НИРС Андреев / 140600.68_СДМ.В.2.1_Инжиниринг электроприводов и систем автоматизации.ч3

	Характеристики модели
class	Получение данных о типе модели ('ss', 'zpk' или 'tf’)
isct	Проверка, является ли модель непрерывной
isdt	Проверка, является ли модель дискретной
issiso	Проверка, имеет ли модель один вход и один выход
isa	Проверка, является ли LTI-объект моделью заданного типа
	Преобразование вида модели
c2d	Переход из непрерывного времени в дискретное
d2c	Переход из дискретного времени в непрерывное
d2d	Изменение периода дискретности, задание запаздываний по
	входам
	Анализ динамических свойств систем
pole	Определение полюсов системы
eig	Определение собственных значений и собственных векторов
tzero	Определение нулей системы
pzmap	Расположение полюсов и нулей систем
dcgain	Нахождение коэффициента передачи при нулевой (низкой)
damp	частоте
	Определение частоты собственных колебаний и демпфирования
	по полюсам системы
	Модели пространства состояния
rss, dss	Генерирование случайных моделей пространства состояния
canon	Получение канонической формы пространства состояния
ctrb, obsv	Получение матрицы управляемости и наблюдаемости
mineral	Минимальная реализация и сокращение нулей и полюсов
modred	Редукция состояния модели

	Продолжение таблицы 9.5
Процедура	Назначение
	Временные характеристики
step	Получение переходной функции системы на единичный скачок
impulse	Получение переходной функции системы на единичный импульс
initial	Реакция на начальные условия для моделей в уравнениях
lsim	состояния Моделирование системы при произвольном входном
	воздействии
	Частотные характеристики
bode	Построение диаграммы Боде частотного отклика (АЧХ и ФЧХ)
nyquist	Построение диаграммы Найквиста
freqresp	Получение частотных характеристик системы
margin	Определение запасов, устойчивости по фазе и амплитуде

Классические методы синтеза систем управления

rlocus	Получение корневого годографа
rlocfind	Определение коэффициентов усиления по заданным корням
	характеристического многочлена
place	Вычисление матрицы обратной связи по заданным полюсам
estim	Вычисление коэффициента передачи наблюдателя
destim	Построение дискретного фильтра Кальмана
reg	Формирование регулятора в виде обратной связи по состоянию и
	наблюдателя

В качестве примера рассмотрим построение переходных процессов для модели СУ второго порядка (рис. 9.1).

Для оптимизации параметров регуляторов СУ можно использовать два подхода: блоки пакета Nonliner Control Design (NCD) и возможности пакета

Optimization .

Пакет NCD содержит три блока: CRMS, DRMS, NCD Output. Блок NCD Output является основным блоком и позволяет в интерактивном режиме выполнять следующие операции: задавать требуемые ограничения во временной области на любой сигнал оптимизируемой системы; задавать параметры, подлежащие оптимизации; задавать неопределенные параметры; проводить параметрическую оптимизацию системы с учетом заданных ограничений.

Рис. 9.1. Пример построения переходных процессов модели системы управления второго порядка

Рассмотрим оптимизацию параметров ПИД-регулятора, используя файл neddemol с демонстрационным примером, входящий в состав пакета

MATLAB.

Задача оптимизации следующая: при заданной структуре объекта управления и известных неопределенностях его параметров найти значения коэффициентов kп kи и kд регулятора, при которых в представленной замкнутой структуре переходный процесс будет иметь требуемые параметры.

При оптимизации параметров ПИД-регулятора рассматриваются следующие параметры переходного процесса: длительность, время нарастания, максимальное перерегулирование, максимальное «недорегулирование», начальное и конечное время моделирования, начальное и желаемое конечное значения выходного сигнала.

Объект управления представляется следующим звеном: W(p) = l,5/(50/p3 + a2 p2 + а1 р + 1), где коэффициент а2 может принимать значения в диапазоне 40...50 (номинальное значение а2 = 43), а коэффициент а1 — в диапазоне 0,5...

