75 группа 2 вариант / Электротехника / Электротехника

К	R1	i1	R2				R1	i1	R2
			i2		i3					i2	i3
E			R3	C	UC	E	К		R3	C	UC

Рис. 5.67

Рис. 5.68

i1	R1
		i1	R1
	i 2	i3
		L		i2	i	3
					L
E	R2		R 2
	К	E
	R3
			К	R3

Рис. 5.69 Рис. 5.70

Методические указания

Рассмотрим решение задачи 7 на примерах.

Пример 1

Пусть в табл. 5.15 задано следующее:

Вариант	Номер	R1,	R2,	R3,	L,		C,	Е,	Искомая
	рисунка	Ом	Ом	Ом	Гн		мкФ	В	переменная
ХХ	Рис.ХХХ	40	20	10	0,7		-	100	i2(t)
1. Данным таблицы			соответствует			схема		электрической цепи
рис. 5.71.

123

i1 R1

	i	3
	i 2
К	L

E

R 2

R3

Рис. 5.71. Схема электрической цепи для расчета переходного процесса

2. Рассчитаем докоммутационное начальное значение искомой переменной и основного начального значения (тока через катушку индуктивности).

Поскольку до коммутации выключатель К ещё не сработал (ключ К не разомкнулся), а сопротивление катушки постоянному току равно нулю, расчётная схема электрической цепи примет вид рис. 5.72.

i1 (0-)

i 2 (0-)	i 3 (0-)

E

R2

R3

Рис. 5.72. Расчётная схема электрической цепи до коммутации

Из схемы видно, что до коммутации

i	(0−) =	E	=	100	= 5 A,	i	(0−) =	E	=	100	= 10 A.
2		R2	20			3		R3	10

124

После коммутации (ключ К разомкнулся) расчётная схема приобретает вид рис. 5.73.

i 1(0+)		R1

i 2 (0+) i3 (0+) L

E

R 2

R 3

Рис. 5.73. Расчётная схема электрической цепи после коммутации

По первому закону коммутации ток в катушке индуктивности в момент коммутации мгновенно измениться не может, то есть

i3 (0+) = i3 (0−) = i3 (0) = 10A .

Однако токи i1 и i2 в момент коммутации могут измениться скачком. Найдём их послекоммутационное значение. По второму закону Кирхгофа

R1i1(0+) + R2i2 (0+) = E.

Вуравнении две неизвестных величины: i1 (0+) и i2 (0+). Поэтому запишем второе уравнение, используя первый закон Кирхгофа:

i1 (0+) = i2 (0+) + i3 (0+) или i1 (0+) = i2 (0+) + 10 .

Подставив полученное выражение для тока i1 (0+) в предыдущее уравнение, получим

R1 (i2 (0+) + 10) + R2 i2 (0+) = E.

Отсюда по известным значениям сопротивлений R1 и R2 и ЭДС Е получим послекоммутационное значение искомой переменной:

i2 (0+) = −5А .

125

То есть при размыкании ключа К ток в резисторе R2 мгновенно изменил своё направление (стал отрицательным).

3. Рассчитаем принуждённое значение искомой переменной i2ПР . Поскольку в принуждённом режиме ключ остаётся разомкнутым, а сопротивление катушки индуктивности постоянному току равно нулю, то схема электрической цепи в принуждённом режиме примет вид рис. 5.74.

i 1ПР			R1

i2ПР

i 3ПР

E

R 2

R 3

Рис. 5.74. Схема электрической цепи в принуждённом режиме

В соответствии со схемой

i1ПР	=				E		= 2,14А ,
		R1	+		R2R3
					R2 + R3
i2ПР = i1ПР					R3	= 0,71А .
				R2 + R3

3. Определим постоянную времени переходного процесса. Для электрической цепи с катушкой индуктивности постоянная времени определяется по формуле

L

τL = RЭ ,

где τL – постоянная времени;

126

RЭ – эквивалентное сопротивление электрической цепи относительно зажимов накопителя энергии (катушка индуктивности).

Для расчёта эквивалентного сопротивления относительно зажимов накопителя энергии электрическая цепь приобретает вид рис. 5.75. При этом источник постоянного тока считается идеальным (внутреннее сопротивление источника считается равным нулю) и заменяется перемычкой.

R1

R 2

R 3

Рис. 5.75. Схема цепи для расчёта эквивалентного сопротивления

В соответствии со схемой эквивалентное сопротивление определяется выражением

RЭ = R3 +	R1R2	= 23,3 Ом.
	R1 + R2

Тогда постоянная времени

L0,7

τL = RЭ = 23,3 = 0,03 с.

5.Решение для искомой переменной в общем виде определяется формулой

− t

i2 (t) = i2ПП + Ae τL ,

где А – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

127

6.Постоянная интегрирования А может быть определена из началь-

ных условий. Для этого запишем полученное выражение для искомой переменной в момент времени t = 0:

i2 (0) = i2ПП + A, отсюда А = i2 (0) − i2ПР = −5 − 0,71 = −5,71.

