75 группа 2 вариант / Электротехника / Электротехника

где Yk = 1/Zk – проводимость k - й ветви,

ЭДС эквивалентного источника для электрической цепи рис. 4.29,б определяется по формуле

E& Э = Y1E& 1 − Y2E& 2 + Y3E& 3

YЭ

или для n соединённых параллельно ветвей

	k=n		k=n
	∑± YkEk		∑± YkEk
	&			&
&	k=1		k=1
EЭ =	YЭ	=	k	=n	.
			∑Yk

k=1

4.8.2. Преобразование "звезда – треугольник"

Преобразование элементов электрической цепи, соединённых в звезду, в эквивалентный треугольник полезно при необходимости уменьшения количества узлов в электрической цепи. Преобразование соединения треугольника в эквивалентную звезду позволяет уменьшить количество контуров.

При известных величинах сопротивлений пассивных элементов, соединённых в звезду (рис. 4.30,а), сопротивление элементов сторон эквивалентного треугольника (4.30,б) определяется по формулам

	1		1
	Z1	Z31	Z12
Z1	Z 2
			Z 23
3	2	3	2
	а		б

Рис. 4.30. Соединение пассивных элементов электрической цепи: а – в звезду; б – в треугольник

33

Z12 = Z1 + Z2 + ZZ1 Z3 2 , Z23 = Z2 + Z3 + ZZ2 Z1 3 , Z31 = Z3 + Z1 + ZZ3 Z2 1 .

При известных величинах сопротивлений пассивных элементов, соединённых в треугольник (рис. 4.30,б), сопротивление элементов сторон эквивалентной звезды (4.30,а) определяется по формулам

Z1 =	Z12 Z31	,	Z2 =	Z12 Z23		Z3 =	Z23 Z31
					,			.
	Z12 + Z23 + Z31			Z12 + Z23 + Z31			Z12 + Z23 + Z31

4.8.3. Расчёт электрической цепи прямым применением законов Кирхгофа

Для расчёта токов во всех ветвях электрической цепи составляются уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Количество уравнений равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа может быть составлено (m – 1) независимых уравнений, где m – количество узлов электрической цепи. При n ветвей с неизвестными токами остальные (n – (m – 1)) уравнений составляются по второму закону Кирхгофа.

Рис. 4.31. Расчётная схема

Для схемы электрической цепи (рис. 4.31) имеем количество узлов m=3 и количество ветвей с неизвестными токами n=5.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид

–Đ1 – Đ2 + Đ5 = 0,

–Đ5 + Đ3 + Đ4 = 0.

34

Поскольку токи всех ветвей схемы вошли в уравнения для двух узлов, то уравнение для узла 3 новую информацию в расчёт не внесёт. Поэтому количество уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше, чем количество узлов в схеме электрической цепи (m – 1).

При пяти неизвестных токах по второму закону Кирхгофа необходимо составить ещё 3 уравнения (n – (m – 1)). При составлении уравнений следует соблюдать следующие принципы:

1.Каждая ветвь электрической цепи должна войти хотя бы в одно уравнение.

2.Каждый контур должен отличаться от других хотя бы одной вет-

вью.

3.При расчёте нематричными методами направление обхода контуров выбирается произвольно.

Направления обхода контуров показаны пунктирными линиями. Для

первого контура ток Đ1 и ЭДС источника ö1 совпадают по направлению с обходом контура, а ток Đ2 и ЭДС источника ö2 направлены навстречу направлению обхода контура. Поэтому для первого контура уравнение имеет вид

Z1 Đ1 – Z2 Đ2 = ö1 – ö2 .

По аналогии для второго и третьего контуров

Z2 Đ2 + Z5 Đ5 + Z3 Đ3 = ö2 + ö3 ,

– Z3 Đ3 + Z4 Đ4 = – ö3 .

Окончательно имеем систему из пяти уравнений, решив которую, получим значения токов в ветвях электрической цепи (Đ1, Đ2, Đ3, Đ4, Đ5):

–Đ1 – Đ2 + Đ5 = 0,

–Đ5 + Đ3 + Đ4 = 0, Z1 Đ1 – Z2 Đ2 = ö1 – ö2 ,

Z2 Đ2 + Z5 Đ5 + Z3 Đ3 = ö2 + ö3 ,

– Z3 Đ3 + Z4 Đ4 = – ö3 .

35

4.8.4. Расчёт электрической цепи методом контурных токов

При расчёте электрической цепи методом контурных токов в схему вводятся условные токи, протекающие по контуру неизменными. Они обозначены на рис. 4.32 символами Đ11, Đ22 и Đ33.

Рис. 4.32. Схема электрической цепи для расчёта методом контурных токов

Для контурных токов первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Действительно, для первого узла контурный ток Đ11 входит в узел и выходит из него. Аналогичное происходит и с током Đ22. То есть

– Đ11+ Đ11 – Đ22 + Đ22 = 0.

