13.2 Основні рівняння моделі витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки

Під час витіснення нафти розчином активної домішки, як і під час витіснення нафти водою, має місце процес двофазного руху. Вище показано (див. підрозд.12.1), що під час непоршневого витіснення цей процес описується системою рівнянь руху, нерозривності потоку обох фаз і капілярного тиску. У даному випадку додатково ще треба мати рівняння балансу маси активної домішки. Запишемо ці рівняння.

Активна домішка, що знаходиться в заданому елементі пористого середовища, може бути в трьох станах – розчинена у воді, розчинена у нафті та адсорбована пористим середовищем. Концентрації домішки у воді та нафті беремо малими, тому можна вважати, що вона не змінює питомих об’ємів фаз. Фази покладаємо нестисливими. Тоді рівняння нерозривності потоку води та нафти (відповідно фази 1 і 2, або водна і нафтова) у випадку плоско-паралельної фільтрації з використанням активної домішки залишаються без змін (див. підрозд.12.2) і записуються так:

; (13.3)

.

Обмежимося описом великомасштабних процесів витіснення, як і в моделі Баклея - Леверетта, тобто нехтуємо капілярним стрибком тиску між фазами та припускаємо, що тиски у фазах однакові. Нехтуємо також гравітаційними силами. Звідси рівняння руху подаємо рівняннями узагальненого закону Дарсі у вигляді (див. підрозд. 12.2):

; (13.4)

,

де с₁, с₂ – об’ємна концентрація активної домішки відповідно у воді та в нафті.

Рівняння балансу маси активної домішки одержуємо аналогічно виведенню рівняння нерозривності потоку (див. підрозд. 12.1). Об’ємна кількість домішки в одиниці об’єму пористого середовища, що припадає на воду, нафту та пористе середовище, рівна

, (13.5)

а швидкість потоку домішки –

, (13.6)

де А – об’ємна кількість активної домішки, що адсорбована (накопичена) одиницею об’єму пористого середовища; – швидкість дифузійного потоку домішки.

Тоді рівняння балансу об’єму домішки для нестисливих фаз записуємо у вигляді:

, (13.7)

де r – об’ємна витрата утворення (генерування) домішки в розрахунку на одиницю об’єму середовища.

Розглядаючи великомасштабні процеси, природно нехтувати дифузійними потоками . Припустимо, що домішка не утворюється в пористому середовищі, об’ємна концентрація домішки в нафті

, (13.8)

а величина

, (13.9)

причому .

Додаючи обидва рівняння нерозривності потоку (13.3), дістаємо (див. також підрозд. 12.2), що сумарна швидкість фільтрації v залежить тільки від часу:

;

. (13.10)

Підставляючи обидва рівняння руху (13.4) в (13.10), маємо:

. (13.11)

З першого рівняння руху (13.4) знаходимо

і підставляємо в (13.11)

,

звідки одержуємо рівняння частки витіснювальної фази (водної фази) в потоці (функцію розподілу потоків)

(13.12)

та вирази швидкостей фільтрації:

; (13.13)

. (13.14)

Тоді, з урахуванням усього сказаного, рівняння балансу домішки перетворюємо так:

, (13.15)

де .

Зазначимо, що в разі одночасного використання кількох активних домішок треба записувати рівняння балансу кожної домішки.

Нові введені функції – і– повинні визначатися експериментально або на основі математичного моделювання.

Таким чином, п’ять рівнянь нерозривності потоку (13.3), руху (13.4) та балансу домішки (13.15) утворюють замкнуту систему рівнянь, яка описує процеси двофазної фільтрації з активною домішкою (базову, основну модель процесів підвищення нафтовилучення). Нагадаємо, що визначенню підлягають п’ять невідомих: v₁, v₂, p, s, c.

Цю систему рівнянь можна спростити. Підставляючи в перше рівняння нерозривності потоку (13.3) вираз швидкості фільтрації води v₁ (13.13), одержуємо:

. (13.16)

Тоді система рівнянь (13.11), (13.15) і (13.16) дає змогу визначити s, c і р.

Можна також ввести безрозмірні незалежні змінні:

; . (13.17)

Тоді (13.15) і (13.16) набувають вигляду:

; (13.18)

. (13.19)

Рівняння балансу домішки (13.18) і рівняння балансу маси води (рівняння Баклея - Леверетта) (13.19) утворюють уже незалежну систему рівнянь, що дає змогу визначити s і с. Тиск p окремо визначається з (13.11) за знайденими s і с.

Система рівнянь (13.18) і (13.19) дає змогу визначити s і с, а оскільки s і с пов’язані залежністю , то з цієї системи можна визначити також залежні змінніs і . Отже, під час розгляду великомасштабних процесів досить знати лише вплив активної домішки на функцію розподілу потоків.