19 Одношаговые методы решения оду. Р-к 4ого порядка.

Предназначены для решения ДУ 1^ого порядка y’=f(x,y), где y’ – производная, заданная при нач. усл. y(x₀)=y₀. Методы позволяют находить последовательные значения зависимой переменной y соответствующие дискретным значениям независимой переменной X. Метод Рунге-Кутта 4 порядка. Для того чтобы повысить точность необходимо сохранить при разложении в ряд Тейлора большое кол-во членов ряда. Чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений внутри интервала h. Методы Рунге-Кутта дают набор формул для расчета координат внутренних точек интервала h. Наиболее распр. явл. метод Рунге-Кутта 4^ого порядка, т.е. сохраняем в разложении члены ряда до h⁴ включительно, ошибка метода при этом h⁵. Метод обладает более высокой точностью, позволяя увеличивать длину шага h. Величину h следует выбирать исходя из допустимой ошибке на шаге.

ситема:

y_n+1= y_n+(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6, n=0,1,2… k₀=h*f(x_n;y_n); k₁=h*f(x_n+h/2;y_n+k₀/2); k₂=h*f(x_n+h/2;y_n+k₁/2); k₃=h*f(x_n+h;y_n+k₂);

20 Общая характеристика одношаговых методов решения оду. Р-к для диф. Ур.

Для всех одношаговых методов хар-но: 1) Св-во самостартования, т.е. для получения инф-ции о следующей точке, нужна инф-ция, только об одной предыдущей точке. Это св-во позволяет легко менять величину шага h. 2) В основу всех методов положено разложение ф-ии в ряд Тейлора. В разложении сохр-ся члены ряда, содержащие h до степени k включительно. При этом число k наз. порядком метода, погрешность на шаге имеет порядок (k+1). 3) Методы не требуют вычисления производной. Вычисляется сама ф-ия. Однако могут потребоваться её значения в нескольких точках интервала. Метод Рунге-Кутта для системы дифференциальных уравнений. Поскольку в мат модели может присутствовать не только 1^ая производная, но и более высокие, необходимо преобразовать ДУ n^ого порядка в СДУ 1^ого, при этом кол-во ур-ий будет n. После этого преобразования можно применить ф-лы Р-К 4 для каждого из полученных ур-ий. Например для ДУ 2^ого порядка.

d²y/dx²=g(x,y,dy/dx); dy/dx=z |=> dz/dx=d²y/dx²; система: dz/dx=g(x,y,z)=z’; dy/dx=f(x,y,z)=z=y’; н.у. y(x₀)=y₀; z(x₀)=z₀

y_n+1=y_n+k; z_n+1=z_n+L, где k=(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6; L=(L₀+Lk₁+Lk₂+L₃)/6;

k₁=h*f(x_n;y_n,z_n); k₂=h*f(x_n+h/2;y_n+k₁/2;z_n+L₁/2); k₃=h*f(x_n+h/2;y_n+k₂/2;z_n+L₂/2); k₄=h*f(x_n+h;y_n+k₃;z_n+L₃), где

L₁=h*g(x_n;y_n,z_n); L₂=h*g(x_n+h/2;y_n+k₁/2;z_n+L₁/2);

L₃=h*g(x_n+h/2;y_n+k₂/2;z_n+L₂/2); L₄=h*g(x_n+h;y_n+k₃;z_n+L₃).

21 Методы прогноза и коррекции. М-д Милна.

Отличие данных методов от одношаговых заключается в том, что для выч-я знач. координат след. точки нужна инф-ция о нескольких предыдущих точках, т.е. данный метод не имеет св-ва самостартования. Исх. данные при этом получают с помощью какого-либо одношагового метода. Для получения инф-ции о положении новой точки данные методы используют 2 ф-лы, которые наз. ф-ла прогноза(ф П) и ф-ла коррекции(ф К). Блок схемы методов П и К одинаковы и различаются лишь итерационными ф-ми.

y⁽⁰⁾- нулевая точность; y⁽¹⁾- первая точность, более точная.

y_n+1⁽⁰⁾ – индекс (0) означает, что данное прогнозируемое знач. явл. одним из последовательности знач. y_n+1, располагавшихся в порядке возрастания точности, т.е. y_n+1⁽ⁱ⁺¹⁾ точнее, чем y_n+1⁽ⁱ⁾. Метод Милна.

ф-ла прогнозов: y_n+1= y_n-3+4/3*h(2y’_n – y’_n-1 + 2y’_n-2)+28/90*h⁵y⁽⁵⁾

ф-ла коррекции: y_n+1= y_n-1+1/3*h(y’_n+1 + 4y’_n + y’_n-1) –1/90*h⁵y⁽⁵⁾

Последние члены в ф-лах в итерац. процессе не используются и служат только для оценки погрешности усечения. Из формул видно что погрешность при коррекции в 28 раз меньше, чем при прогнозе. Метод 4^ого порядка точности. Данный метод используется реже, чем другие, т.к. в нём может присутствовать неустойчивость, связанная с экспоненциальным ростом погрешности распространения при увеличении числа итераций.