Дополнительные задания

3.211. Скорость тела меняется по закону v = 0,03t2 м/с . Какой путь пройдет тело за 10 с? Чему равна средняя скорость движения?

3.212. Скорость автобуса при торможении изменяется по закону: 15 −3t м/с . Какой путь пройдет автобус от начала торможения до полной остановки?

3.213. Скорость движения точки v = tе−0,05t м/с . Найти путь, пройденный точкой от

начала движения до полной остановки.

3.214. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если сила в 20 Н растягивает пружину на 20 см?

3.215. Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить работу 24 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 150 Дж?

3.216. Определить величину давления морской воды на вертикальный круг радиуса R = 0,2 м , центр которого погружен в воду на глубину H =10 м . Плотность морской воды

γ =1020кг/м3 .

3.217. Найти силу давления воды (плотность γ ) на круглый иллюминатор диаметром D (на вертикальном борту судна), наполовину погруженный в воду.

3.218. Найти силу давления воды (плотность γ ) на прямоугольные ворота шлюза,

ширина которых а, высота b, если шлюз заполнен водой на одну треть.

3.219. Найти силу давления воды на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции. Размеры трапеции a = 7 см (низ), b = 12 см (верх), h = 5 м. Плотность воды 1000 кг/м3.

3.220. Вода полностью заполняет резервуар кубической формы с ребром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на боковую стенку.

3.221. Найти давление спирта (плотность γ = 830 кг/м3 ), находящегося в цилиндрическом баке высотой 3 м и радиусом 4 м, на боковую стенку бака.

3.222. Найти статические и инерционные моменты однородной дуги (плотность γ )

астроиды x = 2cos3 t, y = 2sin3 t , расположенной в первой четверти.

3.223. Найти массу и статические моменты относительно координатных осей Ox и Oy дуги астроиды x2/3 + y2/3 = а2/3 , расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой ее точке равна γ = х .

3.224. Найти статический момент кривой r = 4sinϕ относительно полярной оси.

3.225. Найти статический момент однородной дуги (плотность γ ) кривой y = cos x, 0 ≤ x ≤ π/ 2 относительно оси Ox.

3.226. Найти массу и момент инерции плоского однородного стержня (плотность γ =1) длины l относительно его конца.

3.227. Найти момент инерции окружности (плотность γ =1) радиуса R относительно ее диаметра.

3.228. Найти координаты центра тяжести однородной дуги (плотность γ ) окружности

x2 + y2 = R2 , расположенной в третьей четверти.

3.329. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды (плотность γ ) x = cos3 t, y = sin3 t , расположенной левее оси Oy.

3.330. Найти центр тяжести четверти окружности x2 + y2 = R2 , расположенной в первом

координатном углу, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.

29

4. Функции многих переменных

Найти и изобразить область определения функции u = f (x, y) .

4.1. u = ln é(x2 + y2

-1)×(y -1)ù .

4.2. u =

1

+

1

.

ë

û

x2 + y2 -1

x - y

4.3. u =

1- x3 + ln(y2 + x2 - x) .

4.4. u =

×ln(x + y) .

x - y + 2

4.6. u = arcsin

x

4.5. u =

1- (x2 + y)2 ×ln y .

+ arcsin(1- y) .

y2

4.7. u =

sin(x2 + y2 ) + arcsin(x - y) .

4.8. u = ln(xsin y) .

4.9. u = ln(4x - y2 -8)×ln(4- x) .

4.10. u =

1

.

(x2 -1)(1- y2 )

4.11. u = arcsin(x + y) + 4 - x2 - y2 .

4.12. u =

1 arcsin

x + y

.

4.13. u = arccos

x

+ ln y .

x + y

x

y

4.14.u = 1- x2 - y2 + arcsin y .

x2

4.15.u = 4 - x2 - y2 + x2 + y2 - 2x .

9 - x2

- y2

x2 + y2

- x

4.16. u =

.

4.17. u =

.

2x - x2 - y2

x2 + y2 - 4

y

4.18. u = arcsin

+ ln(4 - y2 ) .

4.19. u =

log2 (x2 + y2 ) .

x

4.20. u = ln(1- x - y) + ln(x2 - y) .

4.21. u =

.

y ×cospx

x -

4.22. u =

y

.

2 - x2 - y2

4.23. u =

1- x2 + 2x - y2 + 1- x2 - y2 + 2y .

4.24. u = arcsin

x

+ arcsin(1- y2 ) .

y2

4.25. u = ln[(1- x + y)(2 - 3x + y)] .

x

4.26. u =

x2 + y

2 - 4

×ln(y - x2 + 5) . 4.27. u = arcsin

×

x2 - y + 3 .

y

æ x

ö

4.28. u = lnç

+ 5÷ln(x -1) .

