Равичев_Л_В_Статистика_Лекции_Задания_Вопросы_2016 / Статистика_2_Описательная_статистика / 0_Равичев_Л_В_Теория_статистики_Описательная_статистика

признака xi. Для непрерывного признака– зависимость между плотностями распределения частот и значениями признака.

Теоретическое распределение – хорошо известное и изученное в теории распределение. Оно описывается конкретной функцией, и параметры этой функции вычисляются по статистическим характеристикам совокупности.

Наиболее широкое практическое использование получили следующие виды распределений:

для дискретного признака

· распределение Пуассона;

для непрерывного признака

·нормальное распределение;

·экспоненциальное распределение.

Нормальное распределение может быть представлено графически в виде симметричной куполообразной кривой:

f(x)

σσ

mx

x

Рис. 4. Нормальное распределение.

Куполообразная форма кривой показывает, что большинство значений

концентрируется вокруг центра распределения.

Уравнение нормальной кривой:

		1				2	)2
j(x) =				e	(x -mx			,
					2×σ				(38)
			×σ
		2 × π

41

где f(x) – ордината кривой нормального распределения; π и е – константы; mx – математическое ожидание x (для статистической совокупности mx =

x	); σ – среднее квадратическое отклонение.
	Свойства нормального распределения:
1.		Кривая симметрична относительно максимальной ординаты, которая
соответствует значению x = Mо = Mо =							x	, при этом её величина
равна		1				.
					× σ
				2 × π
2.		Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Следовательно,

чем больше значения х отклоняются отx , тем реже они встречаются.

Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку

значения переменной х равновероятны.
3.		Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии ±σ от
x	.						x
4.		В промежутке						±σ находится 68,3	% всех	значений	признака. В
промежутке					x	±2σ		находится 95,4 %	всех	значений	признака. В
промежутке			x	±3σ находится 99,7 % всех значений признака.

5.Параметры нормального распределения: Mо = Mо = x , Ах =0, Ех =0.

6.Нормальное распределение с параметрами mx = 0 и σ = 1 называется стандартным нормальным распределением.

7.Если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, подчиняющихся каждая нормальному закону, то она тоже подчиняется нормальному закону распределения.

Эмпирические (фактические) закономерности отражают ряды

распределения и графически представляются с помощью полигона и гистограммы распределения. Фактическое распределение отличается от

теоретического, что связано с влиянием случайных факторов, и это влияние сглаживается с увеличением объема исследуемой совокупности.

Если отличие между теоретическими и эмпирическими частотами небольшое, то можно считать, что признак xi распределен по данному теоретическому закону (например по нормальному). Объективную оценку

42

близости эмпирических частот к теоретическим

можно

получить

с

помощью определенных критериев согласия.

Наиболее

широкое

распространение

получилкритерий

Пирсона

(критерий «хи – квадрат»). Данный

критерий

применяется

для

сгруппированных данных. Он представляет собой случайную величину,

которую определяют по формуле:

m

χ 2 (x) = å(f j - f jT )2 / f jT ,

(39)

j=1

где

m – число

групп; fj –

эмпирическая

частота

вj-й

группе; fjT

–

теоретическая частота в j-й группе.

Если

расхождение

между

сравниваемыми

эмпирическими

и

теоретическими

частотами

окажется

большим, то

есть 2(хχ)

будет

принимать большие численные значения, то считают, что эмпирическое

распределение

существенно

отличается

от

теоретического. Если

расхождение окажется небольшим, то предполагают, что эмпирическое

распределение близко к теоретическому.

Оценку

существенности

величины 2(хχ) можно

получить, сравнив

вычисленное

по наблюдаемым

данным

значение

критерия с

табличным

(критическим) значением

2

2

(х)<

χ

2

считают, что

отличие

χ кр. Если χ

кр, то

фактического распределения от теоретического несущественно, иначе –

отличие существенно.

Критическое значение 2χкр определяют по статистическим таблицам

значений χ2 – критерия Пирсона в зависимости от уровня значимости р и

параметра k, который равен:

k = m – 1.

