25. Приведение системы сил к равнодействующей. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

теорема Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рис.35.

Рассмотрим систему сил , , …, , сходящихся в точкеА (рис.35). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О.

Для доказательства теоремы найдем соответствующие выражения моментов m₀(),m₀(), … . По формуле. Но, как видно из рисунка,, гдеF_1x - проекция силы на осьОх; сле­довательно

.

Аналогично вычисляются моменты всех других сил.

Обозначим равнодействующую сил , , …, , через , где . Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим. Умножая обе части этого равенства наОА, найдем:

или,

.

26. Теорема о необходимых и достаточных условиях равновесия произвольной системы сил.

Теорема. Для того, чтобы тело под действием системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса этой системы сил были равны нулю.

Доказательство.

Необходимость.

Дано: система сил – в равновесии.

Требуется доказать: , .

На основании основной леммы статики система с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам, то есть

.

Так как и при этом тело под действием системы сил находится в равновесии, то в соответствии с физическим свойством элементарных операций оно будет находиться в равновесии и под действием системы сил . Итак тело находится в равновесии под действием двух сил и . По первой аксиоме статики эти силы прямопротивоположные. Значит главный вектор системы : . Главный момент этой системы сил, то есть геометрическая сумма двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса:

.

Так как главный вектор и главный момент системы равны главному вектору и главному моменту системы – геометрическое свойство элементарных операций, то

, ,

то есть главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса первоначальной системы равны нулю.

Достаточность.

Дано: система сил , главный вектор и главный момент которой: ; .

Доказать: тело под действием системы сил находится в равновесии.

На основании основной леммы статики систему с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, то есть

.

У этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса , – геометрическое свойство элементарных операций. Тогда , . Иными словами:

; . Из того, что главный вектор равен нулю, следует, что эти две силы и либо прямопротивоположные, либо образуют пару. Так как главный момент пары от полюса не зависит и отличен от нуля, то случай пары исключается, Поэтому силы и прямопротивоположные и, следовательно, по первой аксиоме статики, тело под действием системы сил находится в равновесии. Под действием первоначальной системы сил тело также находится в равновесии, так как элементарные операции не нарушают состояние равновесия тела.