4. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.

Пусть дан знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+… Очевидно, что это ряд с положительными членами.

Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд составленный из его членов.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Сумма такого ряда равна разности между суммой его плюс-ряда и суммой минус-ряда.

Доказательство.

Пусть ряд а₁+а₂+…+а_n+… сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+… Обозначим частичные суммы ряда из модулей его членов через T_n. Имеем T_n= T_n⁺+ T_n^- (где T_n⁺ - некоторая частичная сумма плюс-ряда, T_n^- - частичная сумма минус-ряда.) Ввиду сходимоти ряда |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+…его частичные суммы T_nограничены некоторым числом С. Тогда следует, T_n1⁺С и T_n2^-С, т.е. частичные суммы минус- и плюс-ряда также ограничены сверху числом С. Согласно критерию сходимости рядов с положительными членами отсюда вытекает сходимость плюс- и минус-рядов, т.е. существуют пределы T⁺=lim T⁺_k и T^-=lim T^-_l. Если теперь

^{k l}

из равенства перейти к пределу при n, то получим limT_n=T⁺-T^-, ч.т.д.

^l

5. Условно сходящиеся ряды.

Ряд а₁+а₂+…+а_n+… называется условно сходящимся , если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

(теорема Римана.Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.)

6. Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)

Комплексное число представляется в виде a+b_*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).

Если суммы действительных(а_n) и мнимых (b_ni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)

7. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход).

Функция S(x) ,х является суммой ряда, если S(x) =lim _n→∞ S(x) , где S(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)

Если S(x) , хL (LΩ) является суммой ряда f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+…=_n=1∑ ^∞ fn(x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x) , если для любого числа  существует номер N такой, что при n cразу для всех хL выполняется неравенство S(x) -Sn (x)

Если функциональный ряд сходится на множестве L , то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством  fn(x)≤Сn (n=1,2…) , где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn(x) непрерывны на a,b, составленный из них ряд f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+…, то

1.Функция f(x) на a,b непрерывна

2. _a∫ ^bf(x)dx=. _a∫ ^b f₁(x)dx+…+. _a∫ ^b fn(x) dx+…

Если fn(x) имеют непрерывную производную на a,b и на этом отрезке

а)ряд f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+… сходится к f(x)

б)ряд f₁'(x)+f₂'(x)+…+fn'(x)+… сходится равномерно, то f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f₁'(x)+f₂'(x)+…+fn'(x)+…