13.3 Математична модель адсорбції активної домішки

Накопичення домішки в одиниці об’єму пористого середовища можна розглядати як результат двох явищ – адсорбції та десорбції. Нагадаємо, що адсорбцією називають концентрування якої-небудь речовини на поверхні твердого чи рідкого тіла в результаті самовільного її переходу з об’єму фази. Десорбція – це обернений процес.

Припускаємо, що інтенсивність адсорбції пропорціональна концентрації домішки у воді с та недонасиченню поверхні пористого середовища домішкою , а інтенсивність десорбції – насиченості поверхні пористого середовища домішкою. Тоді в результаті алгебраїчного додавання названих інтенсивностей завдяки дії двох протилежних процесів одержуємо рівняння кінетики адсорбції:

. (13.20)

де в₁, в₂ – константи сорбції та десорбції.

Тут насиченість поверхні пористого середовища домішкою

, (13.21)

де А_mах – максимально можлива кількість адсорбованої домішки.

Рівняння (13.20) показує, що адсорбція практично відбувається протягом певного проміжку часу, після якого наступає рівновага за заданої концентрації с в конкретному середовищі. Якщо розглядати повільні процеси фільтрації, тобто такі, які змінюються дуже повільно, то нерівноважними ефектами адсорбції можна нехтувати. Нерівноважні ефекти перебудови потоку під дією капілярних сил мають місце також під час витіснення нафти водою, але ми неявно ними нехтували, тобто розглядали повільні процеси фільтрації. Вплив нерівноважних ефектів на витіснення ще потребує детального вивчення. Тому поки припускають, що розподіл домішки між поверхнею пористого середовища і водою є термодинамічно рівноважним, а отже, інтенсивності адсорбції і десорбції рівні між собою, тобто . Тоді із рівняння (13.20) одержуємо відому формулу записуізотерми нелінійної сорбції Ленгмюра:

, (13.22)

де ;.

Графік залежності (13.22) зображено на рис. 13.1. Звідси виходить, що за малих концентрацій домішок у воді (, точніше) залежністьмає прямолінійний характер і зводиться доізотерми лінійної сорбції Генрі:

, (13.23)

де Г називають константою Генрі. Зазначимо, що в₁, в₂, А_mах, а також Г і а визначають експериментально. Величини в₁ і в₂ можуть бути функціями інших параметрів системи, наприклад, швидкості фільтрації, але їх поки вважають постійними.

Для розрахунку найчастіше обмежуються ізотермою Генрі.

13.4 Аналіз розв’язків задачі витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки

Фронтальне (прямолінійно-паралельне чи плоскорадіальне) витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки описується системою рівнянь (13.18) і (13.19) – базовою моделлю фізико-хімічної гідрогазомеханіки (гідродинаміки). Залежно від природи домішки задають конкретний вигляд функцій і. Найчастіше обмежуються випадком, коли ізотерма сорбціїі рівняння розподілу домішкиє лінійні:

;, (13.24)

де – коефіцієнт пропорціональності.

Тоді рівняння балансу домішки (13.18) перетворюється так:

;

;

, (13.25)

де ;.

Початкові та граничні умови такі:

(13.26)

Рівняння (13.19) і (13.25) утворюють гіперболічну систему квазілінійних рівнянь. Ці рівняння на відміну від лінійних допускають розривні розв’язки, коли в розподілах насиченості і концентраціїможливі стрибки (стрибкоподібна змінаs і с на безмежно малій товщині – фронті): s - стрибки і c - стрибки.

З теорії систем рівнянь подібного виду випливає, що область фільтрації розбивається на ряд підобластей:

а) підобласть постійності змінних величин s і с (так звані вироджені хвилі);

б) підобласть постійності змінної величини с (так звані s-хвилі);

в) підобласть зміни обох змінних величин s і с (так звані с-хвилі);

г) підобласть стрибкоподібної зміни s і с (s-стрибки і с-стрибки).

У загальному випадку існує два стрибки насиченості s – перший, анало­гічний баклеєвському стрибку водонасиченості в задачі про заводненння, та другий, пов’язаний із стрибком концентрації активної домішки (з с-стрибком). На стрибках мають виконуватися співвідношення балансу маси фаз і маси домішки (так звані умови Гюгоніо), що пов’язують швидкість стрибка та значини невідомих величин перед стрибком s⁺, с⁺ і за ним s^-, с^-, а також умова стійкості. Остання полягає в тому, що розривний розв’язок стійкий відносно накладання малих збурень на сам розв’язок.

Такі задачі можна розв’язати наближеними числовими методами з використанням ЕОМ. В.М. Єнтов, виходячи з аналізу розмірностей, ввів автомодельну змінну

(13.27)

і дістав точні автомодельні розв’язки одновимірної задачі для підобластей безперервності зміни змінних вигляду

;, (13.28)

де ізадовольняють систему звичайних диференціальних рівнянь, одержаних з (13.19) і (13.21) з використанням (13.23):

; (13.29)

. (13.30)

Для графоаналітичного розв’язування задачі поступаємо так.

1. На діаграмі , яка називаєтьсяфазовою, будуємо графіки функцій і, задаючись рядом насиченостейs витіснювальної фази (чим менший буде крок зміни s, тим плавнішим буде графік і, відповідно, вищою буде точність розрахунку), для двох відомих концентрацій активної домішки с₀ і с_п (параметри функцій), де с₀ – концентрація активної домішки у витіснювальній фазі на вході в пласт (= 0) і за часу > 0;с_п – концентрація активної домішки у всьому пласті ( > 0) і в початковий момент часу (= 0). Звичайно, для випадку витіснення нафти розчином активної домішки беремо початкову концентраціюс_п = 0, що відповідає випадку витіснення нафти водою (задача Баклея - Леверетта).

2. Із полюса проводимо дотичну до функції.

3. Абсциса точки дотику дотичної до графіка функції є шуканою величиною насиченостіs^- перед стрибком насиченості (розгляд ведеться по ходу зростання).

4. Абсциса точки перетину дотичної до графіка функції з графіком функціїє величиною насиченостіs⁺ після стрибка насиченості (рис. 13.2).

5. Із точки з координатами проводимо дотичну до кривої, чи конкретніше до кривоїзас_п = 0, абсциса точки дотику якої є величиною насиченості на фронті витіснення нафти водою ( аналогічно як і в задачі Баклея - Леверетта (див. розд. 12)).

6. Якщо , то маємо випадок малої сорбції (точка D на рис. 13.2, а), а якщо  >  – випадок великої сорбції (точка D на рис. 13.2, а).

7. Безрозмірні швидкості фронту стрибка насиченості (і стрибка концентрації) і фронту витіснення нафти водоювизначаємо як тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичних відповідно до функційі.

8. Будуємо графіки розподілів насиченостей і концентрації домішки.

На рис. 13.2 показано відповідні розподіли насиченостей в один момент часу для випадку витіснення нафти водою (пунктирна лінія) і розчином активної домішки (суцільна лінія) за малої (б) та великої (в) сорбцій. Звідси випливають такі практичні висновки:

1) домішка, що дуже сорбується породою, не змінює часу настання моменту обводнення і початкової стадії водного періоду розробки (на рис. 13.2, в пунктирна і суцільна лінії співпадають – відрізок ЕD); її роль зводиться до деякого сповільненого росту обводненості на проміжній стадії (відрізок DD) та збільшення повноти витіснення на завершальній стадії (суцільна лінія СВ лежить вище пунктирної лінії);

2) якщо домішка сорбується слабко, то дещо збільшується безводний період експлуатації і зменшується обводненість продукції на початковій стадії обводнення (на рис. 13.2, в суцільна лінія ЕDD лежить лівіше пунктирної лінії);

3) в обох випадках фронту витіснення нафти розчином активної домішки передує фронт витіснення нафти водою (правіше заштрихованої області сорбції домішки). Але за великої сорбції фронт витіснення нафти водою і передня частина профілю водонасиченості повністю співпадають із фронтом витіснення нафти і профілем водонасиченості за звичайного заводнення (показано пунктиром на рис. 13.2, б і в).

Із розглянутого виснуємо, що цей метод узагальнює розв’язок задачі Баклея - Леверетта (див. підрозд. 12.3 щодо методу характеристик ). При цьому важливо, що використовуються лише криві для двох значинс (початкової с_п і кінцевої с₀).

Задача 13.1. У пористому пласті здійснюється витіснення нафти водним розчином поліакриламіду (ПАА) з концентрацією с = 0,001 за законом Дарсі. Відомо, що під час витіснення нафти полімером (ПАА) він залишається у водній фазі, тобто не переходить у нафту, функція розподілу , коефіцієнт фазової проникності для нафти не змінюється, а має місце підвищення в’язкості води. Наявність ПАА у воді за даними лабораторних досліджень зменшує залишкову нафтонасиченість згідно з рівнянням:

де – коефіцієнт залишкової нафтонасиченості під час витіснення нафти водою.

Динамічний коефіцієнт в’язкості розчину (водної фази) в залежності від концентраціїс полімера виражається рівнянням:

де – динамічний коефіцієнт в’язкості чистої води ().

Залежності відносних коефіцієнтів фазових проникностей водної фази (води або розчину ПАА) і нафти від коефіцієнту насиченості водною фазою мають вигляд:

де – коефіцієнт початкової водонасиченості пласта, причому ,.

ПАА адсорбується скелетом пористого середовища за законом Генрі (ізотерма лінійної сорбції Генрі) з константою Генрі Г = 0,8. Динамічний коефіцієнт в’язкості нафти становить 7 мПа∙с.

Знайти: а) коефіцієнт насиченості водною фазою за фронтом концентрації ПАА; б) коефіцієнт насиченостіводною фазою перед фронтом концентрації ПАА; в) коефіцієнт насиченостіна фронті витіснення нафти водою. Яка сорбція ПАА має місце в цьому випадку: значна чи слабка?

Розв’язування. Розраховуємо:

залишкову нафтонасиченість

;

динамічний коефіцієнт в’язкості розчину

координати полюса

; .

Будуємо графіки функцій частки водного розчину ПАА f (s, c) і частки води f (s, 0), в залежності від насиченості s за формулами (графік аналогічний рис. 13.2, а):

; .

Із полюса (0,2; 0) проводимо дотичну до кривої f (s, 0). Точка дотику, спроектована на вісь абсцис, дає нам шукану значину коефіцієнта насиченості водою на фронті витіснення

Із полюса (-0,8; 0) проводимо дотичну до функції f (s, с). Абсциса точки дотику є шуканою величиною насиченості після стрибка насиченості , а точка перетину цієї дотичної з кривою лінією функціїf (s, 0) – величину насиченості перед стрибком насиченості (для підвищення точності відліку графік, в межах точок дотику і перетину, побудовано в збільшеному масштабі в системіMathCAD).

Так як , то маємо випадок значної сорбції ПАА породою (якісний графік розподілу насиченості аналогічний графіку на рис. 13.2,в).

Розподіл насиченості вздовж пласта під час довитіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки з покладу, який раніше розроблявся способом заводнення, показано на рис. 13.3. За рахунок введення активної домішки можливими є два випадки витіснення: а) перед фронтом концентрації активної домішки формується зона, в якій нафтонасиченість більша від початкової (у попередньо заводненому пласті), тобто формується так званий “нафтовий вал”, а фронт активної домішки відстає від фронту витіснення (див. рис. 13.3, б); б) утворюється “нафтове плато” з повільним зниженням нафтонасиченості на задньому його фронті, а передній фронт плато співпадає з фронтом переміщення активної домішки (див. рис. 13.3, в).

Активні домішки дорогі, тому їх нагнітають у вигляді облямівки (рис. 13.4).

Під облямівкою розуміють невелику порцію розчину активної домішки, яка подається в пласт і переміщається далі по пласту водою. Якщо ізотерма сорбції і рівняння розподілу домішки між фазами лінійні (адсорбція та десорбція повністю оборотні), то об’єм облямівки домішки стабілізується. У разі опуклої (угнутої) ізотерми сорбції об’єм облямівки необмежено зростає, а концентрація домішки в ній зменшується. Необоротність сорбції призводить до зникнення облямівки в ході переміщення її по пласту. Багатодомішкові облямівки можуть розшаровуватися на однодомішкові, бо в них різні константи сорбції та розподілу між фазами.

Якщо в разі прямолінійно-паралельної фільтрації об’єм облямівки стабілізується, то відстань між фронтом і тилом облямівки також стабілізується. А в разі плоско-радіального витіснення лінійний розмір облямівки асимптотично прямує до нуля, оскільки збільшується радіус фронту за постійного об’єму облямівки. Це необхідно врахувати під час вибору розміру облямівки.

Розглянута теорія узагальнюється і на процеси витіснення нафти концентрованими розчинами активних домішок та реагентів, які впливають на фазову рівновагу. Для цього необхідно враховувати два фактори:

1) за великої концентрації домішки зміна об’ємів фаз уже істотна і нехтувати нею не можна;

2) активна домішка, розподіляючись між фазами, призводить також до взаємної розчинності початково незмішуваних фаз, наприклад, до часткового переходу нафти у водну фазу та навпаки (змінюється масообмін між фазами).