Дополнительные задания

x

2.151. Доказать, что

функция

j(x) = -òlncos ydy

(интеграл Лобачевского)

удовлетворяет соотношению

0

æ p

x

ö

æ p

x ö

j(x) = 2jç

+

÷

- 2jç

-

÷ - xln2 .

2

4

è 4

ø

è

2 ø

Вычислить несобственные интегралы (2.152-2.153).

π/ 2

π/ 2

2.152. ò lnsin xdx .

2.153.

ò xctg xdx .

0

0

∞

∞

p

2.154. Используя, что òe−x2 dx =

(интеграл Пуассона), вычислить òx2 ×e−x2 dx .

2

0

θ

0

dj

2.155. Исследовать на сходимость ò

.

cosj- cosq

0

∞

sin x

2.156. Исследовать на сходимость интеграл

ò

dx

в зависимости от значений

x

γ

0

+ sin x

параметра γ > 0 .

20

3. Приложения определенного интеграла

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в декартовой системе координат.

3.1. y = (x - 2)3,

y = 4x -8 .

3.2. y = x×

9 - x2 , y = 0 .

3.3. y = 4 - x2 ,

y = x2 - 2x .

3.4. y = 4 - x2 , y = 0, x = 0, x =1.

3.5. y =

ex -1,

y = 0,

x = ln2 .

3.6. y = arccos x,

y = 0,

x = 0 .

3.7. y = (x +1)2 ,

y2 = x +1. 3.8. y = 2x - x2 + 3,

y = x2 - 4x + 3 .

3.9. y = sin x,

y = 0,

x = -

7p

, x = p .

6

4

3.10. y = x2 - 6,

y = -x2 + 5x - 6 .

3.11. x2 + y2 = 8,

y =

x2

(большую площадь).

2

3.12. y = arcsin x,

y = arccosx, y = 0 .

3.13. y2 = 6x,

x2 + y2 =16 (меньшую площадь).

3.14. y = sin x,

y = cos x, y = 0, 0 £ x £ p .

2

3.15. y = x2 + 4x +1,

y = -x2 + 7x + 3 .

3.16. y =

lg x

,

y = 0,

1

£ x £10 .

10

3.17. x = y2 (y -1),

x = 0 . 3.18. y = tg x, y =

cos x, x = 0 .

2

3.19. y2 + 8x =16,

y2 - 24x = 48.

3.20. y = -

1

x2 + 3x + 6,

y =

1

x2 - x +1 .

2

2

3.21. y = (x -1)2 ,

y2 = x -1.

3.22. y = xarctg x,

y = 0, x =

.

3

3.23. y = x2 ×

8- x2 ,

y = 0,

0 £ x £ 2

.

2

3.24. y = x×

4 - x2 ,

y = 0, 0 £ x £ 2 .

3.25. y = x2 - 6,

y = -x2 + 5x - 6 .

3.26. xy = 8,

y = 8x3,

y = 27 .

3.27. y = x×

36 - x2 ,

y = 0,

0 £ x £ 6 .

3.28. y = x2 ,

y =

1

,

y = 0,

x = 0, x = 3 .

x2

3.29. y = arcsin x,

px = 2y .

3.30. y = sin x,

y = 2sin x, x = 0, x =

7p

.

4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярной

системе координат.

3.31. r = cos2j .

3.32. r = 4cos3j,

r = 2 (r ³ 2) .

3.33. r =

r = sinj .

3.34. r = 4sin3j,

r = 2 (r ³ 2) .

3cosj,

21

3.35. r =

1

+ cosj .

2

3.37. r = sinj,

r =

æ

p ö

2cosçj -

4

÷ .

è

ø

3.38. r = cosj,

r = sinj .

3.40. r = sin2 j

,

- p

£ j £ p .

2

2

2

3.42. r = 4cos4j .

3.44. r = cosj-sinj .

3.46. r = 2cos6j.

3.48. r = 2cosj -1 .

1

æ

1 ö

3.50. r = sin2j,

r =

çr ³

÷ .

2

è

2 ø

3.51. r =1+

2cosj .

3.53. r = 2sin4ϕ .

3.55. r = 6sinϕ,

r = 4sinϕ .

3.57. r = 2sinϕ,

r = 4sinϕ .

	3.36. r =
			3sinj, r = cosj .
	3.39. r =	4						,		p	£ j £ p .
		æ					pö		6
											3
		cosçj-					÷
		è					6 ø
	3.41. r =	5	sinj,				r =		3	sinj .
		2							2
	3.43. r = cosj+ sinj .
	3.45. r = 3sinj,						r = 5sinj .
	3.47. r = 2(2 + cosj) .
	3.49. r = 2cosj +1.
	3.52. r =1+
					2sinj .
	3.54. r = cos3ϕ .
	3.56. r = 2cosϕ,						r = 3cosϕ .

