НИРС Андреев / MNI[1]

Свойство (1) называется условием ортогональности матрицы планирования: скалярное произведение любых двух столбцов в матрице планирования равно нулю. С учетом отмеченных свойств можно написать систему нормальных уравнений, а именно:

N	_____
Nb j x jl yl ,	j 0, k ,
l 1

откуда находят простые соотношения для определения коэффициентов регрессии:

b j	1 x jl yl ,	j 0, k .
	N	_____

N l 1

Теперь рассмотрим более полный случай, когда пренебрегают эффектами парных, тройных и больших взаимодействий, т.е. ограничиваются моделями линейного приближения.

Поскольку при линейной модели число неизвестных коэффициентов регрессии n k 1, а число опытов в полном факторном эксперименте N 2k , то превышение числа опытов над числом неизвестных резко возрастает с увеличением k . Так, при k 6 имеем N 64, n 7 и число степеней свободы N n 57 . Очевидно, что в этих случаях можно значительно уменьшить число опытов. Однако

возникает вопрос, какие из N 2k опытов следует оставить, чтобы сохранить высокую эффективность эксперимента? Ответ на этот вопрос дает понятие дробных реплик.

Обратимся опять к задаче с тремя переменными, в которой линейные эффекты выражаются четырьмя коэффициентами регрессии b0, b1, b2, b3. Для их определения необходимо всего четыре опыта. Что же это должны быть за опыты?

Четыре опыта можно получить, поставив полный факторный эксперимент только для двух переменных, например, х1 и х2, т.е. использовав планирование 22. Но поскольку в каждом опыте нужно задавать еще и уровни третьего фактора х3, их можно получить, связав х3 с х1 и х2 некоторым соотношением, например, положив х3 х1 х2 .

При этом получится матрица планирования для трех факторов, полностью совпадающая с матрицей планирования 22.

Планирование эксперимента по такой матрице называется планированием типа 23-1. В этом случае планирование осуществляется для трех переменных, но он основан на полном факторном эксперименте для 3–1–2 переменных.

101

Особенностью табл. 2 является также то, что значения каждой из переменных получаются как произведение значений двух других

переменных х1 х2 х3 ; х2 х1 х3 ; х3 х1 х2 .

Это означает невозможность отличить, например, эффект х1 от эффекта х2 х3 , т.е. найденный коэффициент регрессии b1 будет слу-

жить совместной оценкой для 1 и	23 , что записывается в виде
b1 1 23 . Аналогично b2 2 13 ,	b3 3 12 . Хотя оценка зна-

чений 12 , 23 , 13 нас не интересует, однако если эти значения отли-

чаются от нуля, то они скажутся на точности оценки коэффициентов. Планирование 23-1 можно было бы осуществить иначе; сплани-

ровать полный факторный эксперимент 22 для двух переменных х1, х2

и положить х3 х1 х2 .

При таком планировании линейные и парные эффекты будут связаны соотношениями:

х1 х2 х3 , х2 х1 х3 , х3 х1 х2 .

Коэффициенты регрессии b1, b2, b3 в этом случае будут служить

оценками значений 1 23 , 2 13 , 3 12 .

Два рассмотренных способа планирования вида 23-1 в совокупности дают полный факторный эксперимент 23. Поэтому эти способы планирования можно рассматривать как разбиение полного факторного эксперимента на две половины, называемые полурепликами. Рассмотрим некоторые принципы, лежащие в основе такого разбиения.

Если бы у нас было не три, а, например, пять переменных, то для определения линейных эффектов потребовалось бы определить шесть коэффициентов регрессии, а число опытов в полном факторном эксперименте равнялось бы 25=32. Полуреплика будет содержать 25-1=16 опытов, что также слишком много. Очевидно, в этом случае можно ограничиться одной четвертью полного факторного эксперимента, т.е. использовать так называемую четвертьреплику, обозначаемую 25-2. Аналогично вводится понятие и более мелких дробных реплик, обозначаемых в общем случае как 2k-l.

Рассмотрим три принципа, на которых основано построение дробных реплик.

1. Поскольку наиболее эффективным видом эксперимента является полный факторный эксперимент, в основу построения дробной реплики 2k-l положен полный факторный эксперимент с k-l переменными

х1, …хk-l.

102

2. Чтобы определить, какие значения в каждом из опытов следует назначить оставшимся l переменным хk-l+1, …xk, эти переменные необходимо выразить через основные с помощью некоторых соотношений, называемых генерирующими соотношениями. Выбор того или иного генерирующего соотношения полностью определяет план эксперимента.

