6.15 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай пространственной системы параллельных сил

1. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Остановимся теперь на случае, когда произвольная пространственная система сил такова, что ее главный вектор и главный вектор-моментотносительно произвольного центра приведенияО одновременно равны нулю:

; (1) или

; .

Очевидно, что такая система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии. Наоборот, если данная система сил находится в равновесии, то должны выполняться условия (1). В самом деле, если бы, например, , но , то данная система сил привелась бы к равнодействующей, приложенной в центре приведенияО, и равновесия не было бы. Если бы , но , то данная система сил привелась бы к одной паре и равновесия также не было бы. Не будет равновесия и в том случае, когдаи, так как сила и пара не могут уравновесить друг друга. Отсюда следует,что для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный вектор-момент относительно произвольно выбранного центра приведения одновременно были равны нулю.

Условия (1) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной форме. Этим условиям равновесия можно придать более удобную для практических целей аналитическую форму.

Из формул (6, §39 и (9, §39) для модулей главного вектора и главного вектора-моментапроизвольной пространственной системы сил следует, что'и одновременно обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:

(2)

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Условия (2) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме.

Заметим, что условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, приложенных к свободному твердому телу, вообще говоря, не будут условиями равновесия этого тела. Как будет показано в динамике, свободное твердое тело при выполнении условий равновесия (2) может двигаться поступательно, прямолинейно и равномерно вдоль осей координат и одновременно равномерно вращаться вокруг этих осей.

Для того чтобы условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил были одновременно и условиями равновесия свободного твердого тела, к которому эта система сил приложена, необходимо потребовать, чтобы до приложения указанной системы сил тело находилось в покое относительно выбранной системы отсчета. При этом первые три равенства (2) выражают необходимые условия того, чтобы тело не имело перемещений вдоль координатных осей, а последние три являются условиями отсутствия вращений вокруг этих осей.

2. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил.

Пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил (выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил).

Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рисунок 110). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы осьz была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства ,иудовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия**. Поэтому система (2) даст только три условия равновесия:

;;. (3)

Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю.