pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

Рассмотрим вначале систему автоматического регулирования влаж­ ности измельченной древесины, построенную по стандартному принципу регулирования по отклонению [21]. Ее структурная схема приведена на рис. 4.24.

Рис. 4.24. Схема системы автоматического регулирования влажности измельченной древесины

Сигналы с датчика температуры и влажности стружечной массы, соответственно х\ и х2, поступают в суммирующее устройство, которое вырабатывает сигнал х9 пропорциональный их взвешенной сумме: х = кххх+ к2х2. Значения коэффициентов к\ и к2 задают в зависимости от

требуемой степени влияния каждого из входных сигналов на процесс регу­ лирования. Суммарный сигнал х сравнивается с сигналом от задатчика, определяемым настройкой регулятора. Их разность через усилители воз­ действует на исполнительные механизмы, регулирующие количество и температуру топочных газов, подаваемых в сушильный барабан, а также на привод механизма подачи в него сырых стружек.

Принципиальным недостатком такого принципа регулирования яв­ ляется инерционность системы. Пусть в некоторый момент значения тем­ пературы и влажности стружечной массы отличаются от номинальных. Под действием системы регулирования эти параметры начнут изменяться в требуемом направлении через промежуток времени, складывающийся из продолжительности их измерения, продолжительности срабатывания ис­

полнительных механизмов, времени, за которое произойдут соот­ ветствующие изменения режимов работы сушильного барабана, и, что са­ мое существенное, времени, требующегося на то, чтобы эти изменения сказались на параметрах высушенной стружечной массы. Инерционность, таким образом, является чертой, присущей прежде всего самому техноло­ гическому процессу.

Эффективность управления можно повысить с помощью системы, прогнозирующей выходные характеристики объекта. Для этого система управления должна включать его математическую модель. Схема такой системы управления показана на рис. 4.25. Здесь X , у и й - векторы входных, выходных и управляющих параметров соответственно. В устрой­ стве управления УУ, содержащем ЭВМ, заложена модель объекта j> = F (X ,u) - символическое обозначение совокупности зависимостей вы­ ходных параметров от входных и управляющих воздействий. Для нагляд­ ности на рисунке модель выделена из устройства управления.

Рис. 4.25. Схема системы управления,	Рис. 4.26. Схема системы управления с
использующей математическую	адаптивной моделью объекта
модель объекта

Как видно из схемы, входное воздействие подается одновременно на объект, его модель и устройство управления. Модель прогнозирует зна­ чения выходных характеристик объекта, информация о которых поступает в устройство управления. Располагая ею, ЭВМ управляющего устройства решает задачу оптимального управления объектом, исходя из некоторого критерия оптимальности. В частности, это может быть задача нелинейного программирования. Вычисленные оптимальные значения компонент век­ тора й преобразуются в управляющие сигналы, которые поступают на входы исполнительных механизмов. Поскольку входные и выходные па­ раметры объекта изменяются с течением времени, управление системой необходимо осуществлять постоянно. Поэтому процесс решения оптими­

163

зационной задачи непрерывно повторяется с заданной периодичностью. Продолжительность расчетов оптимальных режимов на ЭВМ значительно меньше, чем время реакции объекта на изменение входных и управляющих воздействий, благодаря чему подобный принцип регулирования и управ­ ления является более совершенным по сравнению с предыдущим.

Выше уже говорилось о том, что процесс построения модели техно­ логического процесса достаточно сложен. Если же, как в данном случае, модель должна использоваться для оперативного управления объектом, то становится необходимым учитывать временной дрейф его параметров, ко­ торый может быть вызван самыми разнообразными причинами. Иными словами, модель должна быть адаптивной, т. е. подстраивающейся к ха­ рактеристикам реального объекта. На рис. 4.26 показана схема такой само­ настраивающейся системы. Коррекция параметров модели осуществляется в ней с помощью блока коррекции (БК). Предварительно задается структу­ ра модели, например, многочлен первого или второго порядка, и некото­ рые начальные значения ее параметров.

