13 Функция распределения случайной величины.

Определение. Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x) = P < x

Свойства F(x):

1. Зная F(x), можно найти Px₁   < x₂

 < x₂ =  < x₂  x₁   < x₂  P < x₂ = P < x₂  Px₁   < x₂

 Px₁   < x₂ = F(x₂) - F(x₁)

2. Функция F(x) неубывающая, причем 0  F(x)  1

Если x₂ > x₁, то F(x₂)  F(x₁) ( P < x₂  P < x₁ )

3. Справедливы равенства:

а) lim F(x) = lim P  (-; x) = 1; b) lim F(x) = 0

^{x  + x  + x  - }

4. Функция F(x) = lim F(x - )  F(x – 0)

^{  0,  > 0}

5. P = x = F(x+0) – F(x-0); где F(x+0)  lim F (x + )

^{  0,  > 0}

14. Непрерывные случайные величины

Случайная величина  называется непрерывной, если непрерывной является ее F(x) (в любой точке x)

Случайная величина  называется абсолютно непрерывной, если ее F(x) дифференцируема в любой точке x₁ за исключением, быть может, конечного числа точек.

Свойства непрерывной случайной величины: P = x = F(x+0) – F(x-0) = 0

При этом F(x) непрерывна.

15. Свойства функции плотности.

Плотность вероятности абсолютно непрерывной случайной величины есть по определению функция f(x) = F’(x)

Свойства f(x): 1) f(x)  0

2) _a∫^bf(x)dx = F (b) – F(a)  _a∫^bf(x)dx =Pa   < b

3) _-∫^f(x)dx = P-   <  = 1; _-∫^f(x)dx = 1 - условие нормировки

4. (вероятностный смысл f(x))

_Xo∫^Xo+ΔX f(x)dx = Px₀   < x₀ + Δx

При Δx  0; _Xo∫^Xo+ΔX f(x)dx  f(x₀)Δx  Px₀   < x₀ + Δx

16. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

 - непрерывная случайная величина,   (-; +)

^{    }

^{X-2 X-1 Xo X1}

Введем дискретную случайную величину _Е  …, x_-2, x_-1, x₀, x₁, x₂,…

Закон распределения дискретной случайной величины _Е

Pi = Px_i   < x_i+1 = _Xi∫^Xi+1f(x)dx  x1 x2 …

p p₁ p₂ …

Математическое ожидание М_Е = _{i = -}^x_ip_i = _{i = -}^x_ipx_i   < x_i+1

По определению полагаем:

M = lim М_Е = lim _{i = -}^x_i f(x_i )Δx_i = _-∫^xf(x)dx

^{E0 E0}

E

Итак, если   (a,b), то М = _a∫^bxf(x)dx; _a∫^bf(x)dx = 1

Дисперсия D = M( - M)² = _a∫^b (x - M)² f(x)dx

Стандартное отклонение случайной величины X определяется как корень квадратный из диспрерсии и обозначается σ.

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины Х сохраняются свойства числовых характеристик дискретной случайной величины.

17. Непрерывные распределения специального вида (равномерное, показательное, распределение Лапласа)

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция F(x), значения которой для каждого значения аргумента х даёт вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее х, т.е. F(x)=P(X<x). Если функция распределения F(x) всюду дифференцируема, за исключением, быть может, нескольких точек, то случайная величина Х называется абсолютно непрерывной. Тогда функцией плотности f(x) называется её производная.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

для х[a,b] f(x)=const для х[a,b] f(x)=0. const=1/(b-a).

M(x)=(b+a)/2; D(x)=(b-a)²/12.(x)=(b-a)/23

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

f(x)=  0 , x<0,

^_e^-x ,x0. График выглядит следующим образом

М(х)=1/. D(x)=1/².(x)=1/.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается плотностью.( гауссовское распределения)

f(x)= 1_* e^{-(x-a)^2/2^2}

^ нормальное распределение определяется параметрами а и .

Функция Лапласса. Ф(х)= 1^х е^{-t^2/2}

 ⁰

вершина достигается в точке (а; 1/(^))

D(x)=²; M(x)=a; (x)= . Среднее квадратичное отклонение нормального распределения равно параметру .