pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

ски состояние объекта можно рассматривать как точку х в «-мерном про­ странстве этих переменных. Ее координаты: х = {х ]ух2,...,х п). Такое про­

странство называется фазовым. При п = 2 имеем фазовую плоскость

(рис. 5.5).

2. Движение объекта, т. е. изменение фазовых координат происхо­ дит не самопроизвольно: объектом можно управлять, т. е. воздействовать на изменение фазовых переменных с помощью группы управляющих воздействий щ, и2,..., иг , являющихся, как и фазовые переменные, функ­ циями времени. Значения этих параметров можно с течением времени ме­ нять по своему желанию. Для наглядности можно считать, что объект снабжен “рулями”, положения которых в каждый момент времени харак­ теризуются числами щ ,и2,...,и г . Совокупность параметров управления образует вектор управления й = (щ, и2,..., иг).

Рис. 5.5. Фазовая	Рис. 5.6. Различные траектории
плоскость	в фазовой плоскости

3.Функционирование объекта во времени описывается системой дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производ­ ных.

4.Требуется перевести систему из одного состояния в другое. При этом среди множества способов перевода системы из начального состоя­ ния хн в конечное состояние хк (рис. 5.6) необходимо выбрать единствен­

ный наилучший. Данная задача, следовательно, является задачей оптими­ зации.

5. Значения фазовых переменных для каждого момента времени од­ нозначно определяются начальным состоянием системы и значениями па­ раметров управления. В выборе этих значений в функции времени и со­ стоит задача оптимального управления.

6.В качестве критерия оптимальности выбирают некоторую функ­ цию, зависящую от координат состояния и управляющих воздействий, ко­ торые, в свою очередь, являются функциями времени. (Зависимость между некоторым параметром и одной или несколькими функциями называется функционалом.) Как и в рассмотренных выше задачах оптимизации, в ка­ честве критерия оптимальности могут быть выбраны различные техниче­ ские или экономические показатели процесса. Критерий оптимальности часто имеет вид определенного интеграла от фазовых координат и управ­ ляющих воздействий. В отличие от всех рассмотренных выше оптимиза­ ционных задач, оптимальное решение здесь - это не число и не совокуп­ ность чисел, а некоторая функция - траектория в пространстве фазовых ко­ ординат.

7.По условиям задачи значения всех переменных, т. е. фазовых ко­ ординат и управляющих воздействий, ограничены. Во многих случаях оп­ тимальное решение как раз и достигается на границе области допустимых значений для управляющих воздействий.

5.4.2.Математическая постановка задачи оптимального

управления. Принцип максимума

Объект управления описывается системой п дифференциальных уравнений

= f i{ x i>x2 ,---yxn;ul,...,u r'j,			i = \,...,n ,	(5.53)
a t
где x ]9xl9...9xn - фазовые переменные;		г/,,..., иг -	управляющие воздейст­
вия. И те и другие являются функциями времени: *, = *,(/),				Uj=Uj(t).
Введем вектор координат х	хп)	и вектор управляющих воздейст­

вий w=(w,,..., wr), называемый управлением. Управляющие воздействия принадлежат ограниченной области Q: w (/)eQ . Будем считать, что век­ тор й = (и 19 и2,..., иг) может находиться не только внутри области £1, но и

на ее границе. Такая область называется замкнутой.

Предположим далее, что имеется техническая возможность мгно­ венно изменять положения органов управления. Следовательно, значения управляющих воздействий Uj(t) могут меняться скачком. В соответствии

с этим будем рассматривать не только непрерывные управления й (/), но и управления, состоящие из конечного числа непрерывных кусков (рис. 5.7). Такие управления называются кусочно-непрерывными.

203

Рис. 5.7. Кусочно-непрерывное управление

Фазовые координаты принадлежат ограниченной и открытой облас­ ти S. Даны начальное (при t = 0) и конечное (при t =Т) значения вектора фазовых координат: х (о )= х н ={х1№,х 2н,...,х пи) и х (Т )= хх =(я:1к,...,х ж),

где Т - время процесса. Критерием оптимальности является достижение экстремума функционала

т

J= \fo {x ,u )d t.

0

Требуется из класса кусочно-непрерывных управлений выбрать такие w (/)eQ , чтобы при переходе из начальной точки Зсн в конечную Зск функционал J достигал экстремума (возможны различные варианты постановки этой задачи, когда начальная и конечная точки, а также вре­ мя Т не фиксированы).