3.58. r =		æ		pö					æ	pö
						, r = 2sin
	2cosçj -			4	÷				çj -	÷ .
	è				ø				è	4 ø
3.59. r = 2cos3j,			r =1 (r ³1) .
3.60. r = a(1+ sin2 j),					r = a .

Вычислить длину дуги, заданной в декартовой системе координат.

	3.61. y = ln x,				£ x £		.	3.62. y = lnsin x, p	£ x £ p .
				3		15
	3.63. y =1- lncos x, 0 £ x £ p .							3	2
								3.64. y = ch x, 0 £ x £1.
						6
	3.65. y2 =16x (часть, отсеченную прямой x = 4 ).
	3.66. y = 2 + ch x, 0 £ x £1.							3.67. y = ln(1- x2 ),	0 £ x £	1	.
										2
	3.68. y =1- lnsin x, p £ x £ p .
				3		2
	3.69. y2 = 9 - x,			y = -3,		y = 0 .
	3.70. y =	1	(ex + e−x ) + 3,			0 £ x £ 2 .
	2

3.71. 5y3 = x2 (часть, заключенную внутри окружности x2 + y2 = 6 ).

				7	.
	3.72. y = 1- x2 + arcsin x, 0 £ x £
				9

	3.73. y = ln		5	,			£ x £					.
						3					8
			2x											1
	3.74. y = 2 + arcsin								+	x - x2 ,					£ x £1.
								x
														4
															8
																.
	3.75. y = 1- x2 + arccos x, 0 £ x £
															9

22

3.76. y = ln(x2 −1),			2 ≤ x ≤ 3 .
																			1	.
3.77. y = −arccos			+ x − x2 ,											0 ≤ x ≤
		x
																			4
3.78. y = 2 − ex , ln
						≤ x ≤ ln									.
				3									8
																	15	.
3.79. y = arcsin x −		1− x2 ,								0 ≤ x ≤
																16
3.80. y = ln7 − ln x,							≤ x ≤							.
					3							8
3.81. y = −x2 + 2x		(от вершины до точки с абсциссой x = 2 ).

3.82. y2 =			x3				(от начала координат до точки с абсциссой x = 6 ).
				6
3.83. y = ch(x +1),											−1≤ x ≤ 0 .
3.84. y = ex + 26,											ln				≤ x ≤ ln										.
													8								24
																											3	.
3.85. y =1+ arcsin x −														1− x2 ,					0 ≤ x ≤
																											4
					ex		+1
3.86. y = ln									,		1≤ x ≤ 2 .																	3.87. y = 2ln		4	, 0	≤ x ≤1.
					ex		−1																							− x2
																											4
3.88. y = ln(x +											),	0 ≤ x ≤								−						.
										3									8				3
																						1		≤ x ≤1 .
3.89. y = x − x2 − arccos																	+ 5,
																x
																						9
	1		(e2x + e−2x + 3),
3.90. y =																0 ≤ x ≤ 2 .
	4

23

Вычислить длину дуги, заданной параметрически.

ì

=

3

cos3 t,

3.91.

ïx

2

(эволюта эллипса).

í

ï

= 3sin

3

t

îy

3.92.

ì

= cos

4

t,

íïx

ïy = sin4 t.

î

3.93. íìx = cost + tsint,

(развертка окружности).

îy = sint -t cost, 0 £ t £ 2p

3.94. íìx = sht -t,

3.95.

ì

= ch

3

t,

íïx

îy = cht -1, 0 £ t £ 2.

ïy = sh3 t, 0 £ t £1.

î

ìx = et (cost + sint),

ìx = cos5 t,

3.96.

ï

3.97.

ï

í

= et (cost - sint),

p £ t £ p

.

í

= sin5 t, 0 £ t £ p.

ïy

ïy

î

t

6

4

î

2

ì

3.98. íïx

= cost + lntg

, (от точки (0,1) до точки (x, y) (трактриса)).

2

ï

= sint

îy

ìx =

1

cost -

1

cos2t,

2

4

3.99.

ï

í

1

1

p

2p

ï

=

sint -

sin2t,

£ t £

.

ïy

2

4

2

3

î

ìx = t2 ,

3.100. íï

t

3

(длину петли).

ïy = t -

î

3

ìx = 8sint + 6cost,

3.101. íï

0 £ t £

p

.

