3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Оптика. Методика решения задач

192	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

u скорости для этих радиоволн, а также концентрацию N электро-

нов в ионосфере.

Ответ: υ ≈ 3,3 108 м/с; u ≈ 2,7 108 м/с; N ≈ 2,4 109 м−3.

Задача 8.3.4. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны 62 пм проходит через алюминиевый экран толщиной 2,6 см. Какой толщины должен быть свинцовый экран, чтобы ослаблять этот пучок в той же степени? Массовые показатели ослабления для Al и Pb равны соответственно 3,48 и 72,0 см2/г.

Ответ: 0,3 мм.

Задача 8.3.5. Найти групповую скорость u для волнового пакета (λ, δλ<<λ), если зависимость фазовой скорости v от длины волны λ имеет вид:

а) v = a = const;

б)	v = a	λ ;
в)	v = a	λ ;
г)	v = a λ ;
д)	v =	c2 + b2λ2 (с − скорость света в вакууме, b = const).
Ответ: а) u = a ; б) u = a λ 2 ; в) u = 3a (2 λ ) ; г) u = 2a λ ;
д) u =	c2
			.
	c2 +b2λ2

Задача 8.3.6. Найти радиус кривизны светового луча, пущенного горизонтально вблизи поверхности Венеры. Ускорение свободного падения на Венере равно 0,84 g (g = 9,81 м/с2).

Ответ: ≈ 1145 км.

Задача 8.3.7. На плоско-выпуклую стеклянную линзу с радиусом кривизны поверхности 100 см падает плоская монохроматическая волна, частота которой возрастает со временем

по закону ω = ω0 (1+ at ), (ω−ω0 )ω0 1 , λ0 = 1 мкм. Определить постоянную а, если фокус перемещается со скоростью 3 км/с.

Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости

193

Показатель преломления линзы n(λ0) = 1,5; дисперсия линзы ddnλ = −103 см−1.

Ответ: а = 0,75 104 с−1.

Задача 8.3.8. Определить время прохождения светового импульса через слой прозрачного вещества толщиной 1 см, для которого показатель преломления вблизи средней частоты ω импульса: n(ω) = n0 − A(ω−ω0 ) , где n0 =1,5 ; A = const, а ω0 = 4 1014 с−1 − ре-

зонансная частота для атомов вещества. Рассмотреть случай, когда

ω < ω0,

ω−ω

≈1012 с−1,

n(ω)− n

≈ 0,1; спектральная ширина

0

0

импульса Δω

ω−ω0

.

Ответ: ≈ 1,4 нс.

Литература

1.Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, глава

XXVIII.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Физмат-

лит, 1980, глава VIII.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §15.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986,раздел 2.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,

Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. IV.

Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006, §.

6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Для вузов. В трех частях. Ч. 2. Электричество и магне-тизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §§.

7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §5.5.

194	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Глава 9

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛОВ

9.1. Теоретическое введение

Как уже отмечалось в гл.2, в диэлектрической среде могут рас-

пространяться плоские гармонические волны			D(r,t) ,	E(r,t) и
H(r,t) типа
A(r,t) = A0 (r) cos(ωt −kr +ϕ)				(9.1)
с независящей от времени амплитудой A0 .
Если подставить D(r,t) ,	E(r,t) и H(r,t)		в виде (9.1) в урав-
нения Максвелла (2.1) – (2.4), то получим:
[k, E]=	ω	H ,

ε0c2

[k, H]= −ωD ,

(k, D)= 0 , (k, H)= 0 .

Отсюда следует, что векторы D, H и k взаимно ортогональны, вектор Е перпендикулярен вектору Н, а кроме того, векторы D, Е и k и удовлетворяют уравнению:

	k 2E −(k, E) k −	ω2		D = 0 .	(9.2)
		ε0c2
	Если среда линейная и изотропная, то ее восприимчивость				χ и
	проницаемость ε =1+χ – скалярные величины, поэтому:
	D = ε0εE ,				(9.3)
	а кроме того, D&Ε. В среде		без дисперсии фазы		волн

D(r,t) , E(r,t) и H(r,t) совпадают. Круговая частота ω и волновое число k в (9.1) связаны дисперсионным уравнением:

k 2 = ω2	ε,	(9.4)
c2

а фазовая скорость волны (в направлении волнового вектора k)

	Гл 9. Распространение света в анизотропных средах				195
	v ==	c		N	(9.5)
		n
	зависит от показателя преломления			n = ε	( N ≡ ek – единичный

вектор волновой нормали). Если среда изотропная, то фазовая скорость не зависит от направления N распространения волны и состояния ее поляризации.

В случае анизотропной среды связь между D и Е в общем случае более сложная:

D = ε0εˆE ,

(9.6)

где ˆε ≡ εij – вещественный (если нет дисперсии) симметричный

( εij = ε ji ) тензор диэлектрической проницаемости второго ранга.

