженных ДПФ. Поэтому оценка функции СПМ для фиксированных частот ωk может быть выражена через коэффициенты ДПФ при введенной дискретизации сигнала, T0=TN
.
Погрешность предложенной оценки функции СПМ сигнала обуславливается: заменой непрерывного сигнала на дискретный и конечностью интервала наблюдения. Точность оценивания будет повышаться при уменьшении интервала дискретизации и увеличении длительности времени наблюдения.
9. Разностные уравнения цифровых фильтров. Импульсно-переходные функции цифровых фильтров.
При
реализации цифровых фильтров (ЦФ)
предполагается , что задаются две
скалярные комплексные последовательности:
входная фильтруемая – y(i)=y(Ti),
и выходная, отфильтрованная – x(i)=x(Ti),
,Т
– интервал дискретизации. Разностные
(рекуррентные) линейные уравнения для
ЦФ, по которым входная последовательность
преобразуется в выходную, имеют общий
вид
Начало отсчета с n=0, для работы фильтра необходимо задать m начальных условий для выходной последовательности x(-1), х(-2),..., х(-m), а также должны быть известны k значений входной последовательности у(-1),..., у(-k). ЦФ полностью определяется набором коэффициентов разностного уравнения - весовыми параметрами b1,b2,…,bm, a0,a1,…,ak, и, соответственно, целыми числами m, k, определяющими порядок ЦФ. Выходной сигнал фильтра состоит из суммы сдвинутых и взвешенных значений входного сигнала - скользящего среднего входного сигнала и обратной связи - cуммы сдвинутых и взвешенных значений выходного сигнала.
С точки зрения вида
разностных уравнений ЦФ делятся па два
класса. Нерекурсивные цифровые фильтры
(НЦФ) - или фильтры скользящего среднего
.Сигнал
с выхода таких фильтров не зависит от
сигнала обратной связи.
Рекурсивные цифровые
фильтры (РЦФ)
;
в этих фильтрах выходной сигнал зависит
от сигнала обратной связи.
Чисто
рекурсивные фильтры, без скользящего
усреднения
Помимо рекуррентной связи входного сигнала с выходным для ЦФ возможно прямое выражение выходного сигнала в n-й момент времени через последовательность значений входного сигнала — запись без обратной связи. Введем весовые коэффициенты h(n,i), h0(n,i), которые всегда можно определить из разностных уравнений, запишем выходной сигнал РЦФ в виде взвешенной суммы
.
Функция двух переменных h(n,i), h0(n,r), определенная в дискретных точках, называется импульсно-переходной. Если начальные условия нулевые, то формула связи упрощается:
.
Выходной сигнал ЦФ с помощью импульсно-переходной функции нерекуррентным образом связывается со входным.