Раздел I. Статика

Глава 1. Основные понятия и аксиомы статики

1. Введение: предмет, метод, место среди естественных наук и границы применимости теоретической механики

"В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени".

Материя, в философском смысле, – это все то, что реально существует вне нас, независимо от нашего сознания и что может быть воспринято нашими органами чувств непосредственно или с помощью специальных приборов и экспериментов.

Движение, в философском смысле, – это всякое происходящее в пространстве и во времени изменение реальности, всякий процесс. Движение является основным, неотъемлемым свойством материи. Движущаяся материя существует извечно и не может быть ни создана, ни уничтожена. Пространство и время неотделимы от движущейся материи и являются объективными формами ее существования.

Формы движения материи многообразны и взаимно связаны. Наиболее простой формой движения материи является механическое движение. Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам. Более сложные формы движения материи – тепловые, химические, электромагнитные и другие процессы – не сводятся и не могут быть сведены к механической форме движения. Они содержат механическую форму движения, но полностью ею не объясняются и не исчерпываются.

Все многообразие явлений природы есть не что иное, как проявление различных форм движения материи. Участие естественных наук в познании явлений природы заключается в том, что естественные науки изучают основные свойства материи и общие законы различных форм ее движения.

Теоретическая механика относится к разряду естественных наук.

Она изучает общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающее при этом механическое взаимодействие между материальными объектами.

В природе мы наблюдаем различные формы взаимодействия материальных объектов, но в теоретической механике рассматривается только механическое взаимодействие. Под механическим взаимодействием материальных объектов понимают такое их взаимодействие, которое либо приводит к движению (в частности, к покою) одних материальных объектов относительно других, либо к деформации материальных объектов, либо к тому и другому вместе. Так, например, вследствие механического взаимодействия Земли и Солнца мы наблюдаем движение Земли относительно Солнца; тело, лежащее на столе, вследствие механического взаимодействия с Землей и столом находится в покое относительно Земли; деталь вследствие механического взаимодействия с молотом деформируется.

Установление меры механического взаимодействия материальных объектов привело к понятию силы. Сила в теоретической механике есть величина, которая не только отражает объективное существование механического взаимодействия между материальными объектами, но и является количественной мерой этого взаимодействия.

Таким образом, сила возникает только в результате механического взаимодействия материальных объектов. Поэтому нельзя рассматривать силу как нечто, существующее в природе само по себе, независимо от материального объекта, являющегося ее источником, и материального объекта, испытывающего ее действие. Пользуясь понятием силы, нужно всегда помнить, что только в целях простоты мы заменяем этим понятием механическое взаимодействие между рассматриваемыми материальными объектами.

Механическое взаимодействие между материальными объектами не обязательно осуществляется путем непосредственного контакта. Например, движение тела под действием силы притяжения Земли совершается в воздухе при отсутствии непосредственного контакта между телом и Землей.

Физическая природа сил разнообразна. Вопрос о физической природе силы в теоретической механике не играет роли, так как здесь нас интересует только тот эффект, который производят на данный материальный объект действующие на него силы независимо от физической сущности этих сил.

Из определения механического движения следует, что можно говорить об изменении положения того или иного материального объекта лишь по отношению к другому какому-нибудь материальному объекту, который играет при этом роль системы отсчета.

Если положение всех точек материального объекта по отношению к выбранной системе отсчета остается все время неизменным, то материальный объект по отношению к этой системе отсчета находится в покое. Если же положение каких-нибудь точек материального объекта стечением времени изменяется, то этот материальный объект по отношению к данной системе отсчета находится в движении.

Так как выбор системы отсчета в известной мере произволен и зависит от характера рассматриваемой задачи, то понятия о механическом движении и покое являются по существу относительными, и материальный объект, движущийся по отношению к одной системе отсчета, может находиться в покое по отношению к другой системе отсчета. Поэтому при изучении механического движения всегда нужно знать ту систему отсчета, по отношению к которой будет изучаться данное движение. Если такая система отсчета не задана, то задача изучения механического движения становится в механике неопределенной. Любое механическое движение (и равновесие) имеет объективный характер, и относительность механического движения не означает, что оно субъективно.

