Вариант 4

Модуль 1

1. Вероятность того, что смещение классического гармонического осциллятора в момент времени tнаходится в интервале значений (x, x + ) имеет вид:

dP = (A² – x²)^−1∕2

где А– амплитуда колебания осциллятора;dP= 0 дляА< х< А.

Определите величину среднего отклонения осциллятора и стандартное отклонение от среднего значения σ(x).

2. Вычислить относительную величину флуктуации энергии одной частицы двухуровневой системы на основе статистической суммы. Считать кратность вырождения верхнего уровня равным g₁, а основного уровня –g₂.

3. Фабричная труба высотою l= 50 м выносит дым при температуреt₁= 60°С. Определить статическое давлениеР, производящее тягу в трубе. Температура воздухаt₂=  –10°С. Плотность воздуха ρ₀= 1,29∙10^-3г/см³.

Модуль 2

4. Из кварца параллельно его оси вырезана круглая пластинка, радиус которой при температуре t₁равенr. Определить площадь пластинкиSпри температуреt₂. Коэффициенты расширения кварца параллельно и перпендикулярно оси равны соответственнои.

5 . Имеется идеальный газ, молярная теплоёмкость C_Vкоторого известна. Найти молярную теплоёмкость этого газа как функцию его объёмаV, если газ совершает процесс по закону:

а) постоянные.

6. Определить совершаемую произвольным веществом работу цикла, состоящего из изотермы 1-2, политропы 2−3 и адиабаты 3−1. Известно, что теплоёмкость тела на политропе равна С, а температуры на изотерме и в состоянии 3 равны соответственноТ₁иТ₂.

7. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором энтропия газа изменяется с температурой Тпо законуS= αT+C_Vln T, где α − положительная постоянная,C_V− молярная теплоёмкость данного газа при постоянном объёме. Найти, как зависит температура газа от его объёма в этом процессе, еслиТ=Т₀приV=V₀.

Модуль3

8. Вычислите разность молярных теплоёмкостей С_р –С_vгаза, состояние которого описывается уравнением Бертло, оставляя лишь линейные члены по отношению каиb.

9. Два теплоизолированных тела 1 и 2 с бесконечными теплопроводностями (например, два куска металла) соединены между собой однородным, также теплоизолированным стержнем длины lс площадью поперечного сеченияSи теплопроводностью χ. Теплоёмкости тел иочень велики по сравнению с теплоёмкостью стержня. Найти температуры телив любой момент времениt, если приt= 0 они были равны соответственнои. Найти также разность этих температур и время, по истечении которого эта разность уменьшается в два раза.

10. Один грамм воды, находящийся при температуре 20С, выдавливается через изолированную пористую пробку под давлениемР₁=10⁴ атм. в большой сосуд, где давление Р₂ =1атм. Определить состояние, в котором находится вода после вытекания из пробки. Плотность воды предполагается неизменной как приР₁, так и приР₂. Теплота испарения равна 2050 Дж/г.

Вариант 5

Модуль1

1.Для расчета погрешности снятия показаний со стрелочного прибора полагают, что стрелка такого прибора может с равной вероятностью остановиться в любом месте между двумя соседними делениями шкалы. Пусть соседним делениям шкалы соответствуют значения измеряемой величиныx_n иx_n +a, гдеa– цена деления. Написать распределение вероятностейdP(x), (x_n x x_n +a). Определить

2. В сферическом реакторе с радиусом r = 1 м идет химическая реакция между газом, заполняющим реактор, и материалом стенок реактора. Продуктом реакции является порошок, непрерывно удаляемый из реактора. В реакцию могут вступить только молекулы газа, имеющие кинетическую энергию

Е  Е_n = 1 эВ, при этом вероятность реакции при ударе молекулы о стенку

W=10^-3. C какой скоростью dM/dt надо подавать газ в реактор, чтобы поддерживать в нем постоянное давление Р₀ = 10 атм? Молярная масса газа

 = 40 г/моль. Считать, что вблизи стенок реактора максвелловское распределение молекул по скоростям при температуре Т = 1160 К.

3. Цилиндрическая пипетка длиной lнаполовину погружена в ртуть. Ее закрывают пальцем и вынимают. Часть ртути вытекает. Какой длины столбик ртути останется в пипетке? Атмосферное давление равноH.

Модуль 2

4. Из кварца вырезан цилиндр, ось которого параллельна оси кварца. При температуре 18 ºС радиус цилиндра= 10 мм, а высота50 мм. Определить объем этого цилиндраV₂при температуре300°C. Для кварца коэффициенты линейного расширения параллельно и перпендикулярно оси равны соответственно= 0,000072°C^-1и= 0,0000132 °C^-1.

5. Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает процесс, при котором его внутренняя энергия U~V ^α, α − постоянная. Найти:

а) работу, которую произведёт газ, чтобы внутренняя энергия испытала приращение ∆U;

б) молярную теплоёмкость газа в этом процессе.

6. Обратимый круговой процесс превращения теплоты в работу состоит из процесса 1−2, в котором теплоёмкость линейно нарастает с температурой от значения C₁= 20 Дж /Кмоль до С₂ = 50 Дж /Кмоль, а также адиабаты 2−3 и изотермы 3−1. Вычислите к.п.д. этого цикла. Уравнение состояния рабочего вещества не задано. Максимальная и минимальная температуры адиабатического процесса известны.

7. Два баллона объёмом V₀= 10⁻³м каждый соединены трубкой с краном. В одном находится водород при давлениир₁= 1,013∙10⁵н∕м²и температуре 20°С, в другом – гелий при давлении 3р₁ и температуре 100°С. Найдите изменение энтропии системы после открытия крана и достижения равновесного состояния, если стенки баллона и трубки обеспечивают теплоизоляцию газов от окружающей среды. Газы считать идеальными.

Модуль 3

8. Получите приведённое уравнение состояния вещества, для которого справедливо второе уравнение состояния Дитеричи:

9. На дне сосуда, откачиваемого до высокого вакуума, наморожен плоскопараллельный слой льда толщиной l= 7мм, нижняя поверхность которого поддерживается при постоянной температуреt₀. Определить эту температуру, если известно, что при откачке сосуда на верхней поверхности слоя льда установилась температураt₁= –50 ºС.

Теплопроводность льда k= 5,3 ∙10^-3кал/(с∙см∙°С). Удельная теплота сублимации льдаq = 680 кал /г. Упругость насыщенного пара надо льдом приt₁= – 50°С в отсутствие откачки равнаР= 0,03ммрт. ст.

10. Мыльный пузырь радиуса rпри пониженном давлении во внешней среде увеличил свой радиус вдвое. Считая процесс изотермическим, найти изменение энтропии мыльного пузыря. Начальное давление равноР₀, коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки, удельная теплота образования единицы поверхности пленкиq. Считать, что 2/r<<P₀.