6.10 Изменение главного вектора-момента при перемене центра приведения

Предположим, что в результате приведения произвольной пространственной системы сил , , ..., к какому-нибудь центру О мы получили силу, равную главному вектору приложенному в центре приведения О, и пару, вектор-момент которой равен главному вектору-моменту относительно этого центра приведения (рисунок 104). При переносе центра приведения О в новый центр приведения О* главный вектор, очевидно, сохраняет свой модуль и направление. Главный же вектор-момент изменится, так как при перенесении каждой силы параллельно самой себе из центра О в новый центр О* будет прибавляться пара. Найдем это изменение. Пусть сила данной системы приложена в точке . Пусть, как показано на рисунке 104,–радиус-вектор точкиприложения силы относительно центра О, – радиус-вектор точкиотносительно нового центраО*,– радиус-вектор данного центраО относительно нового О*. При этом .

По определению вектора-момента силы относительно точки имеем

,или

, (1)где .

Пользуясь этим результатом, можно найти связь между главным вектором-моментом данной системы сил относительно нового центра О* (обозначим его ) и главным вектором-моментом той же системы сил относительно прежнего центра О. Тогда согласно равенству (1) имеем

.

Но , поэтому окончательно получаем

,или

, (2)где –вектор-момент главного вектора , приложенного в прежнем центре приведения О относительно нового центра приведения О*.

Равенство (2) можно переписать в виде

,т. е. при изменении центра приведения главный вектор-момент системы сил изменяется на величину, равную вектору-моменту главного вектора этой системы сил, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра приведения.

6.11 Инварианты произвольной пространственной системы сил

Величины, которые не изменяются при каком-либо преобразовании, называются инвариантными по отношению к этому преобразованию. Мы видим, что модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения. Поэтому главный вектор является первым инвариантом произвольной пространственной системы сил, т. е.

, (1)где – главный вектор этой системы сил для нового центра приведения О*.

Что касается главного вектора-момента , то его модуль и направление изменяются с изменением центра приведения. Но скалярное произведение главного вектора и главного вектора-момента не зависит от выбора центра приведения, т.е. является вторым инвариантом произвольной пространственной системы сил. Докажем это (см. рисунок 104). Для центра приведения О имеем

;.

Для нового центра приведения О*

;.

Докажем, что

Очевидно,

.

Второй член правой части равен нулю, так как в смешанном произведении имеются два равных множителя.

Следовательно,

, (2)что и требовалось доказать.

Так как

;

,то согласно равенству (2)

,т. е. проекция главного вектора-момента относительно нового центра приведения О* на направление главного вектора равна проекции главного вектора-момента относительно прежнего центра приведения на то же направление.

Таким образом, для произвольной пространственной системы сил мы имеем два инварианта: первым (векторным) инвариантом данной системы сил является главный вектор этой системы, вторым (скалярным) инвариантом этой системы является скалярное произведение главного вектора на главный вектор-момент, или проекция главного вектора-момента на направление главного вектора.