Так как в природе абсолютно неподвижных материальных объектов не существует, то принципиально невозможно установить абсолютно неподвижную систему отсчета. Следовательно, понятия абсолютного движения и абсолютного покоя, т. е. движения и покоя относительно абсолютно неподвижной системы отсчета, не имеют конкретного смысла. В теоретической механике возможность установления абсолютно неподвижной системы отсчета постулируется. Эту систему отсчета можно мыслить как часть введенного Ньютоном трехмерного абсолютно неподвижного пространства, в котором все измерения проводятся на основании аксиом геометрии Эвклида. За основную, или абсолютно неподвижную систему отсчета, отвечающую полностью принятой в теоретической механике совокупности основных законов, условно принимают гелиоцентрическую систему, т. е. систему координат с началом в центре Солнца и осями, направленными к трем так называемым неподвижным звездам. Но при решении многих технических задач движение Земли относительно гелиоцентрической системы не учитывают и абсолютно неподвижную систему отсчета соединяют с Землей. Очевидно, что при этом совершаются некоторые погрешности, которые, однако, невелики и могут быть учтены.

Наряду с предположением о существовании абсолютного пространства, в теоретической механике, следуя Ньютону, делается предположение о существовании абсолютного времени, одинакового для всех точек как абсолютно неподвижной системы отсчета, так и любой подвижной системы отсчета независимо от характера ее движения.

Все эти представления Ньютона о пространстве и времени были в своей основе материалистическими, поскольку пространство и время признавались им объективно существующими. Однако понятия пространства и времени устанавливались Ньютоном метафизически, так как он отрывал пространство и время от движущейся материи.

Несмотря на метафизичность учения Ньютона о пространстве и времени, даже для случаев движения тел со скоростями, значительно меньшими скорости света, введенные им понятия пространства и времени являются полноценными и достаточно точными абстракциями реального пространства и реального времени.

В определении механического движения, кроме понятий пространства и времени, содержится еще понятие о том, что движется, т. е. понятие о материальном объекте, имеющем массу*.

В теоретической механике различают материальные объекты только по их геометрической форме, массе и по распределению массы в объемах этих материальных объектов, полагая, что все другие физические свойства одинаковы. Кроме того, в теоретической механике считают, что материальным объектам присуще такое свойство, в силу которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два или большее количество материальных объектов.

В качестве материальных объектов в теоретической механике рассматриваются: абсолютно твердое тело, материальная точка и механическая система материальных точек или тел.

Всякое реальное тело природы вследствие взаимодействия с другими материальными объектами, будет ли оно оставаться в покое или приходить в определенное движение, изменяет свою форму (деформируется). При этом величины этих деформаций зависят от материала тела, его геометрической формы и размеров, а также от действующих на тело сил. Учет этих деформаций имеет существенное значение при расчете прочности частей (деталей) различных инженерных сооружений или машин**. При этом для обеспечения необходимой прочности той или иной конструкции материал и размеры ее частей подбирают так, чтобы деформации при действующих силах были достаточно малы. Поэтому при изучении общих законов механического движения и общих условий равновесия твердых тел можно пренебрегать малыми деформациями этих тел и рассматривать их как недеформируемые, или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизменным. В дальнейшем при изучении теоретической механики будем рассматривать все тела как абсолютно твердые.

Во многих случаях форма и размеры движущегося тела не играют существенной роли. Поэтому вводится понятие о материальной точке, не имеющей протяженности, но обладающей массой. К понятию материальной точки мы приходим, пренебрегая всеми размерами тела по сравнению с его расстоянием от других тел или по сравнению с размерами других входящих в изучаемую проблему тел. Под материальной точкой понимают тело (имеющее массу), размерами которого при изучении его движения (или равновесия) можно пренебречь. Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца можно принять Землю за материальную точку с массой, равной массе Земли, ввиду того, что размеры Земли весьма малы по сравнению с ее расстояниями от Солнца, и поэтому ими можно пренебречь. Но в задаче о вращении Земли вокруг ее оси уже нельзя принять Землю за материальную точку, а нужно рассматривать ее как тело конечных размеров.

Материальную точку можно рассматривать не только как абстрактный образ тела с массой, равной массе этого тела, но и как абстрактный образ части тела с массой, равной массе этой части. В самом деле, всякое тело можно мысленно разбить на отдельные части, размеры которых по всем направлениям малы по сравнению с размерами всего тела, и, следовательно, этими размерами можно пренебречь. Каждую такую отдельную столь малую часть тела можно принять за материальную точку. Отсюда следует, что всякое тело можно представить состоящим из материальных точек, характер связи между которыми зависит от свойств этого тела. При этом масса всего тела равна арифметической сумме масс всех материальных точек, входящих в состав этого тела.

Если тело конечных размеров совершает поступательное движение, то все его точки движутся одинаково. Чтобы определить в этом случае движение тела, достаточно найти движение одной его точки – центра тяжести тела, предполагая при этом, что вся масса тела сосредоточена в этой точке. Поэтому поступательно движущееся тело всегда можно рассматривать как материальную точку, совпадающую с его центром тяжести и имеющую массу, равную массе этого тела. Таким образом, не обязательно понимать под материальной точкой тело очень малых размеров. Материальная точка – это тело (имеющее массу), вращательными движениями которого, по сравнению с поступательными, можно пренебречь. Заменяя тело материальной точкой, мы не только сохраняем за ним его массу, но также и способность взаимодействовать с другими материальными объектами. На чертеже материальная точка изображается геометрической точкой.

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой материальной точки или каждого тела зависит от положения и движения всех остальных. Определяющим признаком механической системы материальных точек или тел является наличие сил взаимодействия между отдельными материальными точками или телами системы. Классическим примером механической системы является наша солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения. Другим примером механической системы может служить любая машина или механизм, в которых все тела связаны силами взаимного давления или натяжения. Совокупность материальных точек или тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия, например группа летящих самолетов или летящий рой пчел, механическую систему не образует. В теоретической механике рассматриваются только механические системы материальных точек или тел. Для краткости часто механическую систему материальных или тел называют механической системой или просто системой.

Если расстояние между двумя любыми материальными точками (или телами) механической системы не изменяется при движении или покое этой системы, то такая механическая система называется неизменяемой; в противном случае механическая система называется изменяемой. В частности, неизменяемой механической системой является абсолютно твердое тело. Примерами изменяемой механической системы могут служить упругие тела, а также механизмы, состоящие из твердых звеньев, перемещающихся относительно друг друга.

Положение и движение механической системы относительно выбранной системы отсчета известно, если известно положение и, следовательно, по движение каждой материальной точки, принадлежащей этой механической системе относительно той же системы отсчета, и наоборот. Поэтому изучению движения механической системы должно предшествовать изучение движения одной материальной точки как простейшей механической системы.

По характеру материальных объектов в теоретической механике различают механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и механику механической системы.

Материальная точка, абсолютно твердое тело и механическая система – понятия отвлеченные, результат абстракции. Введение этих понятий в теоретическую механику вносит значительное упрощение в исследование механического равновесия и движения реальных материальных объектов. Метод абстракции, таким образом, играет в теоретической механике весьма важную роль.

Применение метода абстракции, обобщение результатов опыта и непосредственных наблюдений позволили теоретической механике установить основные ее законы, или аксиомы. Из этих аксиом, соединенных с методами математического анализа, теоретическая механика получает все дальнейшие выводы о механическом движении и равновесии материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы. Достоверность теоретической механики зависит, таким образом, от достоверности ее аксиоматики, на которой она покоится, так как математические выводы из этой аксиоматики внести ошибок не могут. При этом не следует забывать, что аксиомы теоретической механики так же, как и ее основные понятия, имеют опытное происхождение.

