6.4.Примеры решения задач

Задача 1. Какова мощность волны на глубокой воде при длине ее 80 м и амплитуде 1,5 м. Вычислить скорость перемещения поверхности волны С.

Решение.

Так как  = 2g/ω², то имеем

ω ²=2g/. (2)

Подставив числовые значения, получим

² = 6,28  9,8/80, = 0.87 с^-1

Период Т = 2/ ω =6,28/0.87= 7,15 с.

Скорость С=; С =м/с.

Мощность Р определяется соотношением

Р =  g² а² T/8. (3)

Подставив в формулу (3) числовые данные, получим

Ответ: 61,5 кВт/м.

Задача 2. Для некоторого района Охотского моря Н_s = 4 м, а Т_z = 9 c. Вычислить мощность Р, приносимую волной в данном районе.

Решение.

Используя соотношение

Р = [550 Вт/м³с] H_s² T_Z, получим

Р = 5504²9 = 550169 = 79200 Вт/м = 79,2 кВт/м.

6.5.Задачи

1. На глубокой воде волна имела длину 39 м, попав на мелководье, волна изменила свои параметры. Определить длину волны и фазовую скорость на мелководье, если глубина воды стала 0,5 м.

Ответ:  = 11 м, с = 2,2 м/с.

2. Во сколько раз длина волны на мелководье меньше длины волны с тем же периодом на глубокой воде? Период волны 10 с.

Ответ: В 11 раз.

3. Рассчитать максимальные значения составляющих скоростей для волн высотой 0,914 м и периодом 10 с, распространяющихся на глубокой воде.

Ответ: U_max=0.292 м/с. W_mах=0,287 м/с.

4. Во сколько раз увеличится максимальное значение горизонтальной составляющей скорости для волн высотой 0,914 м и периодом 10 с при переходе с глубокой воды на мелководье (h = 2,45 м)?

Ответ: В 3,13 раза.

5. Волна длиной 0,914 м с периодом 10 с перемещается на глубокой воде в море. Определить значение суммарной удельной энергии и мощ­ности на единицу ширины фронта волны.

Ответ: Е/В = 165 200 Дж/М; Р/В = 8,26 кВт/м.

6. Волна с параметрами, указанными в предыдущей задаче, попадает на мелководье, где h = 2,45 м. Определить суммарную удель­ную энергию и мощность на единицу фронта волны.

Ответ: Е/В = 51 898 Дж/м; Р/В = 5,19 кВт/М.

7. Определить параметры волны (h,,Т), разгоняемой ветром со ско­ростью 20 м/с.

Ответ: h = 8,16 м,  = 256 м, Т = 12,81 с.

8. Оценить мощность, приходящуюся на 1 м по фронту, для рекордной волны высотой 36 м ( = 1030 кг/м³).

Ответ: Р/В = 74 МВт.

9. Найти мощность, развиваемую при качке судном водоизмещением 6800 тонн при высоте подъема центра тяжести 1 м, если период колеба­ний судна Т=10 с.

Ответ: Р = 13600 кВт.

10. Для освещения навигационных буев японцы использовали конс­трукцию с "центральной трубой". В трубе находится морская вода, под воздействием волн высота жидкости в трубе изменяется. Столб воды сжимает воздух, а воздух подается на турбины. Период собственных ко­лебаний буя с центральной трубой, соответствующей максимуму получаемой мощности, определяется формулой

T= ,

где m₁ – масса буя, m₂ – средняя масса воды в трубе, S – площадь буя. Определить среднюю массу воды в трубе, если период собственных вер­тикальных колебаний 2,5 с, а масса буя m₁ = 400 кг, площадь буя 15 м².

Ответ: m₂ = 8,5 тонн.

11. Найти высоту обрушения волны (высота, при которой происходит обрушение волны) с периодом Т = 10 с, наблюдающуюся на мелководье (h = 1,33 м): а) используя теорию линейных волн; б) используя теорию Cтокса второго приближения.

Ответ: а) Н_о = 3,66 м: б) Н_о=0,981 м.

