75 группа 2 вариант / Электротехника / Электротехника

4.9.2. Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Нелинейные резистивные электрические цепи постоянного тока могут быть рассчитаны следующими методами:

•графо-аналитическими;

•аналитическими;

•численными.

К графо-аналитическим относятся метод эквивалентных преобразо-

ваний и метод эквивалентного генератора.

По методу эквивалентных преобразований для схемы рис. 4.40, а с нелинейными резисторами, имеющими вольт-амперные характеристики (рис. 4.40, б), в соответствии с аналитическим выражением для электрической цепи по второму закону Кирхгофа строится характеристика эквивалентного резистора RЭ (рис. 4.41).

E = UR1 + UR2 .

R1

I

UR1

Е

UR2

R2

а

б

Рис. 4.40 Схема электрической цепи (а) и нелинейные ВАХ резисторов (б)

43

5

4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

Рис 4.41. ВАХ нелинейных резисторов R1 и R2 и эквивалентного им резистора RЭ

При известной ЭДС источника, откладывая её по оси ординат на рис. 4.41, легко найти ток в электрической цепи по характеристике экви-

валентного резистора и напряжения на резисторах по их ВАХ.

Метод эквивалентного генератора рационально использовать в сложных электрических цепях с одним нелинейным элементом. При этом вся линейная часть схемы цепи преобразуется в эквивалентный генератор относительно зажимов нелинейного элемента (см. разд. 4.8.6). Электрическая цепь в этом случае приобретает вид рис. 4.42.

Рис. 4.42. Преобразованная схема электрической цепи

Для неё напряжение на нелинейном резисторе равно напряжению на зажимах эквивалентного генератора:

Uab = UR , где Uab = EЭ − RВХI .

То есть напряжение на нелинейном резисторе и ток в нём определяются точкой пересечения характеристики эквивалентного генератора и нелинейной ВАХ резистора (рис. 4.43).

44

Рис. 4.43. Внешняя характеристика эквивалентного генератора и нелинейная ВАХ резистора

Аналитические методы расчёта базируются на подборе аналитического выражения I(UR ), соответствующего нелинейной ВАХ резистора с заданной точностью. Часто аналитическое выражение подбирается в виде степенного полинома:

n

I(UR ) = ∑KnUnR .

1

Подставляя аналитическое выражение в уравнение для эквивалентного генератора, получим

n

EЭ = RВХ(∑KnUnR ) + UR .

1

Решая это уравнение относительно UR , определим напряжение на

нелинейном резисторе и, используя зависимость I(UR ), ток в нём. Численные методы расчета базируются на компьютерном решении

нелинейных электрических цепей с более сложными и точными аналитическими зависимостями для ВАХ или заданием их с помощью таблиц.

4.10. Переходные процессы в электрических цепях

4.10.1. Основные понятия

Переходный процесс в электрической цепи – это переход её из одного устойчивого состояния в другое. В электрических цепях этот

переход происходит при любом изменении её параметров (сопротивле-

ний элементов, а также напряжений и токов источников питания). Однако чаще переходные процессы возникают при коммутации – замыкании или размыкании контактов выключателей, реле и контакторов.

45

К

аб

Рис.4.44. Контакты выключателей, реле и контакторов: а – замыкающий; б – размыкающий

При этом немгновенность перехода из одного состояния в другое связана с наличием в цепи накопителей электрической энергии – катушек индуктивности и конденсаторов, которые не могут мгновенно изменить накопленную энергию в их магнитном и электрическом поле. Это

обусловливает законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в катушке индуктивности (рис. 4.45) не может измениться скачком.

iL	L
	uL

Рис. 4.45. Схема катушки индуктивности

Математически первый закон коммутации записывается следующей

формулой:

iL (0 +)= iL (0 −),

где iL (0 +) – ток в катушке индуктивности через мгновение после коммутации; iL (0 −) – ток в катушке индуктивности за мгновение до коммутации.

В соответствии с математической записью первый закон коммутации может быть сформулирован следующим образом: ток в катушке

индуктивности через мгновение после коммутации равен току за

мгновение до коммутации.