При планировании 23-1 можно использовать одно из генерируемых соотношений: х3 х1 х2 , х3 х1 х2 .

При планировании 24-1 полный факторный эксперимент строят для переменных х1, х, х3. Число генерируемых соотношений, выражающих х4 через х1, х2, х3, уже значительно больше: х4 х1 х2 , х1 х3 и

д.т.

При планировании 25-2 генерирующие соотношения выражают переменные х4 и х5 через х1, х2, х3. Возможные генерирующие соотношения:

х4 х1 х2 ,	х5 х1 х3 ;
х4 х1 х2 ; х5 х1 х2 х3 ;
х4 х1 х3 ;	х5 х2 х3 и т.д.

3. При выборе наиболее предпочтительного генерирующего соотношения следует исходить из того, что при использовании дробных реплик получаем не коэффициенты регрессии в чистом виде, а лишь для некоторых совместных эффектов, как было показано в примере планирования 23-1. План эксперимента должен быть таким, чтобы в него входили лишь те совместные эффекты, которые в наименьшей мере влияют на определяемые коэффициенты регрессии. Чтобы выбрать наиболее подходящий план эксперимента, необходимо уметь легко и быстро находить совместные эффекты для различных планов эксперимента.

Для быстрой оценки совместных эффектов используются определяющие контрасты. Определяющим контрастом называется соотношение между переменными, которое во всех опытах дает элементы первого столбца, т.е. +1.

Во многих практических случаях при определении математического описания объекта широко применяют несколько видов планирования эксперимента: ортогональные, рототабельное, Д- оптимальное, А-оптимальное, Е-оптимальное, С-оптимальное, G- оптимальное и др. Наиболее разработанные в настоящее время ортогональные, рототабельные, Д-оптимальные планы. Определены их основные свойства, предпосылки и области применения, составлены,

103

отлажены и проверены на объекте программы для обработки полученных экспериментальных данных на ЭВМ, что позволяет с небольшой доработкой использовать их в экспериментальном анализе.

Полный факторный эксперимент позволяет получить оценки коэффициентов регрессии вида:

уk a0k aik ui	aijk ui u j .
i 1	i, j 1
	r 1
Число М необходимых экспериментов для полного факторного
эксперимента равно M 2 и для дробного		M 2 k , где k опреде-

ляет дробную реплику от ПФЭ ( k 1,2,..., k ).

На полнофакторном эксперименте основаны также методы идентификации статических моделей действующих объектов (с нестационарными параметрами).

ГЛАВА 7. ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

7.1. Метрологическое обеспечение эксперимента

Метрология – это наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Измерения – процесс нахождения какой-либо физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Это процесс сравнения величины искомой с известной величиной, принятой за единицу (эталон). Измерения бывают статическими, когда измеряемая величина не изменяется во времени; и динамическими. Измерения подразделяют на прямые и косвенные. При прямых – искомую величину устанавливают непосредственно из опытов. При косвенных – функционально от других величин, определяемых прямыми измерениями (например, плотность тела – через массу и объем).

Различают абсолютные и относительные измерения (рис. 7.1). Абсолютные – это прямые измерения в единицах измеряемой

величины. Относительные – измерения, представленные отношением измеряемой величины к одноименной величине, принимаемой за сравниваемую.

104

ИЗМЕРЕНИЯ

абсолютные относительные

Рис. 7.1. Виды измерений

Различают три класса измерений: особоточные, высокоточные и технические. Измерения являются основной составляющей частью любого эксперимента. От их тщательности зависит результат эксперимента. Поэтому каждый исследователь должен знать закономерности измеряемых процессов, уметь правильно измерять изучаемые величины, оценить погрешности при измерениях, правильно, с требуемой точностью, вычислить значения величин и их потребно минимальное количество, определить наилучшие условия измерений, при которых ошибки будут наименьшими и провести общий анализ результатов измерений.

Точность измерений – это степень приближения измерения к действительному значению измеряемой величины.

Погрешность измерения – это алгебраическая разность между действительным значением и полученным при измерении.

Потребное минимальное количество измерений – это такое количество, которое обеспечивает устойчивое среднее значение измеряемой величины, удовлетворяемое заданной степенью точности. Чтобы повысить точность и достоверность измерений, необходимо уменьшить погрешность. Погрешности при измерениях возникают вследствие ряда причин: несовершенство методов и средств измерений; недостаточно тщательного проведения опытов; влияние различных внешних факторов в процессе опытов, субъективных особенностей экспериментатора и т.д.