ïy = 6sint -8cost,

2

î

ì

t3

ìx =1-t,

3.102. íïx =

3 -t,

3.103. íï

ï

2

ïy =1-t2 , y ³ 0.

+ 2, 0 £ t £ 3.

î

îy = t

ì

ïx =

,

3t

3.104. íïy = t,

(от начала координат до точки (3, 3, 2) ).

ï

2

ï

t

t

ïz =

3

3

î

ì

5cos

2

t,

ìx = 2t,

3.105.

3.106. íïy = lnt,

íïx =

ïy = 3sin2 t.

ï

1£ t £10.

î

îz = t2 ,

ìx = cost,

æ

ö

ï

2

2

ln2

3.107.

íy = sint,

(от точки (1, 0, 0) до точки ç

,

, -

÷ ).

ï

ç

2

2

2

÷

è

ø

îz = lncost

24

ìx = et

cost,

3.108.

ï

(от точки (1, 0,1)

до точки, соответствующей

íïy = et sint,

ï

параметру t).

ïz = et

î

ìx = (t2 - 2)sint + 2t cost,

3.109.

ï

í

0 £ t £ p.

ïy = (2 - t2 )cost + 2t sint,

î

2

3.110. íìx = a(cost + tsint),

(a > 0),

(развертка окружности).

îy = a(sint -t cost),

0 £ t £ 2p

3.111.

ì

5

t,

íïx = acos

(a > 0).

ïy = asin5 t,

î

ì

æ

t

ö

, (трактриса от точки (0, a) до точки

3.112.

ïx = a

çcost + lntg

÷

2

í

è

ø

(x, y)

(a > 0)).

ï

îy = asint

3.113. íìx = a(cht -t),

0 £ t £ 4,

(a > 0).

îy = a(cht -1),

3.114.

ì

3

-3t,

(длину петли).

íïx = t

ïy = 3t2 +1

î

(от точки (a, 0, 0) до точки

ìx = acost,

ï

æ

ö

3.115.

a

2

a 2

a

íy = asint,

ç

,

, -

ln2÷).

ï

ç

2

2

2

÷

îz = alncost

è

ø

ì

ïx = t,

(от начала координат до точки, соответствующей

3.116. íïy =

2t -t2

,

параметру t).

ï

2

ï

îz = ln 2 -t

ì

ïx = t,

3.117. íïy = arcsint,

(от начала координат до точки çæ

1

, p

,

ln3

÷ö ).

ï

1

1+ t

è 2

6

4 ø

ï

îz = 4 ln1-t

ì

t

ïx =

òcos z dz,

(от начала координат до ближайшей точки с

3.118.

ï

1

z

í

t

вертикальной касательной).

ï

sin z

ò

ïy =

dz

ï

z

î

1

ìx = acost,

3.119. ïíy = asint, (длину первого витка).

ïîz = kt

ìx = 3(t -sint),

3.120. í

îy = 3(t - cost), 0 £ t £ 2p.

Вычислить длину дуги, заданной в полярной системе координат.

25

3.121.

3.123.

3.125.

3.126.

3.127.

3.129.

r = sin3 j,					0 £ j £ p .
		3								2
r =		1			,		j		£ p .
		+ cosj
	1									2
r =1-sinj,					- p					£ j £ - p .
					2					6
r = 2(1- cosj),										- p £ j £ - p .
										2
r = 3(1+ sinj), - p £ j £ 0 .
										6
j =				, 0 £ r £ 5 .
			r

	3.122. j×r =1,			3	£ j £		4	.
				4			3
	3.124. r =		eϕ ,		- p	£ j £ p .
		2
					2		2

3.128. r = 2sin4 j4 . 3.130. r = 3cos4 j4 .

3.131. r = 2j,

0 £ j £

3

.

3.132. r = 5j, 0 £ j £

12

.

4

5

3.133. r = 8sinj,

0 £ j £ p .

4

3.134. r = 4(1-sinj),

0 £ j £ p .

3.135. r = 5e5ϕ/ 2 ,

0 £ j £ p .

2

1 £ j £ 3 .

6

3

3.136. r =

,

j

2

4

3.137. r =

1

,

p

£ j £ p .

3.138. r = sin4 j .

1- cosj

4

2

4

3.139. r =

1

, 0 £ j £ p .

3.140. r = cosj-sinj .

1+ sinj

3.141. r = cosj+ sinj .

3.142. r =

1

,

3 p £ j £ p .

3.143. r = 6sinj,

0 £ j £ p .

1-sinj

4

3

3.144. r = 8cosj,

0 £ j £ p .

4

3.145. r = 8(1- cosj),

-

2

p £ j £ 0 .