В блок коррекции поступают входные воздействия X , а также раз­ ность векторов выходных параметров объекта и модели: А = у - у м. С ис­ пользованием этой информации в БК вычисляются параметры модели.

Эту задачу решают, исходя из минимума суммы квадратов разно­ стей между величинами у и у м) полученными за время измерения. Вы­ числения периодически повторяются с учетом изменений во времени воз­ действий х и Д. В результате непрерывно корректируется модель, а вме­ сте с ней и процесс управления объектом.

Рассмотрим реализацию этого принципа управления, исполь­ зующего адаптивную модель, применительно к процессу регулирования температуры и влажности стружечной массы, подвергающейся сушке в сушильном барабане. Соответствующая система автоматического регули­ рования схематически изображена на рис. 4.27. Обозначения РУЬ РУ2, РУз на схеме соответствуют устройствам, регулирующим температуру tHi коли­ чество Q топочных газов, подаваемых в сушильный барабан, и скорость vc подачи в него сырой стружки. Эти факторы, а также влажность Wc сырой стружки включены в математическую модель объекта.

Простейшая линейная модель будет в данном случае содержать две функции - зависимости влажности W и температуры t сухой стружечной массы от исследуемых параметров:

	К = В 0+ BXWC+ B2vc + B3t4 + B4Q ;	(4.120)
	t»=B'0 +B{Wc + B ’2vc + B'3tH+B'4Q9	(4.121)
где	значения выходных параметров W и t, предсказанные моде­
	лью.

Рис. 4.27. Схема системы автоматического регулирования температуры и влажности стружечной массы, использующая адаптивную

модель объекта

Параметры W и t образуют вектор у выходных параметров объекта:

у = (W, г), а факторы Wc, vc, t4n Q - вектор X входных параметров:

X = (Wc,v c,t4,Q).

Функционирование блока коррекции не отличается от рас­ смотренного выше общего случая. Управляющее же устройство решает здесь относительно простую задачу стабилизации, т. е. поддержания зна­

чений выходных параметров: влажности W и температуры t стружечной массы на некоторых заданных уровнях W3 и t3. Для ее решения оно распо­ лагает информацией о значениях входных факторов Wc, vc, t4, Q и выход­ ных параметров WMи /м, рассчитанных на модели. Поэтому ЭВМ, имею­ щаяся в составе управляющего устройства, решает задачу минимизации функции:

ф =л, Ш - К ) 2+л2Е ( ^ - 0 2,

где Х\ и Л2- нормирующие множители, учитывающие относительную важ­ ность и требуемую точность стабилизации выходных параметров, а сум­ мирование проводится по всем моментам измерения входных и выходных величин.

Подставив в целевую функцию Ф выражения для WMи tM(4.120) и (4.121), можно сформулировать задачу регулирования данного процесса как отыскание значений входных переменных Wc, vc, tHи Q, обеспечиваю­ щих минимум целевой функции:

ф = - В о - W , - B2vc - B ,t4 - b 4q )2 +

+ Л2Х (/, -В'0 - B[WC- B’vc - B'3t4 - B'4q Y

при заданных диапазонах их варьирования и, возможно, некоторых допол­ нительных ограничениях. Значения входных переменных, найденные по результатам решения этой задачи, используются для управления исполни­ тельными механизмами подачи топлива в топку, а также поступления то­ почных газов и сырой стружки в сушильный барабан.

Самонастраивающиеся системы, работающие по рассмотренному выше принципу (см. рис. 4.26), называются беспоисковыми. Здесь пред­ полагается, что информации, получаемой от объекта в режиме естествен­ ного функционирования, достаточно для расчета параметров его модели и определения направления и величины изменения управляющих воздейст­ вий. В других случаях этой информации недостаточно. Недостающую ин­ формацию можно получить, если специально выводить систему из режима

ее естественного функционирования, фиксируя при этом значения вход­ ных и выходных параметров.

Для этого используют поисковые самонастраивающиеся систе­ мы. В них для отыскания параметров модели организуются дополнитель­ ные воздействия на объект, приводящие к так называемым пробным его движениям. Иными словами, устройство управления реализует на объекте планируемый эксперимент с целью получения математической модели объекта. Полученная модель используется этим же устройством для управления объектом. В данном примере варьируемыми переменными в таком эксперименте будут управляемые факторы Гч, Q и vc.