Погрешности могут быть систематическими и случайными. Систематические – это погрешности, которые при повторных опытах остаются постоянными; если численные значения их известны, их можно учесть во время повторения опытов. Случайные – возникают чисто случайно при повторном измерении. Их нельзя учесть и исклю-

105

чить. Однако, при многократных повторных измерениях с помощью статических методов, можно выявить и исключить.

Систематические погрешности делятся на пять групп:

1.Инструментальные (из-за износа инструмента, из-за неточности градуировочной шкалы и т.д.).

2.Неправильная установка средств измерений.

3.Влияние внешней среды: магнитные и электрические поля, вибрация, влажность и т.д.

4.Субъективные.

5.Методические (обоснованные выбором метода измерения).

От погрешности 1-ой, 2-ой, 3-й и 5-й групп можно избавиться еще до начала измерений.

Теория случайных ошибок считает, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковые величины, но разного знака встречаются одинаково часто; что большие погрешности встречаются реже, чем малые; что при большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений; что появление этого или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения, если количество измерений больше 30 и числом «стьюдента», если количество измерений меньше 30.

Обычно считают, что при числе измерений больше 30 среднее значение данной совокупности измерений приближается к его истинному значению.

Теория случайных ошибок позволяет решить две задачи: -оценить точность и надежность измерений при данном количестве замеров; -определить минимальное количество замеров, гарантирующее заданную точность.

Средства измерений – это совокупность технических средств, используемых при измерении и имеющих нормированные метрологические характеристики. Они являются неотъемлемой частью эксперимента и дают всю необходимую информацию. К средствам измерений относят измерительные инструменты, приборы и установки.

Измерительные средства делят на образцовые и технические

(рис. 7.2).

Образцовые являются эталонами и предназначены для проверки технических (рабочих) средств. Они не обязательно точнее рабочих, но должны иметь большую стабильность и надежность в воспро-

106

изведении измерений. Образцовые средства не применяют для рабочих измерений.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА

образцовые технические

Рис. 7.2. Измерительные средства

По характеру участия в процессе измерения все средства можно разделить на меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные системы.

Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины данного размера. Они бывают однозначные, многозначные и наборы мер.

Однозначные меры – или размер плитки, конденсаторы постоянной емкости и т.д.

Многозначные – конденсатор переменной емкости, проволочный реохорд и т.д. Наборы состоят из однозначных мер.

Измерительный преобразователь – это средство измерений,

предназначенное для выработки сигнала измерительной информации, удобной для передачи обработки и хранения, но не поддающееся непосредственно восприятию наблюдения.

К измерительным преобразователям относят датчики (термопары), тензорезисторы, усилитель и др.

Измерительный прибор – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме доступной для непосредственного восприятия наблюдателя.

По способу отсчета значений измерений величины приборы делят на показывающие и регистрирующие. Показывающие на: аналоговые и цифровые. Регистрирующие на: самопишущие и печатные. Самопишущие выдают графики измерений, печатные – последовательность цифр на ленте.

Измерительные приборы характеризуются величиной погрешности и точности, стабильностью измерений и чувствительностью.

107

Погрешность – одна из важных характеристик прибора. Различают абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная: b (xu		xд ) .
	x		и	х	д
Относительная:	a						100%	,
				хд

где хи – показания прибора (номинальное значение измерительной ве-

личины); хд – действительное значение измеряемой величины, полученное бо-

лее точным методом.

Точность – основная характеристика прибора, характеризуется суммарной (основной погрешностью). В зависимости от допускаемой погрешности приборы делят на классы. Часто класс точности обозначают допускаемой погрешностью в процентах (1–2 и т.д.).

Стабильность – свойство отчетного устройства прибора обеспечивать постоянство показаний и этой же величины. Стабильность определяется вариацией показаний.

Средства измерений проверяются каждые 1–2 года.

Измерительно-информационные системы – совокупность технических средств в блочно-модульном исполнении, объединенных общим алгоритмом функционирования, обладающие нормированными метрологическими характеристиками предназначенные для получения измерительной информации непосредственно от объекта, ее преобразования, передачи, хранения, обработки и выдачи в виде удобном для восприятия оператором и ввода в систему автоматического управления.

7.2. Техника экспериментального исследования

Так как экспериментальные исследования являются одним из основных способов получения новых научных значений, то постановке эксперимента уделяется большое внимание.

Рассмотрим несколько конкретных примеров применения указанной методологии при исследованиях в сварочной технике, а также вопросы метрологического обеспечения и обработки эксперимента.

Измерение и регистрация параметров сварочных процессов.