В волне, распространяющейся в такой анизотропной среде, векторы D и E не обязательно коллинеарны, но лежат в одной плоскости – плоскости поляризации световой волны с волновым вектором

k и вектором Пойнтинга S = [E, H]= [E, H] ×s , где s – единичный лучевой вектор в направлении потока энергии (рис 9.1).

Рис. 9.1. Взаимная ориентация векторов E, H, D, k при распространении световой волны в анизотропной среде

Соответствующим выбором декартовой системы координат симметричный тензор εij может быть приведен к диагональному

виду. В этом случае координатные оси совпадают с так называемыми главными направлениями среды (кристалла). В проекциях на эти направления векторное материальное уравнение (9.3) распадается на три скалярных:

Di = ε0εi Ei .	(9.7)
Значения диагональных компонент тензора εi	называют его

главными значениями или главными диэлектрическими проницае-

196	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
мостями. Если εx ≠ εy ≠ εz , то среда называется двуосной. Если
εx = εy ≠ εz ( εx = εy ≡ ε ,	εz = ε&), то среда одноосная (положи-

тельная, если ε& > ε , и отрицательная, если ε& < ε ). В случае изотропной среды: εx = εy = εz .

С учетом (9.4), (9.5) и (9.7) из уравнения (9.2) может быть получена система уравнений:

(N, E)Ni − 1− v2 εi Ei = 0

c2

	или	ε0 (N, E)Ni
	D =			.	(9.8)
	i	1 ε − v2	c2
		i

где Ni – направляющие косинусы волновой нормали N . Поскольку (N, D)= 0 , из системы (9.8) можно получить уравнение

	∑	Ni2	= 0 ,	(9.9)
		v2 - v2
	i
		i

которое описывает зависимость фазовой скорости v плоской монохроматической волны от направления N и характеристик vi анизотропной среды. Уравнение (9.9) называют уравнением волновых

нормалей Френеля. Главные скорости vi ≡ c	εi , как и главные
показатели преломления ni ≡ εi , являются	характеристиками
среды.*)

Анализ уравнения Френеля (9.9) показывает, что в общем случае в анизотропной среде в заданном направлении N могут распространяться плоские волны лишь с определенной поляризацией.

Для описания оптических свойств анизотропных сред часто используют вспомогательные поверхности – оптическую индикатрису, эллипсоид Френеля, лучевую поверхность и др.

Поскольку в соответствии с (2.25) среднее значение объемной плотности энергии в световой волне равно

w = ε0 (E, D) , 2

*) Отметим, что vi есть скорость волны, поляризованной вдоль i-го главного направления

Гл 9. Распространение света в анизотропных средах

197

то в системе главных осей:

1

D2

Dy2

D2

x

z

w =

2

εx

+

εy

+

εz

или

x2

+

y2

+

z2

=1

,

(9.10)

Dx

nx2

n2y

nz2

где x =

и т.д.

2w

Уравнение (9.10) описывает поверхность эллипсоида с полу-

осями

nx ,

ny , nz , который получил название оптической инди-

катрисы. Центральное сечение эллипсоида плоскостью, перпендикулярной заданному направлению N , – эллипс (в частном случае – окружность), главные оси которого и определяют две возможные (взаимно ортогональные) ориентации вектора D в плоской волне, а длина каждой из полуосей равна показателю преломления для волны с соответствующей поляризацией. Если из некоторой точки (как из начала координат) в каждом направлении отложить отрезки, длины которых равны значениям фазовых скоростей волн, то получим двойную поверхность – так называемую поверхность нормалей. Следует отметить, что каждая из двух таких поверхностей не является эллипсоидом.

Поскольку в анизотропной среде векторы D и E коллинеарны только тогда, когда плоская волна распространяется вдоль одного из главных направлений, то в общем случае фазовая скорость v (в направлении волновой нормали N) и лучевая скорость u (в направлении лучевого вектора s) неколлинеарны (см. рис 9.1), причем в отсутствие дисперсии:

v = u(N, s)= u cos α ,

(9.11)

где α – угол поляризации.

Для заданного направления s ориентация вектора E может быть найдена с помощью эллипсоида лучевых скоростей, называе-

мого также эллипсоидом Френеля:
			εx x2 + εy y2 + εz z2 =1,	(9.12)
где	x =	ε0 Ex	и т.д.
		2w

198	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Уравнение (9.12) описывает поверхность эллипсоида с полуосями 1nx , 1 ny и 1nz , который получил название эллипсоида

лучевых скоростей. Центральное сечение этого эллипсоида плоскостью, перпендикулярной лучу s , является в общем случае эллипсом, главные оси которого определяют возможную ориентацию вектора E , а длины полуосей пропорциональны соответствующим лучевым скоростям.