12. Какая погрешность получается при вычислении высоты обрушения волны с периодом Т = 5 с, наблюдаемой на мелководье (h = 1,83м), если допустить, что теория Стокса второго приближения дает точное значение.

Ответ: 117%.

13. Определить мощность волны на единицу ширины гребня волны с высотой обрушения 0,981 м на глубине 1,83 м, согласно теории линейных волн.

Ответ: Р/b = 5,16 кВт/м.

14. Взяв исходные данные из предыдущей задачи, определить какую мощность несет волна при ширине гребня 5 м, согласно теории Стокса второго приближения.

Ответ: Р = 27,75 кВт.

15. Найти глубину, при которой происходит обрушение волны, если величина энергии на единицу ширины гребня одиночной волны 165 кДж/м.

Ответ: h_o = 2,6 м.

16. Найти величину энергии, приходящейся на единицу ширины гребня одиночной волны, если высота волны при обрушении Р₀=1,86м.

Ответ: 165 кДж/м.

17. Построить график зависимости фазовой скорости одиночной волны высотой Н = 3 м от глубины в диапазоне от 10 до 2 м с шагом 0,5 м.

18. Определить период волны Т_maх, соответствующей максимальной энергии волнового спектра, при скорости ветра 10,3 м/с.

Ответ: Т_mах = 6,6 с.

19. Скорость ветра 10,3 м/с. Определить максимальное значение волнового спектра S_T.

Ответ: S_T(T_max) = 0,0679 м²/с.

20. Определить среднее значение энергии Е, приходящейся на единицу поверхности волны, при скорости ветра 10,3 м/с.

Ответ: Е = 3220 Дж/м².

21. Скорость ветра V=8 м/с. Определить характерную высоту волны Н_s, и средний период волны Т.

Ответ: Н_s =1,З6 м, Т = 5,13 с.

22. Дефлектор, шириной В_д=6,1 м установлен на глубине 3,05 м под углом 90 °С. Волна на мелководье перед дефлектором имеет высоту Н=0,914 м и период Т = 7 с. Найти максимальную вырабатываемую мощность P_mах и среднюю мощность волны Р.

Ответ: Р = 35,3 кВт, Р_mах = 3,04 кВт.

23. Определить полную энергию Е_f за один период волны, с высотой Н=0.914 м и периодом Т = 4 с. Гибкая заслонка установлена на глубине 15,2 м, ход поршня I_f = 0,457 м, ширина пластины В_f = 3,05 м.

Ответ: E_f = 11 кДж.

24. Определить максимальную эффективность _f гибкой заслонки.

Ответ: _f =27,6%.

25. Построить график зависимости эффективности работы гибкой зас­лонки _f от величины хода поршня I_f. Последний изменяется в диапазо­не от 0 до Н.

26. Глубоководная волна на севере Тихого океана имеет высоту Н = 1,52 м и период Т = 10 с. Найти радиус R₂ кормовой части утки Солтера.

Ответ: R₂ = 7,8 м.

27. Вычислить мощность волны в районе северо-западной Атлантики, если для него H_s= 4 м и T_z= 9 c.

Ответ: Р = 79,2 кВт/м.

28. Чему равна полная кинетическая энергия на единицу длины вол­нового фронта и единицу длины вдоль направления распространения вол­ны, если амплитуда волны 1,8 м,  = 1030 кг/м³.

Ответ: Е_н = 8,343 кВт.

29. Чему равна амплитуда морской волны, если ее полная кинетичес­кая энергия на единицу ширины волнового фронта и единицу длины вдоль направления распространения волны равна 10 кВт.

Ответ: а = 1,97 м.

30. Определить длину волны на глубокой воде, если ее мощность равна 54 кВт/м, а амплитуда 1,3 м.

Ответ:  = 103 м.

31. Определить характерную высоту морской волны, если ее мощность P = 64 кВт/м. а Т_z = 7 с.

Ответ: Н_z = 4,1 м.

