18A Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

Пусть задана функция z=f(x,y) рассмотрим ее полное приращение.

z=f(x+x,y+y) - f(x,y)

При малых х и у  zdz 

f(x+x,y+y) - f(x,y)  z/xx+z/ydy

f(x+x,y+y) f(x,y)+z/xdx+z/ydy — формула для приближенных вычислений.

Эта формула позволяет вычислять приближенное значение функции в точке р1 по известному ее в точке р и значением ее частных производных в точке р. Чем меньше х и у, тем меньше погрешность.

18B Приложение производных к исследованию функции и построение графиков: ассимтот, исследование функции по первой, второй производной.

18Если функция возрастает на интервале и емеет производную в каждой точке этого интервала то производная не отрицательна если производная положительна во всех точках интервала то функция строго возрастает на этом интервале.19Если функция убывает на интервале то во всех точках этого интервала ее производная не положительна если производная отрицательна то функция строго убывает.20(u+или-v)`=u`+или-v` (u*v)`=u`*v+v`*u (u/v)`=u`*v-v`*u/vквадрат.

.22Точки экстремума лежат внутри области определения функции и наз локальным минимумом.Функция у=f(х) имеет min в точке х=с если существует такая окрестность точки х=с что для всех точек х неравных с принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство.f(x)>f(c).23Точка экстремума лежат внутри области определения функции и наз локальным максимумом.24В точке х=0 функция у=х3 характер монотонности не имеет слева и справа от стауионарной точки функция возрастает и ее производная у`=3хквадрат сохраняет положительный знак.25Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции надо:Найти все стационарные точки и точки в которых производная не существует и вычислить в них значения функции.Вычислить значения функции на концах отрезка в точке х=а х=b.Сравнивая между собой полученные значения функции выбрать наибольшее и наименьшее.26График дифференцируемой функции наз выпуклым в интервале (а,b) если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.Вогнутым на интервале (а,b) наз график если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.Точка М0(х0,f(x0)) лежащая на графике и определяющая выпуклую часть графика от вогнутой наз точкой перегиба у``=0.27Если функция у=f(x) имеет вторую производную во всех точках интервала (а,b) и если там же f ``(x)<0 то график функции в интервале (а,b) вогнутый если f ``(x)>0 то то график функции выгнутый.Точки перегиба надо искать среди точек в которых вторая производная у``=0.Если слева от такой точки и справа от нее у`` имеет разные знаки то найденная точка точка перегиба.28Точка х=х3 я-ся точкой где функции терпит разрыв а прямая х=х3 я-ся вертикальной ассимтотой.Прямая у=кх+b бед наклонной ассимтотой.Для определения наклонной ассимптоты у=кх+b числа к и b требуется:к=limf(x)/x; b=lim(f(x)+kx).

Функция постоянна на промежутке если ее производная на этом промежутке равна 0

Если производная > 0, то функция возрастает и наоборот.

Если фукция возрастает, то производная > или равна 0.

Ассимптоты: вертикальные – в точках разрыва второго рода, где один из пределов равен бесконечности. Наклонные:

k = lim (x) f(x) / x

b = lim (x) [ f(x) – kx ]

Необходимые и достаточные условия - ?

Исследование по первой производной: возрастание и убывание функции (смотри выше). Экстремумы - в точке, где ее производная равна нулю или не существует есть подозрение на экстремум. Достаточное условие для экстремума – если производная в точке равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку. Также если приозводная в точке не сущствует, но меняет знак при переходе через точку, а функция существует

Теорема 1: Ели дифференцируемая функция такова, что для некотрого значения х ее аргумента производная равна нулю и меняет свой знак при переходе через значение, то число ф(х) является экстремумом функции, причем если изменения производной происходят с плюса на минус, то функция имеет максимум и наоборот.

Теорема 1`: ели для дифференцируемой функции ее производная при неком х обращается в гуль, но при переходе через это значение знака не менеят, то здесь нет экстремума.

Тоерема 2: Если для дифференцируемой функции в некоторой точке х ее первая производная равна нулю, а вторая производна ясуществует и отличка от 0, то в этой точке функция имеет экстремум, причем если втора я производная больше 0, то минимум и наоборот.

Исследование по второй производной:

Теорема 1: Если для дважды дифференцируемой функции вторая производная положительна внутри промежутка от а до б, то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке и наоборот.

Определение: точкой перегиба графика дифферецируемой функции называется его тчка , при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость.

Тоерема: Если для функции вторая произвоная обращается в 0. то функция при переходе через эту точку имеет точку перегиба.