Равичев_Л_В_Статистика_Лекции_Задания_Вопросы_2016 / Статистика_2_Описательная_статистика / 0_Равичев_Л_В_Теория_статистики_Описательная_статистика

что крайнее левое значение может быть выбрано исходя из физического

смысла	признака, т.е.		количество		человек, имеющих		нулевой возраст,
равно нулю. Крайнее правое фиктивное значение признака может быть
выбрано исходя из того что количество человек, имеющих возраст 80 лет и
выше,	пренебрежимо			мало по сравнению с количеством , человек
попадающих в возрастную категорию от70 до 79 лет. Поэтому в качестве
крайнего правого значения выбираем центральное значение интервала80–
89 лет. Окончательно,			данные, необходимые для построения полигона
частот, приведены в табл. 10.
								Таблица 10
Возрастная структура русского населения в России по данным
				переписи 2002 года
		Центральное		Количество	Накопленные	Частость,		Накопленная
Возрастная		значение
								частость, Wj,
группа, лет		интервала,		человек, fi	частоты, Fj	wj, %
								%
		xj, лет
0		0		0	0	0		0
0–9		4,5		10270800	10270800	8,9		8,9
10–19		14,5		18498800	28769600	16,0		24,9
20–29		24,5		17814800	46584400	15,4		40,3
30–39		34,5		15366400	61950800	13,2		53,5
40–49		44,5		19054600	81005400	16,4		69,9
50–59		54,5		12715200	93720600	11,0		80,9
60–69		64,5		11743800	105464400	10,1		91,0
70–79		74,5		10424700	115889100	9,0		100,0
80–89		84,5		0		0		0

На рис. 2 приведено графическое изображение интервального ряда

распределения в виде полигона частот по данным, приведенным в табл. 10.

21

	f
	20
	18
	16
чел.	14
	12
	10
.
млн
	8
	6
	4
	2
	0
	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
										x, лет
Рис. 2. Полигон распределения русского населения в России по данным
				переписи 2002 года

Глава 3. Показатели описательной статистики

3.1. Абсолютные и относительные статистические величины

Абсолютные статистические величиныхарактеризуют численность совокупности и объём изучаемого явления в определенных границах

времени и места. Они могут выражаться:

·в натуральных единицах измерения (тонны, штуки, часы и т.д.);

·в стоимостных единицах измерения (рубли, доллары и т.д.);

·в трудовых единицах измерения(человекочас, челчеловекодень,

человекомесяц и т.д.);
· в условных единицах измерения – для соизмерения разнородных, но
взаимозаменяемых по какому-либо свойству объектов, причем мера этого
свойства и становится средством соизмерения. Например, разные виды
топлива	соизмеряются		по	условному		топливу		с	установленно
теплотворной способностью 29330 кДж/кг;
· в отдельных случаях используется произведение двух единиц: такие
показатели	как	грузооборот, пассажирооборот,					оцениваются		в
тоннокилометрах, пассажирокилометрах и т.д.
Относительная		статистическая			величинапредставляет			собой
результат	сопоставления		двух	статистических			показателей		и	даёт

22

цифровую	меру	их соотношения. При этом величина, с которой
сравнивают	(знаменатель), называется базой			сравнения	или	базисной
величиной,	а	сравниваемый	показатель	текущим	или	.отчетным
Относительная		статистическая	величина	может	быть	результатом

отношения одноименных или разноименных статистических показателей.

Относительные величины одноимённых статистических показателей

Относительные величины динамики характеризуют изменение явления

во времени. Они показывают во сколько раз изменится объём явления за определённый период времени, т.е. темпы роста. Различают темпы роста с переменной и постоянной базой сравнения.

Темпы роста с переменной базой сравнения (цепные темпы роста):

Tp

=

x 2

´100;

Tp

=

x

3

´100; …. Tp

=

x n

´100 .

(6)

x1

x

2

1

2

n -1

x n-1

Темпы роста с постоянной базой сравнения (базисные темпы роста):

Tp

=

x 2

´100;

Tp

=

x3

´100; …. Tp

=

x n

´100,

(7)

x k

x k

1

2

n -1

x k

где x1, x2…xn – уровни явления заодинаковые последовательные

периоды, xk – постоянная база сравнения.

Пример. Имеются следующие данные о стоимости основного капитала

по фирме, приведенные ниже:

№	Стоимость основного капитала, тыс. руб.
предприятия,
входящего в	на 1 января 2007 г.	на 1 января 2008 г.	на 1 января 2009 г.
фирму
1	22150	24855	26970
2	7380	9100	12550
3	13970	16700	20800

Определить показатели динамики стоимости основного капитала фирмы.