Широкое применение для управления технологическими про­ цессами нашли также поисковые самонастраивающиеся системы, в кото­ рых процедура поиска, т. е. организация упомянутых дополнительных воз­ действий на объект, непосредственно используется для оптимизации фукционирования системы с позиции достижения экстремума некоторого кри­ терия. Для этого обычно реализуется какая-либо из модификаций градиентного метода. По результатам пробных движений объекта устрой­ ство управления вычисляет компоненты вектора градиента для рас­ сматриваемого критерия оптимальности. Они используются для организа­ ции рабочих движений, т. е. изменения управляющих параметров, соот­ ветствующих перемещению в направлении градиента (в случае максими­ зации критерия оптимальности). В таких системах, которые называются

системами экстремального управления, не предполагается построение и использование модели объекта. В связи с этим все они имеют общий не­ достаток - относительно малое быстродействие.

167

Глава 5

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ДЕРЕВООБРАБОТКЕ

5.1.Сущность метода динамического программирования

5.1.1.Основные понятия. Принцип оптимальности

Динамическое программирование - это один из методов решения сложных задач оптимизации. Его существенная особенность состоит в раз­ делении исследуемого процесса на этапы (шаги). Этапы могут соответст­ вовать, например, различным периодам времени функционирования сис­ темы, отдельным узлам или участкам рассматриваемого объекта, различ­ ным стадиям технологического процесса и т. д. Для каждого этапа решает­ ся задача оптимизации. Таким образом, решение сложной исходной задачи сводится к решению ряда более простых оптимизационных задач, взаимо­ связанных друг с другом.

Эффективность решения задачи оптимизации на некотором z-м эта­ пе характеризуется величиной критерия оптимальности со,. Достижение экстремума этого критерия обеспечивается отысканием значений управ­ ляющих переменных - элементов решения. В задачах динамического про­ граммирования их называют управлениями. Управление на каждом шаге ui - это вектор, состоящий из совокупности некоторого числа т управ­

ляющих переменных:

В более сложных случаях компонентами вектора управления могут быть функции и даже качественные показатели, например: различные спо­ собы подготовки сырья, профили режущих инструментов, использование той или иной технологической схемы и т. п.

Предположим, что целевая функция W всей задачи определяется как сумма частных критериев по всем этапам процесса, т. е.

п	(5.1)
IF = 2 > ,,

где п - число этапов. Такой критерий оптимальности называется аддитив-

ным.

Пусть, например, предстоит осуществить реконструкцию деревооб­ рабатывающего предприятия в течение п лет. В начале каждого года пред­ полагается вкладывать в реконструкцию определенные средства. Ежегод­

ная прибыль предприятия зависит от объема средств, вложенных в его ре­ конструкцию в начале данного года. Требуется определить, сколько средств следует выделять на реконструкцию в начале каждого года при за­ данном их общем объеме, чтобы суммарная прибыль предприятия за п лет была максимальной. Сформулированная задача является простейшей зада­ чей распределения ресурсов. При решении ее методом динамического про­ граммирования естественно выделяются этапы, соответствующие первому году функционирования системы. Целевая функция на каждом этапе - прибыль, полученная предприятием в данном году. Величина критерия оп­ тимальности для всей задачи определится как сумма величин прибыли за все п лет. Управлением на каждом шаге будет единственная переменная - объем средств, вкладываемых в реконструкцию в начале каждого года.

Поэтапное решение задачи методом динамического программиро­ вания предполагает не обособленное, а взаимосвязанное рассмотрение этапов. Решение, принятое на каждом шаге, должно обязательно учиты­ вать последующее протекание процесса. Если этого не делать, а решать за­ дачу оптимизации на каждом этапе изолированно, исходя из получения максимума критерия оптимальности только на этапе, то решение всей за­ дачи оптимальным, как правило, не будет. Такая “близорукая” стратегия, в применении к предыдущему примеру, означала бы, что все средства вкла­ дываются в реконструкцию в первый же год.