3,0 (номинальное значение а1 = 1,5).

Модель СУ представлена на рис. 9.3, а результаты оптимизации на рис.

9.2.

Рис 9.2 Переходные процессы в режиме оптимизации параметров ПИДрегулятора

Рис 9.3. Моделирование ПИД-регулятора:

а — модель объекта управления. ПИД-регулятора и NCD-блока; б — содержимое блока Plant & Actuator

В результате получены следующие оптимальные коэффициенты ПИД-

регулятора: kп = 1,34, kи = 0,15 и kд = 8,33.

Лекция 10. СИНТЕЗ, ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

2. Взаимосвязанные системы управления

Литература: Учебное пособие, часть 3, стр. 303-309

1.Взаимосвязанные системы управления

Квзаимосвязанным относятся многодвигательные системы управления, связанные упругим обрабатываемым материалом (например, стан холодной прокатки, бумагоделательная машина, кордная линия и др.).

В теории и практике управления взаимосвязанными электромеханическими системами сложилось направление, в котором

формальные процедуры оптимального синтеза одномерных или многомерных регуляторов по тем или иным критериям используются редко. Чаще стремятся получать нормированные динамические процессы на основе типовых алгоритмов управления при малых и больших изменениях переменных с учетом совокупности всех физических особенностей технических средств, на базе которых реализуется электромеханическая система. Для этого посредством декомпозиции взаимосвязанная система управления разделяется на сепаратные системы, которые при определенных условиях можно рассматривать как квазиавтономные. Тогда для расчета регуляторов можно использовать изложенный ранее подход.

Исследование взаимосвязанной системы управления рассмотрим на примере моделирования секции бумагоделательной машины.

Исходные данные для предварительных расчетов и исследования следующие.

Параметры секций и бумажного полотна (БП): L12 = 4,2 м — расстояние между первой и второй секциями бумагоделательной машины (БД); С12 = 2,2 104 Н/м — коэффициент жесткости БП при растяжении между первой и второй секциями БД; r1 = 0,82 м и r2 = 0,64, м — радиусы валов; ipi = 4,4 м и iр2 = 5,4 м — передаточные числа редукторов; J1 = 680 кг м2 и J2 = 540 кг м2

—приведенные моменты инерции агрегатов; В12 = 800 Н/(м/с) — коэффициент внутреннего демпфирования БП.

Параметры электроприводов и датчиков систем управления секциями

бумагоделательной машины: Kп1 - 40 и Кп2 = 40 — коэффициенты передачи преобразователя; Rя.ц 1 = 0,43 Ом и Rя.ц.2 = 0.47 Ом — сопротивления якорных цепей электродвигателей; Тя.ц.1 = 0,016 с и Тя.ц.2 = 0,02 с — малые постоянные времени якорных цепей электродвигателей; сд1 = 4,1 Н м/А и сд2 = 4,3 Н м/А

—конструктивные постоянные электродвигателей; Кд.т1 = 0,03 В/А и Кд.т2 = 0,032 В/А —коэффициенты передачи датчиков тока; Кд.с1 =0.14 В/рад/с и Кд.с2

= 0,17 В/рад/с — коэффициенты передачи датчиков скорости; Кс.с2 = 0,03 – коэффициент синхронизации скорости секций БД; Тп1 = Тп2 = 1 · 10-3 с — малые постоянные времени преобразователей; τр.т — постоянная времени регулятора тока; Tμi — малая постоянная времени контура тока; βр.т1, βp.т2 — коэффициенты усиления ПИ-регулятора тока; τр.с— постоянная времени регулятора скорости; βр.с1, βp.c2 — коэффициенты усиления ПИ-регулятора скорости.