(40)

Алгоритм проверки гипотезы о принадлежности эмпирического ряда

данному закону распределения следующий:

·

строится

эмпирический

ряд

распределения

и

находят

эмпирические частоты;

43

·вычисляются теоретические частоты в соответствие с формулой данного закона распределения;

·вычисляется значение критерия χ2(х) по формуле (39);

·находится критическое значение χ2кр;

· подтверждается			или	отвергается		гипотеза	о	принадлежности
эмпирического ряда данному закону распределения.
Пример. В приведенных ниже данных приведено распределение ткачих
по степени выполнения нормы выработки. Подтвердить или опровергнуть
гипотезу	о	принадлежности			приведенного		эмпирического		ряд
нормальному закону распределения.
		Группы ткачих
		по степени		Середина		Число ткачих
		выполнения		интервала		fj
		нормы		xj’
		Xj, %
		До 100		95		2
		100 – 110		105		15
		110 – 120		115		20
		120 – 130		125		32
		130 – 140		135		18
		140 – 150		145		9
		Свыше 150		155		4
		Итого		-		100

1.Находим среднее значение выполнения норм по формуле средней арифметической взвешенной (табл. 11). Среднее значение выполнения нормы x ар=124,20 %.

2.Находим взвешенное квадратическое отклонение(стандарт) по формуле (26). Стандарт s = 13,69.

3.Находим значения теоретической нормированной функцииφ(xi) по уравнению (38).

44

4. Находим значение коэффициента нормировки А по формуле:

		m
	A =	Dx × åf j	,
		j=1
		σ

где x – величина интервала.

A = 10 ×100 = 73,046. 13,69

5. Находим ненормированные теоретические частоты по формуле: f jT = A ×j(x j )

и округляем их до целого значения. Ниже приведены промежуточные расчетные данные.

Группы ткачих	Середина
по степени		Число ткачих	φ(xj)	T
выполнения	интервала	fj		f j
нормы	xj’
xj, %
До 100	95	2	0,04099	3
100 – 110	105	15	0,14916	11
110 – 120	115	20	0,31828	23
120 – 130	125	32	0,39826	29
130 – 140	135	18	0,29223	21
140 – 150	145	9	0,12574	9
Свыше 150	155	4	0,03173	2
Итого	-	100	-	98

6.Находим расчетное значение критерия Пирсона по формуле (39).

χ2 (x) = 4, 92.

7.Находим критическое значение критерия Пирсона. Для уровня

значимости 0,05 и числа степеней свободы k = 7-1=6, χ2кр = 12,59.

Так как	2(хχ)< χ2кр,	можно	считать, что		отличие фактического
распределения	от	теоретического			несущественно, следовательно
приведенный	эмпирический		ряд	подчиняется		нормальному	закону

распределения.

45

			Заключение
При	проведении		любого	статистического			исследования			важное
значение имеет как, в каком объёме, какими методами проведен первый
этап –	сбор,	первичная обработка и			представление			статистической
информации.
Качественная реализация статистического наблюдения, сводки и
группировки		данных, сведение		их	в	статистические			таблицы		и
представление в виде гистограмм и графиков								позволяет		провести
качественный анализ собранных статистических данных и рассчитать
обобщающие статистические показатели, характеризующие различные
свойства статистической совокупности: средние величины,								показатели
вариации и формы распределения, параметры закона распределения
случайной величины.
Полученные		статистические		показатели		позволяют		в	дальнейшем
решить	основную		задачуаналитической		статистики –			установить

взаимосвязь социально – экономических явлений, реализовать процедуру корреляционнорегрессионного анализа и построить математическую модель изучаемого процесса или явления.

46

Библиографический список

1.Теория статистики: учебник / под ред. Р. А. Шмойловой. – 5-е изд.

перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 656 с.

2.Практикум по теории статистики: учеб. пособие / под ред. Р. А.

Шмойловой. – 3-е изд. перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 416 с.

3.Елисеев И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: учебник. – 4-

е изд. доп. и перер. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 464 с.

4.Теория статистики: учебник / под ред. Г. Л. Громыко. – М.: ИНФРА-

М, 2000. – 414 с.

5.Ефимова Н. В. [и др.]. Практикум по общей теории статистики:

учеб. Пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 280 с.

6.Иванов Ю. Н. Экономическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 480 с.

7.Равичев Л. В. Статистика: курс лекций [электронный ресурс] – http://www.econkmm.ru, локальная сеть кафедры менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д. И. Менделеева.

47

Учебное издание

РАВИЧЕВ Леонид Владимирович

Теория статистики

Описательная статистика

Редактор: Р. Г. Чиркова

Подписано в печать 15.12.09. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,23. Тираж 300 экз.

Заказ

Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева. Издательский центр.

Адрес университета и издательского центра

125047 Москва, Миусская пл., 9.

48