pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

(/ = п - \ - 2), при хх = 22 найдем и2 = 2. Значит, во второй размерной группе будут бревна двух четных диаметров: 24 и 26 см. Третья группа включает оставшееся пи­ ловочное сырье трех диаметров: 28, 30 и 32 см (при л:/_1= 26; и*ъ = 3).

5.5.2.Задача оптимизации режимов работы для группы машин, входящих в состав станочной линии

Режимы работы нескольких станков, выполняющих ряд последова­ тельных операций в составе станочной линии, часто оказываются вза­ имосвязанными. В этом случае задача оптимизации режимов работы обо­ рудования намного сложнее, чем та же задача, рассматриваемая для от­ дельно взятой рабочей машины. Изложим на конкретном примере поста­ новку этой задачи и принцип ее решения с применением метода динами­ ческого программирования.

Рассматривается технологический процесс изготовления круглых палок. Станочная линия в этом процессе состоит из т одинаковых кругло­ палочных и N шлифовальных станков (рис. 5.4). Все круглопалочные стан­ ки работают в одинаковых режимах. Каждая заготовка обрабатывается сначала на одном из круглопалочных станков, а затем поступает последо­ вательно на шлифовальные станки. Обработкой на круглопалочном станке задаются необходимые размеры и форма детали. Обработка на шлифо­ вальных станках производится для последовательного повышения качества поверхности детали, т. е. для уменьшения ее шероховатости, характери­ зуемой максимальной высотой микронеровностей RmmsK на поверхности

детали.

Рис. 5.4. Схема станочной линии: KCi.. .КСОТкруглопалочные станки; IIlCi.. .ШС„ - шлифовальные станки

Каждый последующий шлифовальный станок имеет шлифовальную шкурку с меньшей зернистостью, поэтому качество детали, обработанной на нем, повысится. Заданное качество обработки достигается на последнем шлифовальном станке. Помимо зернистости d шлифовальной шкурки процесс ленточного шлифования определяется еще рядом независимых факторов. Среди них следующие управляемые факторы: скорость v, м/с,

192

предельная износостойкость 1 см2 шкурки рпр, см, (путь, пройденный шкуркой за все время ее работы), удельное давление шкурки на обрабаты­ ваемую деталь в зоне контакта q, Н/см2; величина снимаемого припуска /г, см. Процесс обработки детали на круглопалочном станке определяется лишь тремя управляемыми факторами: подачей на резец и ,, мм, частотой вращения шпинделя яшп, мин -1 и предельной износостойкостью режущего инструмента ZCT, км-

Требуется определить необходимое число круглопалочных и шли­ фовальных станков и рассчитать оптимальные значения перечисленных выше управляемых параметров, исходя из выбранного критерия минимума суммарной себестоимости обработки. При этом необходимо обеспечить заданное качество обработки поверхности деталей и заданную производи­ тельность станочной линии.

Исходя из подхода к задаче в рамках метода динамического про­ граммирования, обработку деталей на станках линии рассматривают как многошаговый процесс. Состояние системы после первого шага связыва­ ется с обработкой на круглопалочном станке, состояние после второго, третьего и т. д. шагов характеризует обработку детали соответственно на

первом, втором и т. д. шлифовальных станках.
	Вводится двухкомпонентный вектор фазового состояния
xi =	х-2)) для каждого шага i. Первая компонента	характеризует

качество обработки после z-ro шага, т. е. после (z-l)-ro шлифовального станка, если z > 2, или после круглопалочного станка, если i = 1. Примем в

качестве я:.-1* величину х,(1) = 1 / Rm			. Здесь R m	максимальная высо-
1	I	т ах i	m max i
та микронеровностей на поверхности детали после z-го шага.
Обозначим через Я,	(деталей за смену) производительность круг­

лопалочного станка, а через Я 2, Я3,..., Пп - производительности соответ­ ствующих шлифовальных станков. Здесь п = N + 1. Это число этапов про­ цесса, т. е. число станков, на которых проходит обработку каждая из дета­ лей. Требование отсутствия простоев оборудования обеспечивается огра­ ничением

ПХ> П 2 > ...> П П.

(5.31)

В качестве второй компоненты jc-2) вектора фазового состояния х( рассмотрим время, необходимое для обработки одной детали на первых i

станках. Очевидно = Г /Я ,, где Т - продолжительность смены, мин.