3

3.146. r = 7(1-sinj),

- p

£ j £ p .

6

6

3.147. r =

eϕ , 0 £ j £ p .

2

2

3.148. r = 5j, находящейся внутри круга r =10π .

3.149. r = 2eϕ , находящейся внутри круга r = 2 .

3.150. r = 6(1+ sinj),

- p

£ j £ 0 .

2

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными

линиями вокруг оси OX.

3.151. y = -x2 + 5x - 6, y = 0 .

3.152. 2x - x2 - y = 0,

2x2 - 4x + y = 0 .

3.153. y = 3sin x,

y = sin x,

0 £ x £ p .

3.154. y = 5cos x,

y = cos x,

x = 0,

x ³ 0 .

3.155. y = sin2 x,

x = p,

y = 0 .

2

26

3.156. y =1− x2 , x = 0,

x =

y − 2, x =1.

3.157. y = 2x − x2 ,

y = −x + 2 .

3.158. y = e1−x ,

y = 0, x = 0,

x =1.

3.159. x = 3

x =1,

y =1 .

y − 2,

3.160. y = x2 ,

y2 − x = 0 .

3.161. x2 + (y − 2)2 =1.

3.162. y = sin

πx

,

y = x2 .

2

3.163. x2 − 2x + y = 0,

2x2 − 4x + y = 0 .

3.164. y = x2 ,

y =1,

x = 2 .

3.165. y = xex ,

y = 0,

x =1 .

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными

линиями вокруг оси OY.

3.166. x = (y − 2)2 ,

x = 0, y = 0 .

3.167. y = arccos

x

,

y = arccosx,

y = 0 .

3

3.168. y = arcsin x,

y = arccosx,

y = 0 .

3.169. y = x2 +1, y = x,

x = 0,

x =1.

3.170. y =

y = 0,

y =1,

x =

1

.

x −1,

3.171. y = ln x,

x = 2,

y = 0 .

2

3.172. y = (x −1)2 ,

y =1.

3.173. y2 = x − 2,

y = 0,

y = x3,

y =1.

3.174. y = arcsin

x

,

y = arcsin x,

y = π .

5

2

3.175. y2 = (x + 4)3,

x = 0 .

3.176. y = x(4 − x),

y = 0 .

3.177. x2 − y2 = 4,

y = ±2 .

3.178. y = x2 − 2x +1,

x = 2,

y = 0 .

3.179. y = x3,

y = x .

3.180. 2y =16 − x2 ,

y − 4 = 0,

y = 0 .

Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной в декартовой системе координат, вокруг оси OX.

3.181. y = 2x3,

− 2 ≤ x ≤ 2 .

3.182. y = −x2 + 5x − 6, y = 0 .

3.183. x2 + (y −1)2 = 4 .

3.184. y =

1

ch2x,

x

≤ 2 .

2

3.185. y = e−2x ,

0 ≤ x < +∞ .

3.186. y =

1

x

,

0 ≤ x ≤ 4 .

x

2

≤ π .

1

,

x

≤

.

3.187. y = cos x,

x

3.188. y =

1+ 3x2

2

x

3

3.189. y = x2 , y =

.

3.190. y = 2ch

,

x

≤ 2 .

x

2

27

3.191. y = 2x3,		x			≤1.			π .
3.193. y = sin3x,				0 ≤ x ≤
								3
3.195. y2 = 9 + x,					x		≤ 9 .

	3.192. y2 = 4 + x,			x = 2 .
	3.194. y = cos	πx	,		x		≤1 .
		2

Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной в декартовой системе координат, вокруг оси OY.

3.196. y = arccos 3x , y = arccosx, y = 0 .

3.197. y = 12 ch2x, x ≤ 2 . 3.199. (x − 4)2 + y2 = 9 .

3.201. y2 + 4x = 2ln y, 1≤ y ≤ 2 . 3.203. 4x2 + y2 = 4 .

3.198.

3.200.

3.202.

3.204.

	y =	1	ln x, 0 < x ≤1.
		2
					x								1
	y = 2ch					,		x			≤			.
				2									2
	9x2 = y(3− y)2 .
	y =	x2		,		y =			3			.
		2						2

3.205. y =

1

ln x,

0 < x ≤1.

3.206. y =

1

ch3x,

x

≤ 3 .

4

3

3.207. (x − 2)2 + y2 =1.

3.208. y = 2ln x,

0 < x ≤1 .

3.209. y = 4ch

x

,

x

≤ 4 .

3.210. x =

1

y2 −

1

ln y, 1≤ y ≤ e .

4

4

2

28