Решение:

на 1 января 2007 г. – x1 = 22150 + 7380 + 13970 = 43500

23

на 1 января 2008 г. – x2 = 24855 + 9100 + 16700 = 50655,

на 1 января 2009 г. – x3 = 26970 + 12550 + 20800 = 60320. 1) Темпы роста с переменной базой:

T

=

x 2

´100 =

50655

´100 =116,4 %;

T

=

x3

´100 =

60320

´100 =119,1%;

p

x

1

43500

p

x

2

50655

1

2

2) Темпы роста с постоянной базой(за постоянную базу принимаем

данные на 01.01.2007 г.):

T

=

x 2

´100 =

50655

´100 =116,4 %;

T

=

x3

´100 =

60320

´100 =138,7 %;

p

x1

43500

p

x1

43500

1

2

Относительная величина структуры(удельный вес) характеризует отношение отдельных частей к целому:

xi

;

n

Ксi

=

åKci

=1.

n

(8)

åxi

i=1

i=1

Пример. Общий

оборот

фирмы

за

–год1230,7

тыс.

руб.,

продовольственных

товаров –

646,1

тыс. руб.,

непродовольственных –

584,6 тыс. руб. Удельный

вес

продовольственных

товаровс1

К

=646,1/1230,7=0,525

(52,5

%),

непродовольственных

–

Кс2

=584,6/1230,7=0,475 (47,5 %).

Относительная величина координациихарактеризует соотношение

между частями (элементами) одной совокупности:

К

km

=

xi

;

i=1...n;

j=1...n;

i ¹ j

(9)

x j

Пример. В 1996 году в РФ мужчин – 69,3 млн чел., женщин – 78,3 млн

чел. Кk1=78,3/69,3=1,13

(на

100

мужчин

приходится 113

женщин),

Кk2=69,3/78,3=0,87 (на 100 женщин приходится 87 мужчин).
Относительная	величина			наглядности(сравнения)	показывает
соотношение	одноимённых			величин, принадлежащих	разным
совокупностям:	'
	Кнm =	xi	; i=1...n1; j=1...n2.		(10)
		x j			24

Пример. На 1 января 1996 года население Москвы составляло 8664 тыс.

чел., а население Санкт-Петербурга4801 тыс. чел., следовательно

Кн1=8664/4801=1,80; Кн2=4801/8664=0,55).

Относительные величины разноимённых статистических показателей

Эта группа статистических показателей носит название относительных величин интенсивности.

Относительная величина интенсивностипоказывает степень распространённости данного явления в изучаемой среде и образуется в результате сравнения разноименных, но определённым образом связанных между собой абсолютных величин.

К	иm	=	xi	;	i=1...n	;	j=1...n	2	.	(11)
			z j		1

Пример. В 1996 году население РФ составляло147602 тыс. чел.,

территория – 17075,4 тыс. кв. км., следовательно Ки=147602/17075,4=8,6

чел./кв.км. – плотность населения.)

	3.2. Средние величины
Средней	величиной в	статистике	называется	обобщающая

количественная характеристика признака в статистической совокупности,

отражающая типичный уровень этого признака в расчете на единицу совокупности. Средние, используемые в статистике, можно отнести к следующим классам: степенные средние, структурные средние и средняя хронологическая.

Степенная средняя

Степенные средние делятся на простые и взвешенные. Общая формула простой степенной средней записывается следующим образом:

N

1

çæ

åxik ÷ök

k

k

k

x

= ç

i=1

÷

= k

x1

+x

2

+...+xN

,

(12)

N

ç

÷

N

ç

÷

è

ø

25

где k – показатель степени, определяющий вид степенной средней.

В случае простой средней все значения усредняемого признака X имеют одинаковую важность (вес). Если же значенияX имеют неодинаковую важность (вес) то используется формула взвешенной степенной средней:

				1
	æ		N	ö
					k
	ç		åxik × fi	÷
	x	= ç	i=1	÷			(13)
			N
	ç			÷ ,
	ç		åfi	÷
	è		i=1	ø

где fi	– вес усреднения. Весом может быть: частота повторения
индивидуальных значений признака или частость.
С	изменением показателя степениk формула степенной средней

меняется. В табл. 11 приведены формулы различных видов степенных средних для значений k – 1, 0, 1, 2.

Таблица 11

Название

Формула расчета средней

средней

Простая

Взвешенная

N

Гармоническая

N

åfi

å x i-1

N

x гарм

=

x

гарм = - 1

i =1

=

i=1

f

k=-1

N

N

1

N

i

å

å

x i

x i

i = 1

i=1

Геометрическая

N

xгеом = N

x1 × x2 ×...× xN

åfi

k=0

x

x1f1 × x2f2 ×...× xfNN

геом = i=1

Арифметическая

N

× f i

N

å x i

k=1

x ар

=

å x i

x ар

=

i = 1

å f i

i = 1

N

N

i = 1

Квадратическая

N

2

× fi

2

N

åx i

å x i

i=1

=

x кв

=

K=2

x кв

i

= 1

N

N

åfi

i=1

Виды степенных средних

26

Средняя хронологическая

Если

случайные

величиныy1,

y,…,

yn

представляют

собой

моментальный динамический ряд, то

средний

уровень

такого

ряда

оценивается по формуле средней хронологической взвешенной:

N

å x i ×

t i

X

х р о н .в з

=

i= 1

,

(14)

N

t i

å

i= 1

где xi –

уровни динамического

ряда;

ti

–

время,

в течение

которого

данный уровень ряда оставался неизменным.