С учетом уравнения (5.31) х\2) =Т1ПХ+Т1П2 + ... + Г /Я ,. Следова­ тельно,

*‘2>=*<?>+туя,.. (5.32)

Полное время обработки одной детали на всех п станках равно

x ™ = T ± l / n t .

г=1

Пусть сменное задание состоит в обработке птдеталей. Найдем вре­ мя t его выполнения:

t = T /n x+Т /П 2 + ...Т/П п_х+ птТ /Л п = + (пт- 1)Т/П„ .

Сменное задание будет выполнено, если / < Т , т. е.

	—) <т.
	П
	±х п
Для первой компоненты	вектора xt на последнем шаге должно
выполняться условие	, где х$н соответствует требуемому классу

качества обработки поверхности детали. Последними двумя неравенствами задается множество конечных состояний системы хкон.

Вводится вектор управления , / = 1, 2,..., п. На первом шаге он со­ стоит из трех компонент, относящихся к режимным параметрам круглопа­ лочного станка Щ= (и2, пшп, 1ст).

На втором и последующих шагах вектор щ состоит из пяти компо­ нент - режимных факторов шлифовальных станков: й( = [q9d 9h, v, p ^ ) при

i> 2. Целевая функция задачи представляет собой переменную долю себе­ стоимости обработки, равную сумме величин себестоимости по всем эта­ пам процесса, и является аддитивной функцией. Выражение для целевой функции на каждом шаге, т. е. для круглопалочного и каждого из шлифо­ вальных станков, получено из общей формулы (4.50). Аналогичным обра­ зом, исходя из формулы (4.56), найдены выражения для производительно­ сти каждого вида оборудования.

Обобщение результатов технологических исследований позволило также найти выражения для параметра RmmaKj, характеризующего качество

обработки в зависимости от компонент векторов фазового состояния и управления на каждом шаге. Эти выражения вместе с формулой (5.32) оп­ ределяют переход системы из очередного состояния в последующее. С ис­ пользованием полученных соотношений для данной задачи составлено ос­ новное функциональное уравнение динамического программирования. В результате удалось свести ее решение к решению последовательности за­ дач нелинейного программирования небольшой размерности [26].

194

5.5.3. Задача о замене оборудования

Процесс эксплуатации оборудования сопровождается его старени­ ем, в ходе которого снижается производительность, увеличиваются затра­ ты на ремонт и обслуживание. В какой-то момент оказывается более вы­ годным продать устаревшее оборудование и заменить его новым. Таким образом, возникает задача определения оптимального срока эксплуатации оборудования, по истечении которого его следует заменить.

Предположим, что для данного вида оборудования известны зави­ симости следующих характеристик от времени t его эксплуатации: стоимо­ сти производимой за год продукции /( /) ; ежегодных затрат на эксплуата­ цию, включая ремонты r{t)\ ликвидной стоимости оборудования, т. е.

стоимости, полученной в результате его продажи, \|/(/). Известна также

начальная стоимость оборудования р. Определим рациональный срок Т* службы оборудования, при котором средняя величина ежегодной прибыли от его эксплуатации будет максимальна. Решение этой задачи не составля­ ет трудностей. Величина прибыли 77 за Г лет эксплуатации оборудования равна, очевидно,

/7 = /( l) + /( 2 ) + ... + /(7 ’)+ V(7’) - Jp - [ r ( l) + r(2)+ ... + r(r)], (5.33)

где/(1 ),/(2 ),... - это стоимость продукции, произведенной в 1-й, 2-й,..., п-й год его эксплуатации; \{/(7) - ликвидная стоимость при продаже обо­ рудования по истечении Т лет эксплуатации. Средняя величина ежегодной прибыли равна

Пер = П /Т ,	(5.34)
где 77 определяется по формуле (5.33). Искомую величину Т*	получим,

взяв производную по Т от выражения для # ср и приравняв ее нулю.

Рассмотрим сначала наиболее простой случаи. Пусть характеристи­ киf{t) и \|/(/) не зависят от t, т. е. /( /) = / ; \|/(/) = \}/, а функция r(t) явля­ ется линейной: r(t) = а + bt, где а и b - некоторые константы. Тогда выра­ жение (5.34) для средней ежегодной прибыли Яср с учетом (5.33) примет

вид

П'9 = { Т / + у - р - а Т - Ъ { \ + 2 + ... + Т)}1Т.