Решение поставленной задачи основано на принципе максимума Понтрягина. Рассмотрим его для важного частного случая, когда реша­ ется задача о предельном быстродействии. Здесь требуется найти такое управление, при котором время перехода системы из начального состоя­ ния в конечное должно быть минимально. Соответствующий этому слу-

т

чаю функционал J можно записать в виде J - jd t, причем время Т не

о

фиксировано.

Сущность принципа максимума для решения этой задачи состо­ ит в следующем. Для управляемого объекта, описываемого системой уравнений (5.53), вводятся дополнительно функции времени Ц /^), \|/2 \|/„(0 и составляется новая функция Я вида

# =Vi (*)/i (*.«)+V2(')Л (*>«)+••• + (О/* f r «) • (5-54)

204

С помощью функции Н записывается следующая система диффе­ ренциальных уравнений для вспомогательных функций \|/j (/), \|/2 (/)>•••>

	d t y i / d t = -d H /d x n / = 1,2,..„и .			(5.55)
Для отыскания оптимального управления u(t) и соответствующей
траектории 3c(f) необходимо:
1)	найти ненулевую	совокупность	функций у ^ ) ,...,	\|/„(/)>
удовлетворяющих системе (5.55);
2) чтобы функция # =		п	достигала максимума по й
		М/1 (*> й)
при каждом значении 0 < t < T \		i=i
3)	чтобы при t = Т выполнялось условие шах Я (\|/(7,),Зс(г))>0.
Оказывается, что при выполнении условий 1 и 2 функция m axi/ (t)				посто-
			ие Q

янна, так что достаточно проверить справедливость условия 3 для любого момента времени 0 < t < Т .

5.4.3. Пример решения задачи оптимального управления

Обратимся к решению задачи оптимального управления фрезерно­ обрезным станком, сформулированной в п. 5.4.1. Рассмотрим систему (5.41), (5.42), описывающую данный объект, при следующих упрощающих предположениях: масса М равна 1; коэффициент вязкого трения Hs и сила трения в направляющих равны нулю. Управляющее воздействие F обозна­ чим через w, а его максимальное значение через итах. Тогда уравнения дви­ жения объекта (5.41).. .(5.43) примут следующий вид:

dx xl dt = x2\	d x 2/ dt = u\	(5.56)
“ “ max ^ “ ( 0	^ “ m a x '	( 5 -5 7 )
Требуется решить задачу о предельном быстродействии: переходе
системы из начального состояния (*i(0) = *,H;x2(0) = *2н = 0)		в конечное
состояние ( хх(Т) = хХк; х2( Т) = х2к = 0).	Это означает, что система из за­

данного начального положения хХн с нулевой начальной скоростью (х2н) должна за минимальное время перейти в заданное положение хХк и остано­ виться там (*2к=0)-

Функция Н в данном случае имеет вид

Н = \\fxx2 + \|?2и

(5.58)

в соответствии с уравнениями (5.54) и (5.53). Согласно уравнению (5.55) име­ ем следующую систему уравнений для вспомогательных функций \j/j и \|/2:

dvj/j/df = - дН / дхх=0; d\\f2/d t = - д Н / д х 2 = —\j/j .

Отсюда \j/j = сх; \|f2 =c2 - c xt, где Cj и с2 - постоянные интегрирования.

Функция Н равна Н = с хх2 +[ с 2 - c xt) и . С учетом ограничения (5.57)

найдем, при каких управляющих воздействиях u(t ) достигается максимум

функции Н. Из выражения (5.58) видно,		что следует принять u(t) = umax
П рИ У 2 ( * ) > ® И WM = _ и тах Щ 511 ^ 2	( 0 < 0	> Т 0 еС Т Ь
“ (0= «max Sgn	(0 = «шах Sgn (с2 - С, t).		(5.59)

Максимальное значение функции Я равно

тахЯ (?) = С!л:2 +итах(с2 - с 2 f)sgn(c2 - с,?).

Проверим выполнение условия 3-го принципа максимума. Как от­ мечалось, справедливость его достаточно проверить для любого момента времени 0 < t < T . Удобнее это сделать для t = 0:

max Я (0)= с1х2(0) + мтах с2sgnс2 = к тах| с21>0. ue Q

Условие 3, следовательно, выполняется.

Рис. 5.8. Оптимальный процесс при > 0 и с2 > 0

Таким образом, как видно из выражения (5.59), оптимальное управ­ ляющее воздействие в любой момент времени равно одному из двух своих предельных значений: +wmax или - wmax. Поскольку функция (c2 - c xt )

меняет знак не более одного раза, оптимальное управление состоит не бо­ лее чем из двух интервалов, на каждом из которых оно постоянно.

Значения констант сх и с2 определяются из граничных условий. На рис. 5.8 показан оптимальный процесс для случая, когда сх и с2 положи­ тельны.