è y

ø

4.29. u =

×ln(1- x2 - y2 ) .

4.30. u = arcsin

y2

- ln(x2 - y) .

x + y -1

x

Вычислить приближенно с помощью дифференциала первого порядка.

4.31. 1,021,97 .					4.32.					.
							48,99×25,03
4.33.	4 4,992		-3,022 .		4.34. 4,98× 3				.
								27,03
4.35.		2,992	+ 4,022 .		4.36.	1,012 + 2,012 +1,982 .

30

4.37.					7							.	4.38. 1,99×sin1,51p .
						+
			16,02					8,99
		3,98
4.39.							.						4.40.	4 2,025 + 6,932 .
1		+ 4,02
4.41. 18,92					+ 9,012 .								4.42.	3 3,01×2,982 .
4.43. 1,041,98 .													4.44. 0,992,02 .
4.45.									.				4.46.	3 2,013 + 5,992 + 20 .
		15,99			×4,02

4.47. 4,97× 3							.						4.48. 13,042 - 4,992 .
			125,1
4.49. ln(3											-1).
						+ 4							4.50.	31,96			+ 2,015 .
		1,03						0,98
4.51. 3,02×cos0,98p .													4.52.	5,03					.
														2 +
																8,98
4.53. 1,984			+ 3,022 .										4.54.	16,97			+ 2,013 .
4.55. 1,012,03×3,98 .													4.56. e0,01 ×cos0,98p .
4.57. e-0,01 ×									.				4.58. 6,98×arctg0,03 .
					25,02
4.59. e0,02 ×			1+ (1,99)3 .										4.60.				×sin3,49p .
															16,03

Найти дифференциалы второго порядка.

4.61. z = x2 y2 - exy . 4.63. z = ln(x - y) .

4.65.	z =			1				.
		2(x2 + y2 )
4.67.	z = sin(2x + y) .
4.69.	z = x×sin2 y .
4.71.	z = xyt .
4.73.	z = sin(x + 5y) .
4.75.	z = ex sin y .
4.77.	z = ex cos y .
4.79.	z = x2 +					-u2 .
					xy
4.81.	z = ln(x2 + y + 3u) .
4.83.	z = ex+ y+t .
4.85.	z = (y -u)tg x .
4.87.	z = x2						.
				y + 3u
4.89.	z = ln(xyt) .

4.62. z = ln(x2 + y) . 4.64. z = ex2 +x+ y .

4.66. z = 3x2 y + 6y3 cosx .

4.68. z = ex y . 4.70. z = exy .

4.72. z = sin(x + y + t) . 4.74. z = cos(x + y) . 4.76. z = ex2 + y2 . 4.78. z = xcos y + ysin x

4.80. z = xy2 - uy . 4.82. z = x2 + y2 .

4.84. z = (x + u)×cos y . 4.86. z = ycos(x + u) . 4.88. z = cos(x2 + y2 )

4.90. z = arctg(x + y + t) .

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности F(x, y,z) = 0 в точке

M0 (x0 , y0 ,z0 ) .
4.91. x2 -1+ y2 - z2 = 0 ,		M0	(1,1,1) .
4.92.	2z2 - xy - 6 = 0 ,	M0	(1,-2,1) .
4.93.	x +10 - y2 + xz = 0 ,	M0	(1, 3,-2) .

31

4.94.x3 -1- xy + z2 = 0 ,

4.95.xz +1+ yz - x2 = 0 ,

4.96.xy - 25+ z2 - 4x + y2 = 0 ,

4.97.z3 - 2xy + 7 + y2 = 0 ,

4.98.z3 + y2 x +15 - 2y = 0 ,

4.99.xy -18 + 6z2 - y2 z = 0 , 4.100. 21- z2 + 6xy -8x = 0 , 4.101. x2 -1+ xy - 2zy + 3z = 0 , 4.102. x3 -13+ 3xy + 6z2 = 0 , 4.103. x2 - y3 + z4 + xy - 2 = 0 ,

4.104. z3 + zy - 2xz - 5 = 0 , 4.105. y3 + xz -1+ x = 0 , 4.106. z2 + x2 + 2y2 + 7 = 0 , 4.107. 2z3 + x2 - y2 - 3 = 0 , 4.108. 3z2 + xy - 5 = 0 , 4.109. xz + x2 y - y2 + 7 = 0 , 4.110. z2 + xy2 - x2 - 31= 0 , 4.111. 2z2 + yx2 + x - 9 = 0 , 4.112. xz + xy + x2 +15 = 0 , 4.113. z2 - y2 + xy3 -1= 0 , 4.114. z3 + x + x3 y -8 = 0 , 4.115. x2 + 3z2 - yx3 - 4 = 0 , 4.116. xz - xy2 + y3 - 6 = 0 , 4.117. z2 - x3 y + x2 = 5 = 0 , 4.118. yz - -x3 y - y - 3 = 0 , 4.119. z3 - x2 y3 - yz +1= 0 , 4.120. z2 - xy3 - y - 2 = 0 ,

Найти экстремумы.