Воспользовавшись формулой для суммы членов арифметической прогрессии, получим

ср J

Т

2

Взяв производную по Т от этого выражения и приравняв ее нулю, после простых преобразований найдем

r* = V 2 (p - v )/* .

При решении задач о замене оборудования часто приходится учи­ тывать те или иные проявления технического прогресса. Так, со временем система технического обслуживания может улучшаться, что приведет к снижению уровня расходов на эксплуатацию; оборудование может заме­ няться не идентичным, а более совершенным и т. п. Задача в этом случае оказывается более сложной и формулируется несколько по-иному.

Рассмотрим достаточно большой промежуток времени из п лет, в течение которого оборудование заведомо будет неоднократно заменяться. Будем считать, что решение о замене или о продолжении эксплуатации оборудования может быть принято в начале любого /-го года, / = 1,2 Характеристики оборудования, f \j/, г, зависят теперь уже не только от продолжительности t его эксплуатации, но и от года /, в котором эта экс­ плуатация производится, т. е. / = /■(/); Г = ГМ \ V = Стоимость р

оборудования также зависит от года /, в начале которого оно введено в

эксплуатацию: р = р г Требуется определить, в какие именно годы внутри рассматриваемого промежутка в п лет следует заменять оборудование, ру­ ководствуясь критерием максимума суммарной прибыли, полученной за все это время. Очевидно, что теперь не следует ожидать одинаковых про­ межутков времени эксплуатации оборудования из-за изменения его харак­ теристик. Одним из эффективных методов решения этой задачи является метод динамического программирования.

Пусть деление процесса на этапы совпадает с естественным делени­ ем рассматриваемого промежутка времени на годы. Всего, следовательно, имеем п этапов. Состояние системы в конце каждого /-го этапа (года) оп­ ределяется единственной фазовой координатой х{. В качестве xt возьмем время t, прошедшее от начала эксплуатации оборудования, функциони­ рующего в данный момент, до момента окончания /-го года: x{ = t . Пусть, например, на шестом году функционирования системы работает оборудо­ вание, установленное в начале четвертого года. Тогда хв = 3 . Управление ui на каждом шаге в данной задаче представляет собой не количествен­ ный, а качественный параметр и заключается в принятии одного из двух возможных решений: продолжать эксплуатацию имеющегося оборудова­ ния либо заменить его новым. Поэтому будем считать, что переменная и, может принимать на каждом шаге одно из двух значений: ui - , что со­ ответствует решению продолжать эксплуатацию оборудования, или и- = мпр, означающее решение продать имеющееся оборудование и купить взамен новое.

Выведем теперь соотношения вида (5.5), определяющие переход системы в каждое последующее состояние. Очевидно, что при управлении ui = иэ время эксплуатации оборудования к концу z-rо года увеличится по сравнению с моментом окончания предыдущего года на один год, т. е. Xj = *,_! +1. Другой случай, иг = ипр, означает, что к началу z-ro года будет

установлено новое оборудование, которое к концу этого года проработает ровно год, поэтому xiг= 1. Таким образом,

,	, f я:м +1	при и- = и ;	(5.35)
xi=<P\xi-\)= \[ \1		при М,.=Мпр.
Найдем выражение для целевой функции на i-м шаге со.			и.),
входящее в состав основного	функционального уравнения (5.10).		При

Uj = иэ прибыль, полученная за z-й год, определяется как разность между стоимостью продукции, выработанной за этот год, и годовыми эксплуата­ ционными затратами, т. е. будет равно

/Л*.)-г,-(*()

или, с учетом выражения (5.35),
°>i tar“.)=fi U-i+!J-■rt U-i+	(5-36)

Если же ut = мпр, то в выражение для со. войдут со знаком плюс, ве­

личина стоимости продукции за первый год работы нового оборудования, то есть /•( 1), и ликвидная стоимость старого оборудования к моменту его

замены v|/._j		со знаком минус - стоимость нового оборудованияр { и
эксплуатационные затраты за первый год эксплуатации г t (l):
' '	'	1 / ( O + ^ - i U - i j - A - ' • / ( 0 п р и «, = « п р -
Теперь определены все зависимости, входящие в основное функ­
циональное уравнение, которое для данной задачи имеет вид
		(хм )] }•	(5.38)
		щ

Выражение для функции шДх,..,,wj здесь определяется формулой

(5.37), а для функции <?>(*:,_,) - формулой (5.35).