7.Окончательное выражение для искомой переменной во время переходного процесса имеет вид

				−	t
			i2 (t) = 0,71 − 5,71e		0,03 А .
8. График переходного процесса для искомой переменной представ-
лен на рис. 5.76.
	1
	0.5
	− 0.5 0	0.032	0.064	0.096		0.128	0.16
i(t)	− 1
i2(t)	− 1.5
	− 2
i3(t)− 2.5
	− 3
	− 3.5
	− 4
	− 4.5
	− 5
				t
	Рис. 5.76. График переходного процесса искомой переменной i2(t)

Из графика видно, что от своего начального значения в момент коммутации (– 5 А) до принуждённого (0,71 А) ток изменяется за пять постоянных времени (τL = 0,03 с). При этом отрезок под касательной на принуждённом значении переменной отсекает отрезок, пропорциональный величине постоянной времени.

128

Пример 2

Пусть в табл. 5.15 задано следующее:

	Вариант	Номер	R1	R2	R3	L	C	Е	Искомая
		рисунка	Ом	Ом	Ом	Гн	мкФ	В	переменная
	ХХ	Рис.ХХХ	800	500	900	-	700	400	i2(t)
1. Данным		таблицы	соответствует			схема	электрической цепи
	рис. 5.77.

i 1 (t)	R1
	i 2 (t)	i (t)
		3
	К
E	C	UC (t)
	R 2
	R 3

Рис 5.77. Схема электрической цепи

1. Рассчитаем докоммутационное начальное значение искомой переменной i2(0-) и основного начального значения (напряжения на конденсаторе) uC(0-).

Поскольку до коммутации выключатель К ещё не сработал (ключ К не разомкнулся), а сопротивление конденсатора постоянному току равно бесконечности, расчётная схема электрической цепи примет вид рис. 5.78.

i1 (0-)		i 3 (0-)

i 2 (0-)

u C (0-)

E

R2

R 3

Рис. 5.78. Расчётная схема электрической цепи до коммутации

129

В соответствии со схемой

	i2 (0−) =	E	=	400	= 0,8А, uC (0 –) = Е = 400 B.
		R2		500

После коммутации (ключ К разомкнулся) расчётная схема приобретает вид рис. 5.79.

i 1(0+)	R1
		i 2	(0+)	i (0+)
				3
			C
E	I11	I	22	UC (0+)
		R 2
				R3

Рис. 5.79. Расчётная схема электрической цепи после коммутации

По второму закону коммутации напряжение на конденсаторе в момент коммутации мгновенно измениться не может, то есть

uС (0+) = uС (0−) = UC (0) = 400В.

Искомый ток после коммутации i2 (0+) рассчитаем методом контурных токов. Уравнения для них в этом случае имеют вид

(R1 + R2 )I11 − R2I22 = E ,

− R2I11 + (R2 + R3 )I22 + UC (0+) = 0 .

Подставляя в уравнения заданные значения сопротивлений и ЭДС источника, а также рассчитанную величину напряжения на конденсаторе и решая эти уравнения, получим

I11 = 0,229 А,

I22 = −0,204 А.

130

По полученным значениям контурных токов находим величину искомого тока после коммутации:

i2 (0+) = I11 − I22 = 0,229 + 0,204 = 0,433 А.

Обратите внимание на то, что в момент размыкания ключа К ток i2(t) скачком уменьшился с величины i2 (0-) = 0,8 А до величины i2 (0+) = 0,433 А.

3. Рассчитаем принуждённое значение искомой переменной i2ПР . Поскольку в принуждённом режиме ключ остаётся разомкнутым, а сопротивление конденсатора постоянному току равно бесконечности (разрыв цепи вместо кондесатора), то схема электрической цепи в принуждённом режиме примет вид рис. 5.80.

i1 пр		R 1	i 3 пр

i 2 пр

u Cпр

E

R2

R 3

Рис. 5.80. Расчётная схема электрической цепи в принуждённом режиме

В соответствии со схемой

Е400

i1ПР = i2ПР = R1 + R2 = 800 + 500 = 0,308 А.

4.Определим постоянную времени переходного процесса. Для электрической цепи с конденсатором постоянная времени определяется по формуле

τС = RЭ С,

где τС – постоянная времени переходного процесса;

131

RЭ – эквивалентное сопротивление электрической цепи относительно зажимов накопителя энергии (конденсатора).

Для расчёта эквивалентного сопротивления относительно зажимов накопителя энергии электрическая цепь приобретает вид рис. 5.81. При этом источник постоянного тока считается идеальным (внутреннее сопротивление источника считается равным нулю) и заменяется перемычкой.

R 1

R 2

R 3

Рис. 5.81. Схема цепи для расчёта эквивалентного сопротивления

В соответствии со схемой эквивалентное сопротивление определяется выражением

R	Э	= R	3	+	R1R2	= 1208 Ом.
					R1 + R2

Тогда постоянная времени

τС = RЭС = 1208 700 10−6 = 0,85 с.

5. Решение для искомой переменной в общем виде определяется формулой

− t

i2 (t) = i2ПП + Ae τС ,

где А – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

6. Постоянная интегрирования А может быть определена из начальных условий. Для этого запишем полученное выражение для искомой переменной в момент времени t = 0.

i2 (0) = i2ПП + A, отсюда А = i2 (0) − i2ПР = 0,433 − 0,308 = 0,125.

132