207

Глава 6

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

6.1.Предмет теории массового обслуживания

Рассмотрим, что общего между следующими процессами: поток де­ талей поступает на станок в обработку; оператор анализирует качество до­ сок, проходящих по конвейеру; выходящие из строя узлы отправляют в ремонт; продавец обслуживает приходящих в магазин покупателей; лесо­ возные автомобили или суда разгружают в пунктах назначения.

Во всех перечисленных случаях мы имеем дело с широко понимае­ мым процессом обслуживания, в котором выделяются: 1) система массо­ вого обслуживания (СМО), выполняющая требуемые операции - это ста­ нок, на котором обрабатываются детали, продавец, обслуживающий поку­ пателей, оператор и т. д.; 2) объекты, нуждающиеся в услугах или в вы­ полнении работ. Они называются заявками или требованиями. В приведенных примерах это: детали, поступающие на обработку; доски, на­ правляемые на сортирование; покупатели; суда, ожидающие разгрузки, ит. д.

Почти всегда заявки поступают в СМО в случайные моменты вре­ мени. Если заявки поступают слишком часто, то им приходится ожидать обслуживания, т. е. возникает очередь, либо в других условиях они поки­ дают систему, оставаясь необслуженными. Если, напротив, заявки посту­ пают редко, то СМО значительное время простаивает. Методы теории мас­ сового обслуживания позволяют определить такие параметры, характери­ зующие эффективность функционирования СМО: среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени; среднее время об­ служивания заявки в системе - в очереди и в ходе обслуживания; среднее число заявок в очереди; среднее относительное время простоя системы

идр. При этом предполагаются известными характеристики потока заявок

идлительности обслуживания. В конечном счете могут быть получены ре­ комендации в отношении оптимизации работы СМО путем, например, увеличения или уменьшения числа каналов обслуживания.

6.2. Системы массового обслуживания с неограниченной очередью

Рассмотрим задачу о загрузке оператора, для решения которой ис­ пользуются методы теории массового обслуживания. Пусть детали, изго­ тавливаемые одновременно на нескольких фрезерных станках, поступают к оператору, который сортирует их по качеству. Нас будут интересовать

параметры, характеризующие эффективность работы этой СМО. Прежде всего следует определить характеристики потока заявок, поступающих в систему; в данном случае - сортируемых деталей.

Предположим, что справедливы три допущения, существенно уп­ рощающие задачу:

1) статистический закон поступления заявок в систему одинаков в любые периоды времени; например, в начале и в конце рабочего дня, в разные дни недели. Поток заявок, для которого это условие справедливо,

называется стационарным;

2)в систему никогда не поступают одновременно два или более требований - условие ординарности потока заявок;

3)заявки прибывают в систему независимо друг от друга - условие отсутствия последействия. Это условие для рассматриваемого нами объ­ екта не будет выполняться, если, например, детали изготавливаются по­ следовательно на одном и том же оборудовании и сразу же поступают на сортирование. Тогда интервал времени между любыми двумя деталями, поступающими на сортирование, не может быть меньше, чем минимальное время обработки изделия, и, следовательно, имеет место упомянутое по­ следействие. Если, однако, минимальный интервал между заявками значи­ тельно меньше среднего интервала между их поступлениями, то последей­ ствием иногда можно пренебречь.

Пусть собраны статистические данные, обработка которых позво­ лила рассчитать среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени. Эта величина называется интенсивностью потока заявок и обозначается через X. В нашем примере X - это среднее число деталей, по­ ступающих на сортирование за одну минуту. Предположим, что эта вели­ чина равна 4.

Поток заявок, обладающий тремя перечисленными выше свойства­ ми - стационарности, ординарности и отсутствием последействия, - назы­ вается простейшим, или пуассоновским. В теории вероятности доказано, что для такого потока можно рассчитать вероятность того, что за время t в систему придет п заявок, по формуле

Это статистическое распределение называется распределением

Пуассона с параметром Xt.

Теперь надо установить закон продолжительности обслуживания; в данном случае - затрат времени на сортирование деталей. Будем считать, что для времени Т обслуживания одной заявки, являющегося случайной величиной, справедливы все те же условия стационарности, ординарности и отсутствия последействия, что и для потока заявок, поступающих в сис­ тему. Тогда можно доказать, что эта случайная величина имеет так назы­ ваемое показательное распределение. Это означает, что вероятность того,

что время Т обслуживания одной заявки примет значение, меньшее, чем /,

равна 1 - е_ц/. Величина ц, входящая в эту формулу, представляет собой среднее число заявок, которое обслуживает система за единицу времени, будучи все время занятой. По аналогии с X, она называется интенсивно­ стью потока обслуживания. Обратная величина - это среднее время об­ служивания одной заявки = 1 / ц .

