7A Точка разрыва первого и второго родов

Точка разрыва первого рода – когда есть конечные пределы и справа и слева от нее. Функция, допускающая на данном п промежутке только точки разрыва рервого рода в конечно числа называется кусочно –непрерывной.

Второго рода – когда хотябы с одной стороны нет конечного предела. Среди них важное значение имеют точки бесконечного разрыва, когда хотябы одни из пределов явл бесконечным. В таких точках наблюдаются вертикальные ассимптоты.

8 Задачи, приводящие к понятию производной.

Задачи на скорость движущейся материальной точки. Производная пути по времени есть скорость в момент времени, моментальная скорость.

Задачи о скорости химических реакция. Тоже скорость в момент времени.

Задачи о косательных к графику. Производная есть тангенс угла наклона касательной в данной точке.

Определение: Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю, то он называется производной функции в точке х.

8A Связь между существованим производной и непрерывностью функции.

Теорема: Функция, имеющая призводную в точке х0 непрерывна в этой точке. (обратное неверно).

Доказательство: dy = dy/dx * dx; lim (dx0) dy = lim dy/dx * lim dx = y` * 0 = 0. Следовательно (по определению) функция непрерывна в точке х0.

Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0Х или х0Х.

Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для  >0  >0 такое, что для всех хХ, хх0, удовлетвор. неравенству х-х0<, выполняется неравенство f(x)-A<.

Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (xx0)C=C

Возьмем любое >0. Тогда для любого числа >0 выполняется треюуемое неравенство f(x)-C=C-C=0<, => lim(xx0)C=C

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно ВС, ВС, В/С, т.е. lim[f(x)g(x)]= BC, lim[f(x)g(x)]= BC, lim[f(x)/g(x)]= B/C

Теорема также верна если х0 явл. , , 

Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)

Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.

9 Определение производной. Механический и геометрический смыслы производной.

Производная – предел отношения приращения фнкции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю, если этот предел существует.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной в даноой точке.

Механический смысл производной: производная есть мгновенная скорость. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени.

11 Производная суммы, постоянной, произведения, частного.

( u + v )` = u` + v`

w(x) = u (x) + v (x)

w`(x) = lim (dx0) dw/dx

dw = w (x +dx) – w (x) = u (x+ dx) + v (x +dx) – u(x) – v(x) = du + dv

lim dw/dx = lim (du+dv)/dx = u` + v`

(uv)` = u` + v`

dw = … = u (x + dx) * v (x +dx) – u(x) * v(x) = | u (x +dx) = du + u(x) | = du v + du dv + dv u

lim dw/dx = v lim du/dx + u lim dv/dx + lim u * lim dv/dx = u`v + uv`

{ lim dy = 0 для непрерывных функций }

(u/v)` = [ u`v – v`u ] / v^2

…

Производная от постоянной равна 0, т.к. приращение постоянной равно 0