11. Методика роботи з доведенням теореми

Доведення - це логічна операція встановлення істинності деякого твер­дження за допомогою інших істинних тверджень, або тверджень, що з ними зв'язані, на основі застосування логічних законів.

Структура доведення

1. Теза: положення, істинність якого треба довести

2. Аргументи (підстава): факти, аксіоми, означення, раніше доведе­ні твердження

3. Демонстрація логічних зв'язків між тезою і аргументами: логічне міркування, у процесі якого з аргументів з логічною необхідніс­тю слідує істинність чи хибність тези.

Форми доведення теореми: дедуктивний умовивід, індуктивний умовивід, умовивід за аналогією або їх комбінація.

Види доведення: Пряме доведення - істинність тези безпосередньо випливає з аргументів; Непряме доведення - істинність тези обґрунтовується шляхом доведення хибності антитези.

Загальні ме­тоди дове­дення

а) Аналітичний (досконалий аналіз, аналіз Паппа) - вихідною позицією є висновок теореми, який вважається правильним і знаходяться достатні умови для його виконання;

б) Синтетичний - міркування проводяться від умови або від уже відомого твердження до висновку теореми;

в) Аналітико – синтетичний - пошук доведення починають аналітичним ме­тодом через знаходження достатніх умов для висновку, але міркування не доводять до кінця, а, спиняючись на певному кроці, починають міркувати у зворотному напрямку, тобто, від розгортання умови.

Етапи роботи під час доведення та логічні основи:

1. Постановка і аналіз умови теореми, робота з формулюванням теореми: членування умови і вимоги теореми, виявлення структури, логічних зв'язків між складовими умови теореми, виявлення логічних зв'язків між умовою та вимогою теореми .

2. Виділення структури теореми: виконання рисунка та скороченого запису умови теореми (схематичне, графічне, табличне). Співвіднесення структури даної теореми із тими, спосіб доведення яких відомий, поелементне їх порівняння.

3. Відшукування плану доведення теореми :

Нисхідний аналіз: знаходження наслідків із засновків на основі виділення суттєвого в умові, застосування низки простих категоричних або умовних силогізмів. (А→А₁→А₂→…→В)

Висхідний аналіз: на основі виділення суттєвого у запи­танні знаходження достатніх умови для певного наслідку. (В←В₁←В₂←…←А)

Аналіз Евкліда: знаходження наслідків із запитання задачі, приводять до умови або до очевидно виконуваних тверджень. (В→В₁→В₂→…→А).

4. Доведення теореми:

Пряме: проведення індуктивних, дедуктивних міркувань, логічною основою яких виступають правила, що визнача­ють структуру доведення ;

Непряме: у доведенні від супротивного логічною основою виступає заперечувальний модус (закон контрапозиції) та закон виключення третього.

5. Перевірка і обго­ворення проведе­ного доведення: виділення головної ідеї доведення; узагальнення та складання схеми доведення, виявлення можливо інших способів доведення.

12. Методика роботи з правилами і алгоритмами

Алгоритм — скінчений набір приписів, виконання яких одне за одним зі скінчену кількість кроків приводить до розв'язання деякої задачі. Це точний І зрозумілий опис (припис, рецепт ) процесу розв'язування будь-якої задачі 1 певного класу задач даного типу.

Правило - це "згорнутий" алгоритм, дії та операції не містяться у формулюванні в явному вигляді.

Властивості алгоритму:

*Масовість - за допомогою даного алгоритму можуть бути розв'язані всі задачі певного типу;

*Детермінованість - розв'язування задач за даним алгоритмом є строго спрямованим - алгоритм однозначно визначає перший крок і кожний наступний

*Результативність - точне виконання вказівок алгоритму під час розв'язуванні будь-якої задачі із даного класу задач завжди (при скінченій кількості кроків) повинно привести до правильного результату

*Формальність - будь-який виконувати виконавець, здатний сприймати й виконувати вказівки алгоритму, можливо, і не розуміючи його змісту, правильно виконає увесь алгоритм;

*Дискретність - при побудові алгоритму виділяються строго дискретні кроки, кожен з яких в змозі виконати виконавець.

Особливості алгоритму:

• дає детальний опис послідовності операцій.

• використовується на початкових етапах формування дій.

• ефективний при відпрацюванні учнями вміння виконувати елементарні операції математики

Форми задання алгоритму: словесні тексти, формули, схеми, таблиці, графіки.

Особливості правила:

• не потрібний детальний опис операцій.

• доцільно використовувати тоді, коли вміння виконувати дії в основному вже сформовані.

• часто необхідно записати правило у вигляді алгоритму.

• будь-який алгоритм є правилом, навпаки невірно. У правилі зберігаються такі властивості алгоритму: результативність, масовість, визначеність

Форми задання правила: словесні тексти.

Логіко-математичний аналіз алгоритмів (правил, схем).

Логічний аналіз алгоритмів (правил) передбачає:

а) перевірку наявності у даного алгоритму характеристичних властивостей; б) виділення послідовності операцій і логічних умов у даному алгоритмі;

в) встановлення зв'язку алгоритму з іншими знаннями.

Математичний аналіз алгоритмів полягає у встановленні математичної основи даного алгоритму, тобто тих базових математичних положень, які дозволяють побудувати саме такий алгоритм.

Етапи роботи із СД як об'єктами засвоєння:

1. Ознайомлення із СД

Мета етапу: актуалізація знань, необхідних для введення й обґрунтування СД, формулювання алгоритму (схеми, правила).

Форми роботи: усна робота.

2.Засвоєння СД

Мета етапу: опрацювання операцій, що входять до складу СД, засвоєння їх змісту і послідовності виконання.

Форми роботи: Письмова колективна робота.

3. Застосування СД

Мета етапу: застосування СД в знайомих та незнайомих ситуаціях.

Форми роботи: самостійна робота.