Поэтому для контурных токов уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа.

Впервом контуре ток Đ11 протекает по пассивным элементам Z1 и Z2.

Вто же время по Z2 навстречу току Đ11 протекает ток Đ22. Следовательно, второй закон Кирхгофа для первого контура имеет вид

(Z1 + Z2) Đ11 – Z2 Đ22 = ö1 – ö2.

По аналогии второй и третий контуры описываются с помощью контурных токов следующими уравнениями:

–Z2 Đ11 + (Z2 + Z5 + Z3)Đ22 – Z3 Đ33= ö2 + ö3,

–Z3 Đ22 + (Z3 + Z4)Đ33 = – ö3.

Врезультате решения системы из трёх уравнений для всех контуров имеем контурные токи Đ11, Đ22 и Đ33. Действительные токи Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 и Đ5 определяются через контурные с помощью схемы рис. 4.32. По первой

ветви протекает действительный ток Đ1 и в том же направлении – только один контурный ток Đ11. Следовательно,

36

Đ1 = Đ11.

По второй ветви согласно с действительным током Đ2 протекает контурный ток Đ22 и навстречу – контурный ток Đ11. Следовательно,

Đ2 = Đ22 – Đ11.

По аналогии действительные токи в других ветвях определяются через контурные по выражениям

Đ3 = Đ22 – Đ33,

Đ4 = Đ33,

Đ5 = Đ22.

4.8.5. Расчёт электрической цепи методом узловых потенциалов

При расчёте электрической цепи методом узловых потенциалов уравнения составляются для потенциалов узлов электрической цепи. Уравнения получаются из первого закона Кирхгофа. Поэтому количество уравнений при расчёте электрических цепей этим методом равно m –1. Однако поскольку для расчёта токов необходимы потенциалы всех узлов, потенциал одного из узлов должен быть задан. Чаще всего потенциал одного из узлов принимается равным нулю (узел заземляется).

В электрической цепи (рис. 4.33) узел 3 заземлён. Для узлов 1 и 2 уравнения имеют вид

(Y1 + Y2 + Y5 )ϕ& 1 − Y5ϕ& 2 = Y1E& 1 + Y2E& 2 ,

− Y5

ϕ1 + (Y3

+ Y4

&

+ Y5 )ϕ2 = −Y3E3 .

&

&

Đ 1

1 Đ5

Z 5

2

Đ4

Ů31

Z1

Đ2

Z2

Ů12

Đ3

Z3

Z 4

Ů23

ö1

ö2

3

ö3

Рис. 4.33. Схема электрической цепи для расчёта методом узловых потенциалов

37

В результате решения этих уравнений имеем потенциалы узлов ϕ1 и ϕ2 . Искомые токи определяем по закону Ома. В первой ветви ток протекает от узла 3 к узлу 1. Согласно с током Đ1 действует напряжение Ů31 , равное разности потенциалов ϕ3 и ϕ1 , и ЭДС источника ö1. Поэтому с

учётом того, что ϕ3 = 0,

&		&		ϕ3	− ϕ1	&	=		&
Đ1= U31		+ E1 =				+ E1		− ϕ1 + E1 .
				&	&			&
	Z1				Z1				Z1

По аналогии остальные токи определяются выражениями

&

&

ϕ3

&

&

,

Đ2 = U31

+ E2 =

− ϕ1 + E2 =

− ϕ1 + E2

&

&

&

Z2

Z2

Z2

&

&

ϕ2

&

&

U23

+ E3

− ϕ3 + E3

ϕ2 + E3

Đ3

=

=

&

&

=

&

,

Z3

Z

3

Z3

&

ϕ2 − ϕ3

ϕ2

U23

Đ4

=

=

&

&

=

&

,

Z4

Z4

Z4

Đ5

=

U12

= ϕ1 − ϕ2

= ϕ1 − ϕ2 .

&

&

&

&

&

Z5

Z5

Z5

Таким образом, расчёт токов электрической цепи можно выполнять различными методами. При этом важно выбирать оптимальный, исходя из постановки задачи расчёта, структуры рассчитываемой цепи, известных данных и других особенностей. В дальнейшем на основе рассчитанных токов можно определить напряжения на элементах электрической цепи, потребляемые ими мощности и другие интересующие величины.

4.8.6. Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюс-

нике) используется в случаях, когда в сложной электрической цепи требуется определить ток, напряжение на элементах или мощность в

одной ветви. Метод формулируется следующим образом. Электрическую цепь любой сложности относительно одной её ветви можно представить в виде эквивалентного генератора. Эквивалентная ЭДС источника этого генератора равна напряжению холостого хода относительно зажимов интересующей ветви. А внутреннее сопротивление генера-

38

тора равно входному сопротивлению всей цепи относительно зажимов интересующей ветви.