32. Чему равна фазовая скорость волны на глубокой воде, если пе­риод волны Т = 9 с.

Ответ: С = 14,3 м/с.

33. Каковы период и фазовая скорость волны на глубокой воде при длине волны, равной 100 м?

Ответ: Т = 8 с, С = 13 м/с.

34. Какова мощность волны на глубокой воде при длине ее 100 м и амплитуде 1,5 м?

Ответ: Р = 73 кВт/м.

35. Определить амплитуду волны, если ее длина 70 м, а мощность 60кВт/м.

Ответ: а = 1,5 м.

36. Найти фазовую скорость волны при глубокой воде, если ее  = 120 м.

Ответ: С = 13,82 м/с.

37. Вычислить мощность морской волны, для которой H_s = 5 м, Т_z = 10 с.

Ответ: P = 137,5 кВт.

38. Для волны на глубокой воде определить энергию на единицу ширины волнового фронта и на единицу длины вдоль направления его распространения, если период Т = 7 с, а амплитуда а = 5,2 м,  = 1,0310³ кг/м³.

Ответ: Е_л = 10,5 МДж.

39. Какова амплитуда волн на глубокой воде, если ее период T= 10 с, а энергия на единицу ширины волнового фронта и на единицу длины вдоль направления его распространения Е_л = 16,6 МДж,  =1,0310³ кг/м³.

Ответ: а = 6,5 м.

40. Каков период волны, если её амплитуда а = 4,3 м, а энергия на единицу ширины волнового фронта и на единицу длины вдоль направления его распространения Е_л = 15,4 МДж,  = 1,0310³ кг/м³.

Ответ: Т = 10 с.

41. Определить полную энергию на единицу площади поверхности волны, если амплитуда волны а = 3,7 м, а плотность воды  = 1,0310³кг/м³.

Ответ: Е = 70,5 кВт.

42. Чему равна амплитуда волны, если плотность воды  = 1,0310³ кг/м³, а полная энергия на единицу поверхности волны E = 8,24 кДж.

Ответ: а = 1,3 м.

43. Определить энергию на единицу ширины волнового фронта и на единицу длины вдоль направления его распространения, если амплитуда волны 2 м, а фазовая скорость волны 14 м/с, =1,0310³ кг/м³

Ответ: Е_л = 2,5 МДж.

44. Определить энергию на единицу ширины волнового фронта и на единицу длины вдоль направления его распространения, если амплитуда волны 2,5 м, а фазовая скорость волны 10 м/с.

Ответ: Е_л = 2 МДж.

45. Определить амплитуду волны, если ее длина 60 м, а мощность 50 кВт/м (вода морская).

Ответ: а = 1,42 м.

46. Найти фазовую скорость волны при глубокой воде, если ее пери­од Т = 7,5 с.

Ответ: с = 11,7 м/с.

47. Вычислить мощность морской волны для которой H_s = 6 м, Т_z = 8 с.

Ответ: Р = 158,4 кВт.

48. Определить средний период колебаний по гребням Т_c, если мощ­ность морской волны Р = 200 кВт, характерная высота волны H_s = 8 м. Параметр уширения спектра  = 0,8.

Ответ: Т_с = 3,42 с.

49. Определить полную энергию на единицу площади поверхности морской волны, если длина волны 110 м, а её мощность 64 кВт/м.

Ответ: Е = 10 кДж.

50. Для волны на глубокой воде определить энергию на единицу ши­рины волнового фронта и на единицу длины вдоль направления его расп­ространения, если длина волны 80 м, а полная энергия на единицу пло­щади поверхности волны Е = 15 кДж.

Ответ: Е_л = 1,2 МДж.

51. Какую мощность переносит волна в направлении своего распрост­ранения на единицу ширины фронта с амплитудой 4 м и длиной волны 30 м?

Ответ: 67 кВт/м.

52. Определить характерную высоту волн, если мощность Р = 24750 Вт, а период между минимумами T_z = 5 м.

Ответ: H_s = 3 м.