По аналогии с уравнением (9.9) для фазовых скоростей, можно получить уравнение для лучевых скоростей:

		s2	v2
	∑	i	i	= 0	(9.13)
		u2 − v2
	i
			i

и построить так называемую лучевую поверхность. В отличие от поверхностей нормалей, каждая из двух лучевых поверхностей имеет форму эллипсоида. Можно показать, что лучевая поверхность является поверхностью равных фаз для волн, исходящих одновременно из центра эллипсоида во всех направлениях. Поэтому с помощью лучевой поверхности удобно решать задачи на построение Гюйгенса (см. задачу 9.2.4).

Водноосной среде (с главными значениями проницаемости

εx = εy ≡ ε и εz ≡ ε|| ) вдоль оптической оси (т.е. вдоль оси z) мо-

гут распространяться плоские волны с любой поляризацией. Однако в направлении N под углом ϕ к оптической оси могут распро-

страняться только волны, линейно поляризованные в одном из двух возможных (взаимно перпендикулярных) направлений: перпенди-

кулярно плоскости главного сечения (в которой лежат оптическая ось и вектор волновой нормали N) – обыкновенная волна с фазовой скоростью

v =	c	=	c	,	(9.14)
0	n0		ε

и в плоскости главного сечения – необыкновенная волна с зависящей от ϕ фазовой скоростью

ve = n(cϕ) ,

или

v	(ϕ)= c	sin2ϕ	+	cos2ϕ	.	(9.15)
e		ε||		ε

Гл 9. Распространение света в анизотропных средах

199

На рис 9.2 показаны сечения (эллипсы) оптической индикатрисы плоскостью главного сечения для одноосных (а – положительного, б – отрицательного) кристаллов.

А б

Рис. 9.2. Сечения оптической индикатрисы (ОИ) для одноосных положительного (а) и отрицательного (б) кристаллов

а б

Рис. 9.3. Сечения эллипсоида показателя преломления для одноосных положительного (а) и отрицательного (б) кристаллов

Если повернуть сечение оптической индикатрисы плоскостью xOz вокруг оси у на 90° (оси системы координат при этом остаются на месте), то получим сечение эллипсоида показателя преломления

n(ϕ) (рис. 9.3). Подобный ему эллипсоид k (ϕ)= ωc n(ϕ) называют

эллипсоидом волновых векторов. С его помощью удобно описывать преломление волновых векторов на границе с анизотропной сре-

200	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

дой, как это показано на рис 9.4 для случая отрицательного кристалла (оптическая ось Оz лежит в плоскости падения).

Рис. 9.4. Описание преломления света на границе отрицательного кристалла с помощью эллипсоида волновых векторов

Если для необыкновенной волны задано направление (угол ϕ) волновой нормали Ne (а значит, и вектора De ), то направление (угол θ) векторов Ee и Se для этой волны можно найти с помощью оптической индикатрисы или эллипсоида показателя преломления соответственно (рис. 9.5): вектор Ee перпендикулярен плоскости АА, касающейся оптической индикатрисы в точке ее пересечения с направлением De (рис 9.5 а); в свою очередь луч Se

перпендикулярен плоскости ББ, касающейся эллипсоида показателя преломления в точке его пересечения с направлением нормали

N (рис 9.5 б).

a	б
Рис. 9.5. Определение ориентации векторов Ee	и Se с помощью оптической

индикатрисы (а) и эллипсоида показателя преломления (б) для положительного кристалла

Гл 9. Распространение света в анизотропных средах

201

Так как для необыкновенной волны углы ϕ и θ связаны соотношением:

D

ε0ε||Ez

ε||

tgϕ =

z

=

=

tgθ ,

(9.16)

D

ε

0

ε

E

x

ε

x

то для угла поляризации α имеем:

(ε||

−ε )tgθ

tgα ≡ tg (ϕ−θ)=

tgϕ− tgθ

=

(9.17)

1 + tgϕtgθ

ε

+ ε tg2θ

||

или

(ε||

−ε )tg2ϕ

tgα =

.

(9.18)

ε

+ ε

tg2ϕ

||

На рис 9.6 показаны центральные сечения (эллипсы) лучевого эл-

липсоида

ε (x2 + y2 )+ ε||z2 =1

(9.19)

для одноосных кристаллов (а – положительного, б – отрицательного) и взаимная ориентация векторов Ee и Se .

а

б

Рис. 9.6. Сечения лучевого эллипсоида и взаимная ориентация векторов Ee и Se для положительного (а) и отрицательного (б) одноосных кристаллов

Как следует из (9.19), при y = 0
ε		sin2θ+ ε cos2θ = ε ,	(9.20)
		||