Сложная электрическая цепь А (рис 4.34,а) может быть представлена относительно зажимов аб ветви с сопротивлением ZК эквивалентным генератором (рис. 4.34,б) с ЭДС, равной Ůабхх, и с внутренним сопротивлением Zвхаб , равным входному сопротивлению всей сложной цепи относительно зажимов аб.

a

ĐК

a

ĐК

A

Z вхаб

Ůаб

Z К

Ůаб

ZК

Ůабхх

б

б

а)

б)

Рис 4.34. Преобразование по теореме об активном двухполюснике

Очевидно, что в электрической цепи (рис. 4.34,б) ток легко найти по

формуле

&

I&К

=

Uабхх

.

Zвхаб + Z

К

Однако при этом надо знать U& абхх и Zвхаб .

Например, в электрической цепи (рис. 4.35) необходимо определить только ток Đ5 .

Рис. 4.35. Схема электрической цепи

Для этого всю электрическую цепь (за исключением ветви Z5) относительно зажимов аб представим в виде эквивалентного генератора (рис. 4.34,б).

39

При расчёте внутреннего сопротивления эквивалентного генератора исключим Z5 и заменим источники ö1, ö2 и ö3 их внутренними сопротивлениями. У идеальных источников напряжения внутреннее сопротивление равно нулю. Поэтому схема приобретает вид рис. 4.36. По этой схеме внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов аб и определяется выражением

Z

вхаб

=

Z1 Z2

+

Z3 Z4

.

Z1 + Z2

Z3 + Z4

Рис. 4.36. Схема электрической цепи для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Для расчёта напряжения холостого хода относительно зажимов аб схема приобретает вид рис 4.37.

Рис. 4.37. Схема электрической цепи для расчёта напряжения холостого хода эквивалентного генератора

Токи Đ1 и Đ2 определяются по формулам

&

&

&

&

=

E1

− E2

,

&

=

E3

.

I1

Z

1

+ Z

2

I2

Z

3

+ Z

4

При этом напряжение холостого хода на зажимах аб определяется выражением

&	&	&	= –Z3 Э2 + ö3 + ö2 + Z2 Э1 ,
Uабхх =ϕа		−ϕб

или

40

	&	&	&	= Z4 Э2 + ö1 – Z1Э1 .
	U
		абхх =ϕа	−ϕб

Тогда ток Đ5, который необходимо было определить, можно рассчитать по формуле

&

I&5 = Uабхх . Zвхаб + Z5

Режим согласованной нагрузки двухполюсника используется в электрических цепях для получения в приёмнике энергии максимальной мощности. Для этого необходимо, чтобы сопротивление приёмника энергии было равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора:

Zвхаб = ZК .

4.9.Нелинейные электрические цепи

4.9.1. Основные понятия

Электрическая цепь называется нелинейной, если хотя бы один её элемент имеет нелинейную зависимость между входными и выходными переменными. Нелинейные пассивные элементы бывают ре-

зистивными, индуктивными и ёмкостными. К резистивным могут быть отнесены диоды, стабилитроны, тиристоры и другие полупроводниковые приборы, работающие в электрических цепях с невысокой частотой тока. Нелинейные индуктивные элементы – это катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником. К нелинейным ёмкостным элементам относятся специальные конденсаторы с нелинейной кулон - вольтной характеристикой. Нелинейными характеристиками могут также обладать источники питания. Обозначение нелинейных резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов показано на рис. 4.38.

Рис. 4.38. Условные обозначения нелинейных элементов

Примеры характеристики нелинейных элементов представлены на рис. 4.39.

41

Рис. 4.39. Примеры характеристик нелинейных элементов: а – вольт-амперная характеристика резистора; б – вебер-амперная характеристика катушки индуктивно-

сти; в – кулон-вольтная характеристика конденсатора

В соответствии с представленными характеристиками резистор при подключении к нему постоянного напряжения UСТ и при протекании по нему постоянного тока (рабочая точка А) характеризуется статическим

сопротивлением RСТ:

RСТ = UСТ = mRtgα,

IСТ

где mR = mU – масштаб сопротивления. mI

Этот же резистор при получении питания от источника переменного тока невысокой частоты с небольшими отклонениями от точки А характеризуется дифференциальным сопротивлением Rd:

dU

Rd = dI = mRtgβ.

Аналогично катушка индуктивности характеризуется статической и дифференциальной индуктивностями, а конденсатор – статической и дифференциальной ёмкостями:

LСТ =	ΨСТ = mΨtgα,		Ld =	dΨ			= mΨtgβ,
					dI
	IСТ
CСТ =	qСТ	= mCtgα,	Cd =		dq		= mCtgβ .
					dU
	UСТ

42