53. Определить период между минимумами волн, если мощность Р' = 55 кВт, а характерная высота волны H_s = 5 м.

Ответ: T_z= 20 с.

54. Определить период движения волны, если фазовая скорость волны на глубокой воде С = 6,85 м/с.

Ответ: Т = 4,4 с.

55. Скорость частицы в гребне волны V = 4,7 м/с. Определить длину волны, если ее амплитуда а = 3 м.

Ответ:  = 25 м.

56. Во сколько раз изменится длина ₂ и фазовая скорость волны С при переходе волны с глубокой воды на мелководье (h = 2 м), период волны Т=6 с.

Ответ: ₂/_м = 2,12; С₂/С_м = 2,15.

57. Волна распространяется на мелководье (h = 0,613 м). Определить длину волны  на глубокой воде, если она в 3 раза больше, чем длина волны на мелководье.

Ответ:  = 34,7 м.

58. Период движения волны Т = 4 с. Определить угловую частоту и длину волны.

Ответ:  =1,57 рад/с,  = 25 м.

59. Какова высота волны, если длина ее 25 м, а скорость частицы на гребне волны 2 м/с?

Ответ: Н = 1,25 м.

60. Скорость частицы в гребне волны 3 м/с, амплитуда волны 1,85 м. Найти фазовую скорость волны.

Ответ: с = 7,7 м/с.

61. Волна с периодом 5 с наблюдается на глубокой воде. Найдите длину волны и фазовую скорость по линейной теории волн.

Ответ:  =39 м, с = 15,6 м.

62. Какую длину и фазовую скорость имеет волна на глубокой воде с периодом 10 с в соответсвии с линейной теорией волн.

Ответ:  = 156 м, с = 15,6 м/с.

63. Для рыбацкого поселка требуется ежедневно 5 МВтч энергии. Какую ширину волнового фронта В должны перекрывать утки Солтера, чтобы обеспечить поселок энергией? Принять, что минимальные волны в районе, где устанавливаются утки, соответствуют зыби, разгоняемой ветром со скоростью V = 10 м/с, КПД преобразования энергии волн равен 60 %.

Ответ: В = 12,1 м.

64. Определить частоту f вращения вала электрогенератора, приводимого в движение поплавком, колеблющимся в резонансе с волнами, период волн Т = 7 с, амплитуда колебаний поплавка Z₀ = 0,914 м, радиус шестерни на валу генератора, соединенной с зубчатой рейкой, колеблющейся вместе с поплавком, r = 0,152 м.

Ответ: f = 0,546 Гц.

65. Для построения порта в городе N необходимо соорудить 1 км волноломов. Какая мощность Р может быть получена, если вместо волно­ломов поставить утки Солтера. Принять  преобразования энергии волн, равным 60 %. Среднегодовые параметры волн для данного региона следую­щие: h = 0,9 м, Т = 6 с.

Ответ: Р =2.875 МВт.

66. Военной базе ВВС, находящейся на острове в Калифорнии, требу­ется ежесуточно 10⁵ кВтч электроэнергии. В данном районе Тихого океана дуют пассаты, средняя скорость ветра составляет 10,3 м/с. Ко­мандование базы предполагает разместить несколько уток Солтера для получения необходимой мощности. Передача энергии будет осуществлять­ся с помощью маслонаполненных подводных кабелей. Какова длина волно­вого фронта В, которую должны покрывать утки Солтера,  = 60%.

Ответ: В = 210 м.

67. Группе фермерских хозяйств, расположенных на берегу океана, для ежесуточного орошения 1 га требуется 20 м³ воды. Хозяйства имеют 500 га, из них 1/3 требует орошения. Для получения воды, необходимой для орошения, требуется поднять нужный объем воды на высоту 10 м. Определить ширину водяного фронта, требующегося, чтобы покрыть пот­ребности хозяйства в электроэнергии, необходимой для орошения. КПД преобразования энергии волн – 20 %. Период волновых колебаний на глубо­кой воде – 6 с, высота волны – 1,87 м.

Ответ: В = 9,5 м.