Осталось рассмотреть процедуру оптимизации последнего, «-го, шага. Предположим, что по окончании периода в п лет оборудование, ко-

торое работало на последней стадии процесса, продается, а его ликвидная стоимость добавляется к величине общей прибыли. Тогда

= шах «	при щ =иэ;
	(5.39)
	при W, =нпр.

Представляет практический интерес и модификация рассмотренной задачи, в которой наряду с оптимальными сроками эксплуатации оборудо­ вания определяется и оптимальное время проведения его ремонтов. В этом случае предполагаются известными затраты на ремонт, а также характери­ стики оборудования после его проведения. Управление на каждом шаге теперь состоит в принятии одного из трех решений: 1) продолжать экс­ плуатацию оборудования; 2) отремонтировать его, после чего продолжить эксплуатацию; 3) заменить данное оборудование новым.

5.4.Задачи оптимального управления в деревообработке

5.4.1.Общие сведения и примеры задач оптимального

управления

Постановка задачи оптимального управления была дана в п. 5.2 применительно к дискретным задачам: предполагалось, что переменные управления принимают лишь дискретный набор значений. Ниже рассмат­ риваются непрерывные задачи оптимального управления динамическими процессами, т. е. процессами, функционирование которых рассматривается во времени. При этом объект исследования описывается дифференциаль­ ными уравнениями, а переменные управления являются функциями вре­ мени. В деревообработке это относится, например, к оптимальному управ­ лению исполнительными механизмами деревообрабатывающих станков, управлению процессами сушки пиломатериалов, прессования ДСтП и ДВП. Для решения непрерывных задач оптимального управления также можно использовать идеи динамического программирования. Однако бо­ лее эффективно в данном случае применение другого математического ап­ парата - принципа максимума Понтрягина.

Предварительно поясним на простейшем примере смысл понятия “управление” для непрерывных систем. Пусть управляемый объект - авто­ мобиль. Рассмотрим случай его прямолинейного движения. Состояние ав­ томобиля как движущегося тела характеризуется в каждый момент време­ ни двумя числами: пройденным расстоянием S и скоростью v. Каждая из этих величин меняется во времени, т. е. S и v - функции аргумента t: S = S{t)\ v = v(r). Изменение параметров v и S не произвольно, а зависит

198

от заданной водителем силы тяги двигателя F. Таким образом, имеем три параметра, характеризующие данный объект. Два из них, S и v, определяют состояние объекта и называются фазовыми координатами. Третий пара­ метр, F, - параметр управления. Если рассматривать движение автомобиля не по прямой, а по плоскости, то фазовых координат будет уже четыре: две компоненты положения и две составляющие скорости. Параметров управ­ ления будет два; например, сила тяги F и угол поворота руля.

Рассмотрим несколько примеров постановки непрерывных задач оптимального управления в деревообработке.

Пример 1. Управление операцией обрезки досок на фрезерно-обрезном станке. Подвижные фрезы фрезерно-обрезного станка устанавливаются системой гид­ ропривода в требуемое положение, определяемое шириной выпиливаемой обрезной доски. Длительность перемещения фрез должна быть минимальна. Это позволит уменьшить общую продолжительность времени обрезки доски, а следовательно, увели­ чить производительность операции. Таким образом, имеем задачу о предельном быст­ родействии.

Горизонтальное перемещение фрезы вместе с подвижной частью гидропривода в направлении, перпендикулярном к оси доски, описывается вторым законом Ньютона:

(5.40)

где xi - величина перемещения;

М- масса перемещающегося узла;

#в - коэффициент вязкого трения; RT.н - сила трения в направляющих

F - суммарная сила, действующая на поршень,

		F - p tS 1—Р2&2 »
где р\ и р2	-	давление соответственно в правой и левой частях гидроцилиндра;
S1 WS2	-	площади эффективной части поршня справа и слева.