Предположим, что в нашем случае среднее число деталей, которые оператор успевает рассортировать за 1 мин, равно ц = 5. Соотношение Х< ц, которое в данном случае имеет место, является необходимым для то­ го, чтобы в системе установился стационарный режим, характери­ зующийся постоянством статистических характеристик работы системы. Противоположное неравенство X> \i означало бы, что система не справля­ ется с обслуживанием заявок. В этом случае очередь заявок, ожидающих обслуживания, теоретически возрастала бы до бесконечности. При X = ц стационарный режим будет наблюдаться, только если поток заявок регу­ лярный, т. е. они появляются на входе системы через строго одинаковые промежутки времени, а продолжительность обслуживания - тоже детер­ минированная величина, в точности равная интервалу времени между при­ ходом соседних заявок. В дальнейшем нам понадобится величина р = Л/|х,

называемая приведенной интенсивностью потока заявок. В примере она равна р = 4/5 = 0,8.

Рассматриваемая нами система обслуживания относится к однока­ нальным СМО с неограниченной очередью. Для нее, а также для всех СМО, о которых пойдет речь ниже, будем полагать, что поток заявок явля­ ется простейшим, а время обслуживания распределено по показательному закону. Единственным каналом обслуживания в приведенном примере яв­ ляется оператор, занятый сортированием. Слова «неограниченная очередь» означают, что ни на число заявок в очереди, ни на время ожидания не на­ ложено никаких ограничений. В результате этого каждая заявка рано или поздно будет обслужена, а среднее число заявок А, обслуживаемых данной системой в единицу времени при стационарном режиме ее работы, равно интенсивности потока заявок: А =Х.

В теории массового обслуживания для такой СМО выведены сле­ дующие формулы. Вероятность р 0 того, что в СМО нет ни одной заявки,

то есть что канал обслуживания свободен, равна

p 0 = i - p .

(6.1)

Среднее число Lc заявок в системе равно

1 ,= р /(1 -р ). (6.2)

Средняя длительность пребывания заявки в системе Wcравна

210

	(6.3)
Z04=p2/( l- p ) .	(6.4)
	(6.5)

Формулы (6.1), (6.2) и (6.4) верны только для рассматриваемого здесь типа СМО - одноканальной, с неограниченной очередью, пуассоновским потоком заявок и с временем обслуживания, имеющим показательное распределение. В отличие от них, формулы (6.3) и (6.5) являются универ­ сальными. Они справедливы для СМО любого типа, с произвольным ха­ рактером потока заявок, любым распределением длительности обслужи­ вания, ограниченной или неограниченной очередью.

Воспользуемся приведенными выше формулами для получения ха­ рактеристик процесса сортирования деталей в рассматриваемой задаче о загрузке оператора. Для него имеем р 0 = 1 - р = 1 - 0,8 = 0,2. Это означает,

что 20 % рабочего времени оператор простаивает. Согласно формулам (6.2) и (6.3) Lc = 0,8/(l - 0,8) = 4; Wc= 4/4 = 1, то есть в среднем суммарное число деталей, находящихся в очереди и подвергающихся сортированию, равно 4, а время, затрачиваемое на сортирование вместе с его ожиданием, для одной детали равно 1 мин. Среднее число деталей, ожидающих сортирова­ ния (длина очереди), согласно (6.4) равно L0H= 0,82/(l-0,8) = 3,2. Среднее время пребывания детали в очереди составит согласно (6.5) W0ч = 3,2/4 = = 0,8 мин.

Предположим теперь, что пребывание деталей в очереди влечет за собой определенные издержки, в связи с чем возникает вопрос об увеличе­ нии числа операторов. Оплата их труда и проведение мероприятий, вы­ званных перестройкой процесса сортирования, также связаны с затратами. Поэтому можно говорить об оптимизационной задаче определения рацио­ нального числа операторов, исходя из минимума суммарных затрат. Сор­ тирование деталей, выполняемое несколькими параллельно работающими операторами, рассматривается как процесс работы многоканальной СМО,

Приведем основные формулы для «-канальной СМО с неограни­ ченной очередью и одинаковой интенсивностью обслуживания по всем ка­ налам. Условием стационарного режима в ней служит неравенство р/« < 1. Предположим, что оно выполнено.

Вероятность р 0 того, что в СМО нет ни одной заявки, равна
р 0 = (l + р/ 1!+ р2 / 2! + ... + р"/и! + р"+1 /п \(п - р))-1.	(6.6)