12 Производная сложной функции. Неявная функция и ее дифференцирование.

y = f (u); u = fi (x)

dy / dx = dy / du * du / dx

lim dy/dx = lim dy/du * limdu/dx = y` (u) * u` (x)

Нефвная функция – это такая функция, когда у не обособлен от общего уравнения. То есть дифференцировать относительно у проблемно. Тогда можно просто неглядя продифференцировать обе части уравнения и получиться например (y^2)` = 2 y y`

Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = z/xdx/dt+ x/ydy/dt [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение t, при этом х=х(t) получит приращение х, а у=у(t)  у, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение z, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:

z=z/xx + z/yy + 

разделим на t и перейдем к пределу

Lim(t0)z/t = z/xLim(t0)x/t +

+ z/yLim(t0)y/t + Lim(t0)/t

dz/dt = z/xdx/dt + z/ydy/dt + Lim(t0) //t  0

=x²+y^2

Lim(t0)/=0 - по определению дифференциала.

Lim(t0)/t = Lim(t0)(x/t)²+(y/t)^2=

=(dx/dt)²+(dy/dt)^2

Формула [**] доказана.

Рассмотрим частный случай сложной функции:

z= f[x,y(x)] = z(x)

в ф-ле [**] вместо tх, получим

dz/dx= z/xdx/dx+ z/ydy/dx

dz/dx= z/x+ z/ydy/dx [***]

Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.

Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t)  z=z(r,s,..,t) - cложная функция.

При этом формула [**] принимает вид:

z/r=z/xx/r+x/yy/r

z/s=z/xx/s+ z/yy/s

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Опр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=e^z - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x²+y²+z²=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z)  непрерывна в т. р₀(x₀,y₀,z₀) и ее производная по z F_z(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)

z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz

F(x₀,y₀,z₀)=0dF=0

F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0

dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**)

Сравнивая (*) и(**) 

z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)

z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

13 Обратная функция, ее дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически.

Обратная функция x = f (y). Задача: зная призводную у по х найти производную х по у, предвологая, что обратная функция существует и непрерывна на данном промежутке.

Теорема: Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, приозводная обратной функции равна обратной величине призводной данной функции.

Доказательство: dx / dy = 1 : dy / dx. Т.к. обратная ф-я непрерывна, то при dy  0 dx  0

lim (dy0) dy/dy = 1: lim (dx 0) dy/dx

x` = 1 / y`

Теорема: Если функция у от аргумента х задана параметрически через функции х от т и у от т, где эти функции дифференцируемы и производные их не равны 0, то производная этой функции есть y`_x = y`_t / x`_t

Доказательство: правило дифференцирования сложной функции, обратной функции.

Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.

Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)0.

Пусть у0 – приращение независимой переменной у и х – соответствующее приращение обратной ф-ции x=(y). Напишем тождество: x/y=1:y/x (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим: lim(y0)x/y=1:lim(x0)y/x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.

Обратная функция и ее дифференциал.

Дана функция у = ф(х), тогда х = ф (у) обратная ей.

Тоерема: производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Доказательство: fi`<sub>у</sub> y`x = 1 => 1 = x`y y`x => y`x = 1 / x`y

Найдем производную от арксинус х. ОО. синус х = [ - pi /2; pi / 2 ]; М. Зн. синус х = [-1;1]; О.О. арксинус х = [-1;1]; М. Зн. арксинус х = [- pi /2; pi / 2]

Графики: синусойда, арксинусойда.

у = арксинус х - функция обратная х = синус у, значит y`x = 1 / x`y = 1/cos y

т.к. синус^2 y + cos^2 y =1, => cos^2 y = 1 – sin^2 y => cosy = +/- корень(1 – sin^2 y)

y`x = 1/cosy = 1 / корень (1 – x^2);

Производная функции, заданной параметрически.

График: окружность радиуса 1, центр числовой оси в центре окружности, оси Х и У. На дуге лежит точке А, угол между радиусом ОА и лучем ОХ – t. У точки А две координаты – Х и У. АB – перпендикуляр из точки А на ось ОХ.

y = u(t); x = v(t); t принадлежит T

y = sin(t); x = cos(t); t [0;2Pi]

x = OB = 1 cos t; y = AB = sin t; (t не равно 0, пи,2 Пи)

y` = cos t / - sin t = - ctg t

y`x = y`t / x`t; y` = lim dx0 dy/ dx; dy / dx =dy / dt * dx / dt; y` = [lim dt0 dy / dt] / [lim dt0 dx / dt] = y`t / x`t = U`t / V`t

Условия выполнения:

1. U(t), V(t) – монотонны, дифференцируемы, V` не равен 0.

13a Логарифмическое дифференцирование. Использование лог. произв.

y = log_a _x; x>0; a>0; a/=1

dy = log_a (x + dx) – log_a_x

dy = log_a (a + dx/x)

dy/dx = 1/dx log…

dx/x = alfa; alfa > -1

dy/dx = 1/x * 1/alfa * log_a (1+alfa)

x0 => alfa0

y` = lim (dx0) dy/dx = 1/x * lim (alfa0) [ log_a ( 1+ alfa) ^1/alfa ] = 1/x * log_a [ lim (alfa0) {1 + alfa}^1/alfa ] = log_a_e

y` = 1/x log_a_e = 1/ (x lna )

Логарифмическая производная – производная от логарифма функции ( ln z)`_x = z`/z