Контуры тока настроены на оптимум по модулю (τрт = Tя.ц Tμi = Tп,):

		р.т р	1				T я.ц
Wр.т (р)	р.т			;	р.т					(10.1)
		р.т						Кп К д.т
			р			2T	i
								R я.ц

В результате расчетов получим следующие значения: βр.т1 = 2.87; βp.т2

=3,672.

Контуры скорости настроены на симметричный оптимум (Tμi = Tμ = Tп = 1 10-3 с; τр.с = 4Tμi = 8 10-3 c):

		р.с р	1			Кд.т J
Wр.с (р)	р.с			;	р.с			(10.2)
		р.с р				2
							Кд.с
						2 T сд iр

В результате расчетов получим следующие значения βр.с1 = 458,94; βp.с2

=202,67.

На рис. 10.1 представлена S-модель секции бумагоделательной машины, а на рис. 10.2 — соответственно переходные процессы по скорости и натяжению.

Рис 10.1 Модель секции бумагоделательной машины

Рис 10.2 Переходные процессы по скорости (а) и напряжению (б)

В достаточно общем виде математическую задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом: минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные.

Математические задачи оптимизации в общем виде можно записать следующим образом:

Q (α)→ min (max)

α ε U

где Q(α) — целевая функция; U — допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.

Часто для большей эффективности работы алгоритмов оптимизации в целевую функцию (критерий качества) вводят штрафную или барьерную функцию. Штрафная функция равна 0, если α принадлежит U, и быстро возрастает при удалении точки α не принадлежит U от допустимого множества.

Разработку алгоритмов управления электромеханических систем выполняют, как правило, с учетом двух важнейших параметров качества:

быстродействия (с учетом ограничений на потребляемую мощность) и связанной с ним производительности;

интегральной квадратичной ошибки управления и связанного с ней качества технологического процесса.

Методы формального синтеза алгоритмов управления взаимосвязанными системами и возникающие при этом сложности достаточно хорошо освещены в литературе по теории управлении. Синтез оптимальных алгоритмов управления локальными и взаимосвязанными системами может производиться в соответствии с оптимизирующими функционалами.

Особенностями задачи оптимизации параметров взаимосвязанных ЭП являются:

представление исходных моделей СУ в виде сложных структурных схем с значительным числом блоков, операторы которых принадлежат разным классам;

гибкое формирование различных функционалов качества при оптимизации по различным параметрам (быстродействию, энергопотреблению, точности и др.);

в ряде случаев специфический, нетиповой вид оптимизируемых переходных процессов, автоматическая оценка которых общепринятыми показателями качества (временем регулирования, перерегулированием и т.д.) представляет собой некоторую проблему при оптимизации по прямым показателям качества;

предполагаемая в результате использования типовых регуляторов относительно невысокая размерность пространства оптимизируемых параметров в пределах одной подсистемы ЭК.

Для оптимизации требуется применение таких программных средств, которые обеспечивают достижение необходимого результата за минимальное время. Существует множество работ, в которых подробно описаны различные методы оптимизации, поэтому не имеет смысла излагать их здесь.

Выбор алгоритма оптимизации зависит от таких факторов, как точность поиска экстремума, быстродействие, условия функционирования системы, и определяется решением конкретной задачи. К группе методов для решения таких задач можно отнести методы безусловной минимизации функций многих переменных и многомерной минимизации при наличии ограничений (нелинейное программирование).

Для решения поставленной задачи применяются два Toolbox: Simulink и Optimization из пакета MATLAB.

ВOptimization Toolbox используются три метода для решения нелинейных задач без наличия ограничений: квази-ньютоновский, Нелдера — Мида и доверительных областей.

Задачи нелинейной оптимизации — это комбинация неких нелинейных целевых функций, которые могут иметь линейные или нелинейные ограничения. В Optimization Toolbox используется два основных метода для решения подобных задач: доверительных областей и последовательного применения активного набора задач квадратичного программирования.

Многокритериальная оптимизация предназначена в основном для минимизации многоцелевых функций с учетом некоего набора ограничений.