4.121. u = x3 + y2 +12xy + 2 . 4.123. u = 2xy - 2x3 - 2y3 +10 . 4.125. u = ex− y (x2 - 2y2 ) . 4.127. u = x4 + y4 - x2 - 2xy - y2 . 4.129. u = (x2 + y2 )×ey . 4.131. u = x3 + xy - 4x + y2 . 4.133. u = x3 + 8y3 - 6xy +1. 4.135. u = x3 - 2x2 + y2 + xy . 4.137. u = x3 + xy2 + 6xy .

M0 (1, 4,-2) .

M0 (1,-1, 2) .

M0 (2,-6, 3) .

M0 (3,1,-2) .

M0 (-3,2,1) .

M0 (1,-2,1) .

M0 (1, 3,-1) .

M0 (1,1,-1) .

M0 (1, 2,1) .

M0 (1,1,-1) .

M0 (-1, 2,1) .

M0 (1,-1,1) .

M0 (1, 2, 9) .

M0 (1, 2,-3) .

M0 (1,1,1) .

M0 (1,-2,-6) .

M0 (1,-2, 3) .

M0 (2,1, 6) .

M0 (3,1,12) .

M0 (2,1,-1) .

M0 (2,1,10) .

M0 (1,-1, 2) .

M0 (2,1,1) .

M0 (-1,1,-2) .

M0 (2,-1, 9) .

M0 (2,-1,-5) .

M0 (-1, 2,-6) .

4.122. u = 4x - 3y - x4 + y3 . 4.124. u = 4(x - y) - x3 + y3 . 4.126. u = x3 + 3y3 - 3x -18y - 4 . 4.128. u = x3 + xy - y3 +1. 4.130. u = xy(2 − x − y) .

4.132. u = x3 + y3 - 3xy . 4.134. u = 2x3 + 2y3 - 36xy + 4 . 4.136. u = x2 + y3 - 2x - 3y2 . 4.138. u = xy(x + y −1) .

32

4.139. u = x3 − 4y4 +12xy .						4.140. u = x3 + y3 −15xy .
4.141. u = (2x − x2 )(2y − y2 ) .						4.142. u = 8					+	x	+ y .
												y
										x
4.143. u = 8x3 + y3 − 6xy − 5 .						4.144. u = x3 + y3 − 3x + 4 − 3y .
4.145. u = x3 − y3 − 6xy .						4.146. u = x3 + 8y3 +12xy −1.
4.147. u = x2 − 6xy − y3 + 2 .						4.148. u = x2 −3y3 + y + 6x − 7 .
4.149. u = x4 + y2 − 2x2 + y +15 .						4.150. u = x2 + 3xy −8ln										x		− 6ln			y		.
Исследовать			на			экстремум								функцию										двух		переменных
F(x, y) = x3 + a x2 y + a xy2				+ a y3		+ a	20	x2	+ a xy + a y2 .
21		12		03					11				02
	Номер							Значения коэффициентов
	задачи			a21		a12					a03			a20							a11				a02
	4.151.			2			1				–4			1						2					3
	4.152.			2			1				–4			2						4					6
	4.153.			4			4				–4			1						4					6
	4.154.			4			4				–4			2						8					12
	4.155.			6			9				4			1						6					3
	4.156.			6			9				4			2						12					6
	4.157.			6			9				4			1						6					6
	4.158.			6			9				4			2						12					12
	4.159.			4			4				–4			1						4					6
	4.160.			4			4				–4			3						12					18
	4.161.			6			9				4			3						18					9
	4.162.			6			9				4			3						18					18
	4.163.			8		16					8			1						8					4
	4.164.			8		16					8			2						16					8
	4.165.			8		16					8			3						24					12
	4.166.			8		16					8			4						32					16
	4.167.			8		16					8			1						8					12
	4.168.			8		16					8			2						16					24
	4.169.			8		16					8			3						24					36
	4.170.			8		16					8			4						32					48
	4.171.			2			1				–8			1						2					4
	4.172.			2			1				–8			2						4					8
	4.173.			2			1				–8			3						6					12
	4.174.			2			1				–8			4						8					16
	4.175.			6			9				–8			1						6					12

33

Номер		Значения коэффициентов
задачи
	a21	a12	a03	a20	a11	a02
4.176.	6	9	–8	2	12	24
4.177.	6	9	–8	3	18	36
4.178.	6	9	–8	4	24	48
4.179.	10	25	20	1	10	10
4.180.	10	25	20	2	20	20