Пусть фреза должна перемещаться от начального положения х]и до конечного

х1к. Обозначим скорость перемещения dxxj dt через х2. Тогда дифференциальное уравнение второго порядка (5.40) эквивалентно системе двух дифференциальных урав­ нений первого порядка:

		(5.42)
М —	t- +H ,x2 +RT„ = F
у .	L	Т.Н

где хх и х2 - фазовые координаты; F - параметр управления. Требуется так выбрать закон изменения управляющего воздействия F, чтобы длительность перестановки фре­ зы из начального положения х1н в конечное х1к была минимальна. При этом следует учесть ограничение на допустимый предел изменения величины F:

(5.43)

Пример 2. Управление механизмом совместного перемещения стоек на те­ лежке ленточнопильного станка. С помощью этого механизма бревно перемещается по направлению к пиле на толщину отпиливаемого материала. Управление осуществ­ ляется системой электропривода с двигателем с независимым возбуждением. Основное уравнение динамики привода -

(5.44)

гдеМда - момент вращения двигателя; Мс - момент сопротивления;

Лр - момент инерции вращающихся частей, приведенный к оси ротора двигателя; со - угловая частота вращения ротора;

со -d(p / dt,

(р - угол поворота ротора.

Управление в данном механизме осуществляется изменением тока возбужде­ ния / в. В этом случае момент вращения пропорционален току возбуждения:

(5.45)

Требуется за минимальное время переместить стойки с бревном из заданного начального положения на определенное расстояние. От этих координат можно перейти к заданным начальному и конечному положению угла поворота ротора - соответствен­ но (рн и <рк.

Ограничения задачи: 1) ток возбуждения не должен превышать максимального значения | / в | < / в тах; 2) ограничивается начальное ускорение ротора двигателя:

шах •

Пример 3. Оптимальное управление процессом сушки пиломатериалов. В

процессе сушки пиломатериалов в сушильной камере циркулирует сушильный агент - горячий воздух. Кроме того, подачей насыщенного пара обеспечивается регулирование влажности. Распределение влажности древесины в процессе сушки по толщине пило­ материала х и по времени t (0 <t <Т) описывается дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка (уравнением влагопроводности)

где w - безразмерная влажность, называемая также влагосодержанием, w - W / 100; W - влажность в процентах;

а' - коэффициент влагопроводности.

Предположим, что начальное (при t = 0) распределение влажности по толщине пиломатериала является равномерным, т. е.

”4 = 0,x)=Wh = const.

(5.47)

Задана также начальная температура пиломатериалов тн. Граничные условия, определяющие связь с параметрами сушильного агента на границах пиломатериала, определяются выражением

где wn - влажность на поверхности; wp - равновесная влажность;

а - коэффициент влагообмена;

р0 - плотность сухой древесины;

п - индекс поверхности пиломатериала.

Приведенное уравнение (5.46) и граничные условия (5.48) записаны для про­ стейшего случая: одномерного и изотропного материала - пластины. Уравнения про­ цесса сушки с учетом многомерности и анизотропии пиломатериалов имеют значи­ тельно более сложный вид.

Основное ограничение связано с опасностью растрескивания материала при повышении напряжения в поверхностной зоне с пов до уровня предела прочности пи­

ломатериала а пр. Величины а пов и а пр зависят от времени /, влажности w и темпера­ туры т, то есть а пов = а пов (г, w, т); а пр = o np (г, w, т). Рассматриваемое ограничение по­ этому имеет вид

°п р ('. *)- 5 П0В(t, W, т) > Д ,,

(5.49)

где Aj - заданный запас прочности, обусловленный изменчивостью свойств древеси­ ны. Аналогичное ограничение имеется и для внутренних зон пиломатериала:

°п р ('> * ' > ' ■ ) - Д 2-

( 5 -5 ° )

Необходимо, кроме того, учесть ограничение на эксплуатационную прочность пиломатериалов оэ, связанное с тем, что эта величина зависит от длительности температурно-влажностного воздействия а э = а э (/, w, т). Оно имеет вид

(5.51)

где - наименьшее допустимое значение эксплуатационнойпрочности.

Таким образом, фазовой координатой процесса является влажность w, а управ­ ляющих воздействий два: температура сушильного агента х и степень насыщенности сушильного агента водяными парами (р. Требуется так выбрать законы изменения управляющих воздействий во времени т = f\ ( t ) и ср = / 2 (/), чтобы за минимальное время достичь требуемого значения конечной влажности wK. При этом должны быть учтены условия (5.47) - (5.51), а также ограничения на управляющие функции:

	А\ <x = f ]( t)< A 2> Л з < ф = / 2(0 —А 4.	(5.52)
Во всех рассмотренных задачах проявляются одни и те же харак­
терные особенности.
1.	Состояние управляемого объекта в каждый момент времени зада­
ется совокупностью п переменных, называемых фазовыми координатами:
х 19	хп. Они зависят от времени: x t = х Дг), i = 1, 2 ,...,	п. Геометриче­