Различают объекты измерений (исследований) и методы измерений и регистрации измеряемых величин. После сбора данных, их обработки и анализа применяют решение о точности и достаточности получен-

108

ных результатов или постановке новых экспериментов. Объекты измерений в сварочной технике могут быть разделены на два основных класса: сварочные процессы и сварные соединения. В ряде случаев измерения и регистрации параметров на сварном соединении производят в ходе сварочного процесса. Как правило, такие измерения связаны с исследованиями полей температур или деформаций, кинетики аллотропических или фазовых превращений в свариваемом металле и др.

Таким образом, исследование сварочных процессов и сварных соединений связано с проведением измерений. Измерением называется процесс сравнения измеряемой величины с величиной того же рода, принятой за единицу измерений. Результат измерения выражают числом, показывающим отношение измеряемой величины к единице измерения.

Единицы физических величин в Международной системе единиц (СИ). Результаты измерений приводятся в единицах СИ (System International), а также десятичных кратных и дольных от них. Согласно стандарту СЭВ 1052-78 с 1 января 1980 г. Истек срок временно

0

допускавшихся к применению таких единиц, как А , дин, мм рт.ст., кгс, кгс/мм2, эрг, кал, л.с., гаусс, пуаз, эрстэд, стокс и др.

Ниже приведены наиболее часто используемые в сварочной технике единицы СИ физических величин.

Система содержит семь основных единиц измерения следующих величин: длина – метр (м), масса – килограмм (кг), время – секунда (с), сила электрического тока – ампер (А), термодинамическая температура – кельвин (К), количество вещества – моль (моль), сила света – кандела (Кд). Допускается также измерять температуру в градусах Цельсия (0С), массу – в тоннах (т), время – в минутах (мин), часах (ч) и сутках (сут), объем – в литрах (л).

На базе основных единиц получены производные единицы, имеющие специальные наименования. Так, частота измеряется в герцах (1 Гц = 1 с-1), сила, вес – в ньютонах (1 Н = 1 кг·м·с-2), давление,

механическое напряжение, модуль упругости – в паскалях (1 Па = 1 Н·м-2).

Для измерения энергии, работы и количества теплоты используется джоуль (1 Дж = 1 Н·м), мощности и потока энергии – ватт (1 Вт = 1 Дж·с-1), количества электричества – кулон (1 Кл = 1 А·с), электрического потенциала и электрического напряжения – вольт (1 В = 1 Вт·А- 1 = 1 Дж·Кл-1), электрической емкости – фарад (Ф), электрического сопротивления – Ом (1 Ом =1 В·А-1).

109

Втепловых расчетах следует использовать следующие произ-

водные единицы: теплоемкость системы и энтропия системы – джоуль на кельвин (Дж·К-1), теплопроводность – ватт на метр-кельвин (Вт/м·К), удельная теплота и удельная энергия – джоуль на килограмм

(Дж/кг).

Для обозначения силы и веса введем Ньютон (Н):

1 кгс = 1 кг·9,806 м/с2 =9,806 Н. При умножении на 10 вместо 9,806 ошибка составит около 2 %.

Пересчет значений механического напряжения или давления производят следующим образом: 1 кгс/мм2 = 9,806 МПа.

Вединицах ударной вязкости используется джоуль на квадратный сантиметр (Дж/см2): 1 кгс·м/см2 = 9,806 Дж/см2.

Пересчет единиц работы, энергии и количества тепла производится при следующих соотношениях: 1 Дж = 0,102 кгс·м = 2,39·10-4 ккал; 1 ккал = 4200 Дж = 427 кгс·м.

Единицы твердости не подлежат изменению (как единицы условных шкал).

Параметры измерений. Измеряемые параметры можно условно разделить на: электрические и неэлектрические. К числу основных электрических параметров, определяющих большинство режимов сварки, относятся ток и напряжение в цепи, которые могут быть постоянными, синусоидальными и несинусоидальными. Несинусоидальные характеризуются действующими и мгновенными значениями. Число неэлектрических параметров объекта исследования велико. Наиболее важными неэлектрическими параметрами в сварочной технике являются температура, перемещение (деформация), усилие (вес), масса, площадь, объем и их производные по времени: скорость нагрева (охлаждения), скорость движения (деформации), расход и т.д.

Следует различать статические и динамические значения измеряемых величин.

Параметры такого объекта измерений, как сварочный процесс, могут относиться к различным агрегатным состояниям вещества: твердому, жидкому и газообразному, а также плазмообразному.

Важным параметром сварочного процесса является производная не только по времени, но и в пространстве, т.е. градиент. Именно создание больших градиентов температуры для нагрева холодного металла до температур сварки вызывает, в свою очередь, градиенты других характеристик (механических напряжений, концентраций элементов или газов и т.д.).

110