ВOptimization Toolbox реализованы два типа задач многокритериальной оптимизации: задача достижения цели и задача минимакса.

Optimization Toolbox может решать нелинейные задачи методом наименьших квадратов, т.е. с использованием трех методов: доверительных областей, Левенберга - Марквардта; Ньютона - Гаусса.

Взадачах линейного программирования целевая функция представляет собой некое линейное выражение, на которое могут быть наложены ограничения в виде линейных равенств или неравенств. Для решения данного типа задач используются методы симплексный и внутренней точки.

Основные типы задач оптимизации, решаемых системой MATLAB Optimization Toolbox, представлены в табл. 10.1

Втабл. 10.1 приняты следующие обозначения: α - скалярный аргумент; х,

γ- в общем случае векторные аргументы; ƒ(α), ƒ(x) - скалярные функции; F(х), с(х), ceq(x), K{x,ω) - векторные функции; A, Aeq, С, Н - матрицы; b, beq,

d, ƒ, ω, goal - векторы; xL, xU - соответственно нижняя и верхняя границы области изменения аргумента.

Таблица 10.1

Основные типы задач оптимизации, решаемых системой MATLAB

Optimization Toolbox

	Тип задачи	Математическая запись	Используемая
			функция MATLAB
	Скалярная (одномерная)	minƒ(α) при условии	fminbnd
	минимизация	α1 < α < α2
	Безусловная минимизация	min ƒ(x)	fminunc, fminsearch
	(без ограничений)	x
	Линейное	min ƒ Tx при условиях:	linprog
		A x ≤ b; Aeq x=beq;
	программирование
		xL ≤ x ≤ xU
		min 0,5 x Нx + ƒ Tx при	quadprog
		x
	Квадратичное	условиях: A x ≤ b;
	программирование
		Aeq x=beq;
		xL ≤ x ≤ xU
		min ƒ (x) при условиях:	fmincon
		x
	Минимизация при наличии	c(x) =0; ceq (x)=beq;
	ограничений
		A x ≤ b; Aeq x=beq;
		xL ≤ x ≤ xU
		min γ при условиях:	fgoalattain
		x
	Достижение цели	c(x) =0; ceq (x)=beq;
		A x ≤ b; Aeq x=beq;
		xL ≤ x ≤ xU
		min max { F(x)} при	fminlmax
		x (F )
		i
		условиях:
	Мини макс	F(x) –ωγ=goal;
		c (x) ≤ 0; ceq (x) = 0
		A x ≤ b; Aeq x=beq;
		xL ≤ x ≤ xU

		Продолжение таблицы 10.1
	Тип задачи	Математическая запись	Используемая
			функция MATLAB
		min ƒ (x) при условиях:	fseminf
		x
	Полубесконечная	К(x, ω) ≤ 0 (для всех ω);
	минимизация	c(x) ≤ 0; ceq (x) = 0;
		A x ≤ b; Aeq x = beq;
		xL ≤ x ≤ xU

Этапу поиска экстремума функционала качества, как правило, предшествует подготовительная работа, связанная с созданием удобного пользовательского интерфейса. Это необходимо, так как напрямую методы оптимизации, приведенные в табл. 10.1, использовать сложно.

В качестве примера рассмотрим оптимизацию коэффициентов ПИрегуляторов скорости секции бумагоделательной машины с помощью программы OptSys, разработанной в СПбГЭТУ «ЛЭТИ».

Оптимизация производилась по функционалу качества, имеющему вид

I=aoI0 + α1I1 +α2I2

где α0 α1, α2 — весовые коэффициенты; I0 = ∫e2(t)dt, I1 = ∫(de(t)/dt)2dt; I2 = = ∫(d2e(t)/dt2)2dt; e(t) - ошибка по скорости.

Исходные данные для расчета и оптимизации см. в начале данного подраздела.

Результаты проведенной оптимизации представлены на рис. 10.3.