Пример. На 1 октября 2008 года число сотрудников компании«Бест» составляло 551 человек, 2 октября уволился 1 сотрудник, 6 октября было принято на работу24 человека, 16 октября было принято6 человек, 25

октября уволилось 10	сотрудников. Найти среднее		значение числа
сотрудников компании в октябре 2008 года.
			Таблица 12
Динамика изменения числа сотрудников фирмы «Бест» в октябре
	2008 года
	Число календарных дней, в
Численность сотрудников	течение которых данная		xi •Dti
компании «Бест», чел. (xi)	численность сотрудников
	оставалась без изменения (Dti)
551	2		1102
550	4		2200
574	10		5740
580	9		5220
570	6		3420
Сумма:	31		17682

Определить среднее число сотрудников фирмы в октябре 2008 года.

Решение:			1 7 6 8 2	= 5 7 0 ч е л .
	x	х р о н .в з =
			3 1
			27

В случае, если характер изменения уровней ряда в рассматриваемые периоды неизвестен и уровни ряда отстоят друг от друга на неравные промежутки времени, то средняя хронологическая взвешенная вычисляется по формуле:

x 1 + x 2

t1

+

x 2 + x 3

t 2

+ ... +

x N -1 + x N

t N -1

2

2

2

(16)

x

х р о н .в з =

.

N -1

åt i

i =1

Пример. Средняя численность работников предприятий розничной торговли Российской Федерации характеризуется данными, приведенными

ниже:

	Годы		Средняя численность
			работающих в розничной
			торговле, тыс. чел.
	1970		2203
	1980		2802
	1990		2768
	1995		3136
	2000		3109
Определить среднее значение		численности работников предприятий

розничной торговли за весь приведенный период.

Решение:

2203+2802

10 +

2802+2768

10 +

2768+3136

5 +

3136+3109

5

2

2

2

2

= 2603 тыс. чел.

xхрон.вз =

30

В случае, если промежутки времени между датами, на которые имеются

данные, одинаковы,

то средняя

хронологическая

ряда

вычисляется по

формуле:

x 1

+ x 2 + ...+ x N -1 +

x N

2

2

x

х р о н .в з =

(17)

N -1

28

Пример. Товарные запасы						ОАО«Золотой			век» на конец					года
представлены ниже:
Годы			2007			2008		2009			2010		2011
Товарные запасы,			26528			27567		29073			31561		35253
тыс. руб.
Определить	среднегодовой					запас		товаров	ОАО«Золотой				век»	за

пятилетний период.

Решение:

			26528	+ 27567 + 29073 + 31561 +	35253
			2	2
x	хрон.вз =						= 29772,9 тыс. руб.
				4

Структурные средние

К структурным средним характеристикам ряда распределения относят

моду и медиану.

Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается в ряде распределения. Для дискретного ряда мода– это значение признака, которому соответствует наибольшая частота (частость)

распределения.

Пример. Обувной фабрикой проведено выборочное исследование потребляемой женщинами обуви, результаты которого приведены ниже:

Размер обуви,	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42
xi
Количество	6	33	247	910	2093	2696	1923	1196	283	51	55
женщин, fi

Для приведенного дискретного ряда распределениямодой является размер обуви, равный 37.

Для интервального ряда это значение признака, которому соответствует

наибольшая плотность распределения, численное значение моды может быть уточнено по формуле

Mo =xМo + Мо				fМо -fМо-1						,	(18)
	(f	Мо	-f	Мо-1	)+(f	Мо	-f	Мо+1	)
											29

где xМо –		нижняя граница			модального		интервала; Мо – величина
модального		интервала; fМо-1			– частота	интервала, предшествующая
модальному; fМо			– частота		модального	интервала; fМо+1 – частота
интервала, следующего за модальным.
Пример. Ниже приведены данные о торговой площади магазинов:
	Торговая площадь магазинов, xi,				Число
		м2			магазинов, fi
		до 100			3
		100–120			13
		120–140			15
		140–160			20		Модальный интервал
		160–180			8
		свыше 180			1
		Сумма:			60
	Найти моду представленного интервального ряда.
	Решение:				20 - 15
		Mo	= 140 + 20				= 145,88 м2 .
			(20 - 15) + (20 - 8)

Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то

этот вариационный ряд не имеет моды. Если две несоседние варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд

называют бимодальным; если таких вариант больше двух, то ряд –

полимодальный.

Медианой в статистике называют признак, делящий ранжированный

вариационный ряд по сумме накопленных частот на две равные части.

Ранжированный вариационный ряд представляет собой ряд, элементы
которого расположены в возрастающем или убывающем порядке.
Для	нахождения медианы	в	интервальном							вариационном	ряду
применяют следующую формулу:					N
					å f i
								- S
					i =	1			Ме -1
	M е = x Ме	+	Ме			2				,
							f Ме
										30