По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику делят обычно на статику, кинематику и динамику. В статике рассматриваются вопросы об эквивалентности различных систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, т. е. вопросы о замене заданной системы сил другой, эквивалентной ей по механическому воздействию на данное твердое тело. Наряду с этим статика занимается также рассмотрением необходимых и достаточных условий равновесия различных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело. При этом следует иметь в виду, что устанавливаемые в статике законы сложения сил и приведения любой системы сил к простейшему виду одни и те же как при равновесии твердого тела, так и при его движении. В кинематике рассматриваются общие геометрические свойства механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы независимо от действия на них сил. Наконец, в динамике изучаются общие законы механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы с учетом действия на них сил. Заметим, что динамика пользуется теми же абстрактными представлениями о материальных объектах, что и статика и кинематика, но в дополнение к ним рассматривает основную материальную характеристику материального объекта – его массу.

Теоретическая механика является научной базой теории механизмов и машин, сопротивления материалов, теории упругости и пластических деформаций, гидравлики, гидромеханики и газовой динамики с их многочисленными приложениями в машиностроении, авиации, кораблестроении и других областях техники. Вместе с тем на базе теоретической механики продолжают успешно развиваться вопросы устойчивости движения механических систем, теории колебаний и теории гироскопа. Эти дисциплины также тесно связаны с теорией автоматического регулирования машин и производственных процессов. Астрономия, внешняя баллистика и физика своим современным состоянием также во многом обязаны теоретической механике.

Роль и значение теоретической механики состоит не только в том, что она представляет собой одну из научных основ современной техники, но и в том, что ее законы и методы способствуют развитию точного естествознания в целом, а также выработке правильного материалистического мировоззрения.

В настоящее время теоретическая механика, основанная на законах Галилея – Ньютона, называется классической механикой.

Классическая механика имеет ограниченную область применимости. Последующее развитие науки показало, что для описания движения тел – порядка атомных и меньших размеров, а также для тел, размеры которых больше размеров атома, и движущихся со скоростями того же порядка, что и скорость света, – классическая механика оказалась непригодной. Изучение этих проблем является предметом релятивистской и квантовой, или волновой, механики.

И релятивистская и квантовая механика являются как бы некоторым обобщением классической механики в разных направлениях, так что сама классическая механика является частным случаем каждой из них. Формулы, уравнения и закономерности классической механики могут быть получены из соответствующих соотношений релятивистской механики, если в них будем пренебрегать величиной отношения скорости тела к скорости света по сравнению с единицей. Результаты классической механики можно также получить из соотношений квантовой механики, если считать в этих соотношениях массу движущегося тела подавляюще большой по сравнению с массой электрона.

В релятивистской механике пространство и время утрачивают последние черты той абсолютности, которой они обладали в классической механике. Последовательный анализ основных понятий релятивистской механики приводит к установлению взаимосвязи пространства, времени и движущейся материи. Таким образом, метафизическое представление Ньютона об абсолютном времени и пространстве, существующих независимо от движущейся материи и наряду с ней, заменяется в релятивистской механике представлением, выдвинутым диалектическим материализмом, рассматривающим пространство и время как объективные формы существования материи.

В классической механике масса движущегося тела считалась постоянной величиной, не зависящей от скорости тела, в то время как релятивистской механикой было установлено, что масса тела не является постоянной и зависит от скорости тела.

Релятивистская механика и квантовая механика не опровергли пригодности классической механики, а только уточнили область приложения классической механики. Эти новые механики лишь строго доказали, что предметом классической механики является изучение общих законов движения тел больших размеров (начиная с размера молекул) и движущихся медленно по сравнению со скоростями света.

Очень сложная в математическом отношении форма, которую принимают законы релятивисткой и квантовой механики, излишне усложняет методы исследования движения всех тел, отличных от микрочастиц (электроны, позитроны и др.), при скоростях не близких к скорости света, т. е. движений, которые имели и имеют огромное значение в обычной технической практике и небесной механике. Поэтому классическая механика никогда не потеряет своего научного значения и практической ценности.

В данном курсе рассматриваются проблемы только классической механики.