Второй закон коммутации: напряжение на зажимах конденсатора (рис. 4.46) не может измениться скачком.

Рис. 4.46. Схема конденсатора

Математически второй закон коммутации записывается следующей формулой:

46

uC (0 +)= uC (0 −),

где uC (0 +) – напряжение конденсатора через мгновение после коммутации; uC (0 −) – напряжение конденсатора за мгновение до коммутации.

В соответствии с математической записью второй закон коммутации может быть сформулирован следующим образом: напряжение конден-

сатора через мгновение после коммутации равно напряжению за

мгновение до коммутации.

Начальные условия – это значение искомых переменных в момент коммутации (при t = 0) yк (0). Поскольку в соответствии с законами коммутации токи в катушках индуктивности и напряжения на конденсаторах не изменяют своей величины во время коммутации, то в начале расчета определяют их докоммутационные значения y(0 −) и через них рассчитывают начальные значения остальных интересующих переменных.

4.10.2. Расчёт переходных процессов в электрических цепях

Электрическая цепь во время переходного процесса описывается дифференциальным уравнением, порядок которого после максимально возможного её упрощения определяется общим количеством в цепи накопителей энергии (катушек индуктивности и конденсаторов). Поэтому рассчитать переходный процесс в электрической цепи – это решить дифференциальное уравнение соответствующего порядка. Для электрических цепей с одним или двумя накопителями энергии наиболее прост и нагляден классический метод расчёта. В соответствии с ним решение дифференциального уравнения для искомой переменной состоит из суммы её принуждённой и свободной составляющих:

y(t) = yпр + yсв ,

(4.4)

где y(t) – зависимость искомой переменной от времени во время переходного процесса; yпр – принуждённое значение искомой переменной в конце переходного процесса; yсв – свободная составляющая переходного процесса, определяющая вид перехода искомой переменной от начального значения к принуждённому.

При расчёте принуждённой составляющей и начальных условий в электрических цепях постоянного тока расчётная схема изменяется за счёт того, что катушки индуктивности имеют сопротивление, равное нулю. Поэтому они заменяются проводником без сопротивления (перемыч-

47

ками). А сопротивление конденсаторов постоянному току равно бесконечности. Поэтому в расчётной схеме на месте конденсаторов ставятся разрывы (рис. 4.47).

Рис. 4.47. Замена катушки индуктивности и конденсатора в расчётной схеме

Свободная составляющая переходного процесса в электрических цепях с одним накопителем энергии всегда имеет один и тот же вид:

− t

yСВ = Ae τ ,

где A – постоянная интегрирования; τ – постоянная времени переходного процесса; t – время.

Постоянная времени определяет длительность переходного процесса и рассчитывается по параметрам элементов электрической цепи. Принято считать, что изменяющиеся во время переходного процесса переменные достигнут своего принуждённого значения за 3 – 5 постоянных времени:

tПП = (3 - 5)τ ,

где tПП − время переходного процесса.

Для цепи с катушкой индуктивности постоянная времени равна отношению индуктивности L к эквивалентному сопротивлению всей цепи относительно зажимов катушки RЭ . При его определении ключ считается сработавшим, а источник заменяется его внутренним сопротивлением.

L

τL = RЭ .

Для электрической цепи с конденсатором постоянная времени равна произведению ёмкости конденсатора C и величины эквивалентного сопротивления относительно его зажимов RЭ :

48

τС = CRЭ .

Постоянная интегрирования Aрассчитывается исходя из начальных условий. В момент коммутации при t = 0 уравнение (4.4) принимает вид

y(0) = yпр + A .

Отсюда A = y(0) − yпр .

Таким образом, все слагаемые для окончательной записи уравнения переходного процесса искомой переменной определены.

4.11. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках

Магнитной цепью называется совокупность ферромагнитных и других сред, по которым замыкаются линии магнитной индукции, создаваемые катушками индуктивности. Ферромагнитные материалы используются в магнитных цепях в целях получения бóльших индукций при одних и тех же токах в катушках индуктивности.