Найти наибольшее						и	наименьшее				значения		функции			z = ax2 + by2 + cx + dy		в
трапеции,	ограниченной прямыми x = 0, y = 0,										y = 2, x + y = 4 . Построить несколько линий
уровня функции z и дать геометрическую интерпретацию найденного решения.
		Номер						Значения коэффициентов
		задачи				a				b			c			d
		4.181.				2				1			8			–8
		4.182.				1				3			2			24
		4.183.				1				–1			–4			8
		4.184.				–1				2			2			12
		4.185.				–1				–1			6			6
		4.186.				2				–2			4			16
		4.187.				2				–5			16			10
		4.188.				–2				3			8			12
		4.189.				–1				–2			10			–4
		4.190.				–1				4			–10			8
Найти	наибольшее				и	наименьшее				значения			функции			z = ax2 + by2 + cx + dy		в
прямоугольнике, ограниченном							прямыми			x = 0, y = 0,			x =1, y = 2 .			Построить несколько
линий уровня функции z				и дать геометрическую интерпретацию найденного решения.
		Номер					Значения коэффициентов
		задачи				a				b			c			d
		4.191.				1				–2			1			–1
		4.192.				1				1			2			3
		4.193.				1				0			2			5
		Номер					Значения коэффициентов
		задачи				a				b			c			d
		4.194.				–2				2			–2			1
		4.195.				1				–2			3			4
		4.196.				–1				4			–7			1
		4.197.				1				–3			4			2
		4.198.				–2				–4			6			7
		4.199.				2				0			4			–1
		4.200.				1				–2			4			3
Найти	наибольшее				и	наименьшее				значения			функции			z = ax2 + by2 + cx + dy		в

треугольнике, ограниченном прямыми			x = 0, y = 0,		x + y = 6 .		Построить несколько линий
уровня функции z и дать геометрическую интерпретацию найденного решения.
	Номер	Значения коэффициентов
	задачи	a		b		c		d
	4.201.	0		1		16		1
34

									Номер																							Значения коэффициентов
									задачи
																															a		b	c	d
							4.202.																							1			1	60	2
							4.203.																							1			2	0	–1
							4.204.																							2			1	12	3
							4.205.																							2			4	–60	4
							4.206.																							–1			2	–62	–2
							4.207.																							4			2	16	7
							4.208.																							–1			1	0	6
							4.209.																							1			2	31	–1
							4.210.																							2			1	0	8
Исследовать заданные функции на условный экстремум в области
неотрицательных аргументов.
4.211. z = x3 + y3 при x + y = 8 .
4.212. z =	1	+		1			при			1		+		1					=					1			.
	x			y						x2					y2									4
4.213. u = x2 + y							2		при		x		+			y			=1.
										2					3
4.214. z =	3	+		4			при			1		+		1					=					1			.
	x			y						x2														4
															y2
4.215. z = xy			при x2 + y2 = 8 .
4.216. z = x4 + y4									при x + y = 2 .
4.217. u = x + y + z									при 1 +									1				+ 1 = 3 .
																		y
												x															z
4.218. z =	1	+		1			при x + y = 2 .
	x			y
4.219. 2x2 + 4y2 + z2 = u													при x + y + z =1 .
4.220. u = 9x + y + z при												1			+				1				+ 1					= 5.
													x							y
																											z
4.221. x2 + y2 + z2 = u при x + y + z =1 .
4.222. z = x3 + y2 при x + y = 8 .
4.223. u = 9x + 9y + z										при					1			+				1			+			1		= 7 .
															x								y					z
4.224. u = 4x + 9y + z										при					1			+				1			+			1		= 3.
															x								y					z
4.225. z = x + 2y при x2 + y2 = 5 .
4.226. z =	1	+		3			при			1		+		9						=				1				.
	x			y						x2														64
															y2
	5			4								1				+				2									1		.
4.227. z =		+						3	при																	=
	x					y							x2							y2								36
4.228. z = x2 + y2									при x + y = 8 .
4.229. z = xy2				при x + 2y =1.

35

4.230. u = x + 4y + z при 1x + 1y + 1z = 4 .

4.231. z = x2 + y2 − xy − x − y − 4 при x + y -3 = 0 .

4.232. z = 1

+

3

при

1

+

3

=

1

.

y

x2

16

x

y2

4.233. z = xy

при x2 + y2 =1.

4.234. u = 2x2 + 3y2 + z2

при x + y + z =1 .

4.235. u =

x

+

y

при x2

+ y2 =1.

3

4

4.236. z = x + y − 4 при. x2 + y2 =1.

2

4.237. z = 2x + y при x2 + y2 =1. 4.238. u = x2 y при x + 2y =12 . 4.239. u = 3x2 + 5y2 при x + y =1. 4.240. z = x + 4y при x× y = 4 .

36