Рис. 5.1. Схема метода динамического программирования

Проще всего начать решение задачи с оптимизации последнего, «-го, этапа, поскольку последующие этапы, которые следовало бы учиты­ вать при его оптимизации, отсутствуют. Вследствие этого в качестве кри­ терия здесь можно взять максимум целевой функции, или, как говорят, выигрыша, на данном шаге. Однако для решения этой задачи надо знать, чем закончился предыдущий (« - 1)-й шаг. Приходится делать об этом раз­ личные предположения и для каждого из них решать задачу. Каждое из полученных решений называется условным оптимальным управлением на «-м шаге, а соответствующее значение целевой функции - условным оп­

тимальным выигрышем.

Схематически этот процесс иллюстрируется на рис. 5.1. Состоянию системы после окончания последнего, «-го, шага соответствует точка Z. Предыдущий (п - 1 )-й шаг может завершиться в одном из состояний Yu Уъ 73,... Для каждого из них, рассматриваемых как исходные по отношению к «-му шагу, решается задача оптимизации, и отыскивается условное опти­ мальное управление. Обозначим его й ^ - для состояния Y\\ _ для Y2 и

т. д. На рисунке штриховые линии, соединяющие точки Yi и Z, соответст­ вуют некоторым допустимым, а сплошные - оптимальным управлениям. Затем выполняется условная оптимизация предыдущего (« - 1)-го шага. Для каждого из возможных состояний системы после его завершения (точ­ ки , Y2, ...) рассматриваются ее начальные состояния.

Например, для точки Yx выделены две точки, соответствующие со­

стоянию системы в начале (« - 1)-го шага: Х х и Х 2. Для каждой из них отыскивается условное оптимальное управление, переводящее систему в

следующее состояние. Обозначим его й^ - для точки Х х; - для точ­

ки Х 2 и т. д. Критерием оптимальности здесь является требование, чтобы

выигрыш на данном (« - 1)-м шаге в сумме с условным оптимальным вы­ игрышем, полученным на последнем шаге, оказался максимальным. В ре­ зультате для каждого возможного состояния системы в начале (« - 1)-го шага стали известными оптимальные управления на двух оставшихся ша­

гах. Для точки Х 3, например, это й^3\ на (« - 1)-м и й^2) на «-м шаге.

Следующая стадия - рассмотрение (« - 2)-го шага. Аналогично (« - 1)-му шагу, условное оптимальное управление здесь должно обратить в максимум суммы выигрыша на этом шаге и условного оптимального вы­ игрыша на всех оставшихся шагах: (« - 1)-м и «-м. Такой принцип выбора условного оптимального управления называется принципом оптималь­ ности. Он требует, по существу, чтобы управление, выбранное на каждом шаге, гарантировало оптимальное продолжение процесса, начиная с дан­ ного состояния.

Продолжение описанной процедуры в ее движении от конца к нача­ лу в конечном счете приведет в известное нам начальное состояние про­ цесса (точка Л на рис. 5.1). При этом в выражение для критерия оптималь­ ности на первом шаге войдет выигрыш, полученный на этом шаге, и опти­ мальный выигрыш на всех оставшихся шагах. Поэтому оптимальное управление, найденное здесь, является уже безусловным. Воспользовав­ шись им, мы узнаем, в какое состояние оно переводит систему по за­ вершении первого шага; например, точка В\ на рис. 5.1. Для этого состоя­ ния нам уже известно оптимальное управление на втором шаге и т. д. Та­ ким образом, на завершающей стадии процесс просматривают от начала к концу и выделяют на каждом шаге уже действительные, а не условные оп­ тимальные управления. Совокупность их будет решением задачи.

5.1.2. Задача о выборе кратчайшего маршрута

Имеется некоторое число пунктов на местности, связанных сетью дорог (рис. 5.2). Требуется найти кратчайший путь по этим дорогам из на­ чального пункта А в конечный пункт М. На рис. 5.2 имеющиеся дороги обозначены отрезками прямых, числа над ними - это расстояния между пунктами.

Рис. 5.2. Задача о выборе кратчайшего маршрута