Ферромагнитные материалы характеризуются кривыми намагничивания B(H), которые представляют собой нелинейную зависимость индукции от напряжённости магнитного поля (рис. 4.48).

Рис. 4.48. Кривая намагничивания ферромагнитного материала

Математически эта зависимость имеет вид

B = µ0µH = µa H ,

где B – вектор магнитной индукции; H – вектор напряжённости магнитного поля;

µa = µ0µ – абсолютная магнитная проницаемость; µ0 = 4π10−7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума; – относительная магнитная проницаемость ферромагнитного материала.

49

Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках характеризуются также магнитодвижущей силой (МДС) F, магнитным потоком Ф, потокосцеплением Ψ.

F = IW ; Ф = BS ; Ψ = WФ ,

где W – число витков катушки индуктивности; S – поперечное сечение магнитопровода.

Направление МДС определяется по правилу правой руки или по правилу правого винта.

В целом между электрическими цепями постоянного тока и магнитными цепями при постоянных потоках имеется аналогия, представленная в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Электрические цепи				Магнитные цепи
Электрический ток I (А)				Магнитный поток Ф (Вб)
Электродвижущая сила Е (В)				Магнитодвижущая сила F = IW (A)
Сопротивление резистора				Сопротивление участка магнитной це-
	R =	l			пи
			(Ом)		l
		γS		Rm =			(1/Гн)
					µaS
Первый закон Кирхгофа				Закон непрерывности линий магнитной
	k=n			индукции
	∑± Ik = 0			k=n
	k=1			∑± Фk = 0
				k=1
Второй закон Кирхгофа				Закон полного тока
k=n			k=n	k=n			k=n
∑	± RkIk = ∑± Ek			∑ ± Hklk =			∑± Fk
k=1			k=1	k=1			k=1
Падение напряжения на резисторе				Магнитное напряжение на участке цепи
	UR = RI			Umk = Hklk = RmkФk
Вольт-амперная характеристика				Вебер-амперная характеристика

50

Приведённые соотношения и аналогия показывают, что кривая намагничивания B(H) может быть представлена в других координатах Ф(UM ) или Ψ(I)при соответствующем изменении масштабов.

Общий вид неразветвлённой магнитной цепи представлен на рис. 4.49.

I
	l C
W	Ф
l Я	б

Рис. 4.49. Общий вид неразветвлённой магнитной цепи: lC и lЯ – длины сердечника и якоря магнитной цепи, определяемые по средней линии; δ – длина воздушного зазора

Основное уравнение для расчёта этой цепи имеет вид

HClC + HЯlЯ + 2Hδδ = IW,

где Hδ = Bδ – напряжённость магнитного поля в воздушном зазоре.

µ0

Поскольку при расчёте магнитных цепей при постоянных потоках пренебрегают рассеянием, то по всем участкам магнитной цепи протекает один и тот же магнитный поток Ф. Поэтому индукция в сердечнике и в якоре определяется выражениями

BC =	Ф	и	BЯ =	Ф	,
	SC
				SЯ

где SC и SЯ – поперечное сечение сердечника и якоря соответственно.

По полученным значениям индукции в отдельных частях магнитной цепи напряжённость в них находится по заданной кривой намагничивания для используемого в магнитной цепи ферромагнитного материала.

51

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1 Методы расчета электрических цепей постоянного тока

На рис. 5.1 – 5.10 приведены расчетные схемы, номера которых равны последним цифрам номеров студенческих билетов. В табл. 5.1 приведены варианты данных для расчета. Номер варианта равен сумме

последних двух цифр номера студенческого билета.

Задание

1.Упростить схему до двухконтурной.

2.Рассчитать потенциал независимого узла относительно узла 0 по методу узловых потенциалов.

3.Заменить источник тока эквивалентным источником напряжения.

4.Рассчитать токи в преобразованной схеме методом контурных токов.

5.Определить ток в ветви, не содержащей активных элементов по методу эквивалентного генератора.

6.Проверить решение по балансу мощностей.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

52