3. Экономическая трактовка метода множителей Лагранжа

В некоторых задачах множители Лагранжа допускают и экономическое толкование. Если толковать целевую функцию Q (u1,., un) как прибыль, получаемую некоторым предприятием при использовании ресурсов, а условия k ограничения на дефицит ресурсов, то при (u1,., un) < 0 прибыль, то максимум целевой функции будет расти.

Экономист такую задачу будет решать следующим образом. Он назначит некоторые цены на единицы ресурсов и предложит потребителю купить их по этой цене. Последний, максимизируя чистую прибыль , найдет (u1,., un) и скажет, сколько ресурсов он хотел бы купить. В экономике почти всегда бывает так, что чем больше , тем меньше (u1,., un), и чем меньше , тем больше (u1,., un). Если окажется, что (u1,., un) > 0, то экономист повысит цену, если (u1,., un) < 0 - понизит. Так будет происходить до тех пор, пока при некоторой цене, называемой равновесной, потребителю будет выгодно, чтобы дефицит ресурсов (u1,., un) был равен нулю, при этом чистая прибыль будет максимальна, т.е. будут выполняться условия

Таким образом, равновесная цена с точностью до знака равна множителю Лагранжа.

4. Численные методы решения задач нелинейного программирования

Математическая формулировка задачи принятия решения эквивалентна задаче отыскания наибольшего или наименьшего значения функции одной или нескольких переменных. В большинстве практических задач критерий оптимальности Q (u), где u - вектор управляющих переменных, не может быть записан в явном виде, его значение обычно находится в результате решениясистемы уравнений математического описания оптимизируемого объекта. На независимые переменные могут быть наложены связи и ограничения как в виде равенств , так и в виде неравенств , которые, как правило, являются нелинейными и трудно вычислимыми соотношениями. Задачи такого типа являются предметом рассмотрения специального раздела математики, называемого нелинейным программированием. Обычно, решения задач нелинейного программирования могут быть найдены только численными методами.

Метод "золотого сечения"

Гораздо эффективнее, с точки зрения уменьшения затрат на вычисления, метод "золотого сечения": интервал неопределенности делится не пополам, как в методе дихотомии, а в определенном иррациональном соотношении

Это соотношение выполняется при

.

Метод заключается в том, что по заданным a и b как можно точнее определяется значение внутренней точки x1 (см. рис.2.6, б) по формуле

x1 = b - (b - a) / 1,618033989…

Рисунок 2.6 - Метод "золотого сечения": а - золотое сечение; б - геометрическое представление

Точка x2 определяется как точка, симметричная точке x1 на отрезке (a-b).

На основе анализа значений F1 = Q (x1) и F2 = Q (x2) интервал неопределенности сокращается путем отбрасывания из рассмотрения отрезка в котором экстремум исключен, исходя из условий уни-модальности Q (u). Далее мы определим симметричную точку внутри новых границ, вычисляем значение Q в этой точке, проводим анализ и т.д. до тех пор, пока разность между симметричными точками внутри интервала неопределенности больше . Блок-схема алгоритма метода "золотого сечения" представлена на рис.2.7.

Рисунок 2.7 - Блок-схема метода "золотого сечения"