. Интерполяция и экстраполяция

Интерполяция– построение приближенного или точного аналитического выражения функциональной зависимости, когда о ней известны только соотношения между аргументом и соответствующими значениями функции в конечном ряде точек ― имеет следующие применения в АСУТП:

• линеаризация и интерполяция сигналов датчиков;

• формирование непрерывно изменяющегося сигнала по коэффициенту временного полинома или числовой программе в системах программного регулирования;

• получение аналитического выражения статической (обычно в виде квадратичной формы от входных воздействий) или динамической (обычно в виде дробно-рациональной передаточной функции) характеристик по экспериментально полученным точкам в задачах идентификации и характеризации;

• получение аналитического выражения корреляционных функций или спектральных плотностей при статистической обработке данных;

• переход от одной формы математического описания к другой в задачах характеризации;

• интерполяция таблиц, номограмм, диаграмм, хранящихся в памяти ЭВМ, для определения каких-либо параметров, например, параметров ПИД-регулятора по номограммам.

Для интерполирования функции по точным значениям применяют интерполяционные формулы:

― при линейной интерполяции значения функции fв точке (x_i < x < x_i+1) берется равным

(x) =]; (9.3.19)

― при интерполировании по Лагранжу, когда известны значения функции в mточкахx_1…x_m, образуется многочлен степени (m– 1):

L(x)=(x) =f(x); (9.3.20)

― при интерполировании по Ньютону, когда известны значения функции в m точках x_1…x_m, расположенных на равных расстояниях друг от друга, образуется многочлен:

P_m-1(x) =f(x)=f(x₁) + , (9.3.21)

где t= ;

.

Задача интерполяции при наличии помех измерений называется задачей сглаживания.

Экстраполяция– распространение результатов, полученных из наблюдений над одной частью явления, на другую его часть, недоступную для наблюдения. Имеет следующее применение в АСУТП:

• повышение качества управления (быстродействия, устойчивости и т.п.), обычно – за счет введения в закон управления производных;

• предсказание (прогнозирование) возмущающих воздействий или возмущающего движения при создании оптимальных систем комбинированного типа, содержащих две составляющих управления, из которых одна является функцией текущего состояния, а вторая – функцией предсказанного возмущения;

• предсказание положения в стационарной точке в задачах планирования экстремальных экспериментов или экстремального регулирования для ускорения процесса поиска;

• предсказание аварийных ситуаций и редко измеряемых переменных, когда для управления процессом требуется более частый опрос переменных, чем реально возможный.

Рассмотрим постановку задачи экстраполяции в условиях помех. Пусть последовательность измерений в дискретные моменты опроса имеет вид

y_i = x_i + ξ,i = 1,2,…

где x_i – регулярная составляющая;

ξ– случайная помеха измерения с нулевым средним и дисперсией;

i – моменты опроса.

Будем искать регулярную составляющую (временную модель измеряемой переменной) в одном из следующих видов:

x_i =– полиноминальная модель;

x_i =– экспоненциальная модель; (9.3.22)

x_i =– тригонометрическая модель.

В качестве критерия предсказания обычно выбирают среднеквадратичную ошибку (СКО) между предсказанным на k тактов (обычно k = 1) и фактическими значениями:

έ² = M{(x_i+1 – y_i+k)²}→ min (9.3.23)

{a_j}

Эта задача решается в несколько этапов:

• выбирается интервал наблюдения (или количество исходных для предсказания замеров);

• по критерию минимума СКО вычисляются оценки коэффициентов {a_j}, обеспечивающие наилучшую интерполяцию исходных замеров принятой моделью (эту процедуру называют сглаживанием);

• модель процесса с найденным коэффициентом используют для предсказания.

Количество исходных точек не может быть ниже порядка mмодели. При их равенстве коэффициенты находятся однозначно изmуравнений, однако точность здесь невысока из-за наличия помех. Обычно используют существенно большее число измерений, при этом избыточную информацию используют для повышения точности предсказания. Интервал между замерами берут равным (0,10…0,25)Т_э.

В большинстве случаев предсказание можно осуществлять и без построения временной модели переменной. Применяют следующие алгоритмы предсказания:

– ступенчатую аппроксимацию, когда предсказываемое значение переменной совпадает с ее величиной ( при сглаженной помехе) в последней точке замера (этот метод не требует никаких вычислений, однако его погрешность максимальна по сравнению с другими алгоритмами) – дисперсия ошибки предсказания на время Δtдля эргодического процесса равна:

έ^{2 =} 2[R_y(0) - R_y(Δt)] +, (9.3.24)

где R_y – корреляционная функция процессаy(t).

Наилучшие результаты дает дискретный фильтр-экстраполятор Калмана-Бьюси. Однако здесь требуются наиболее трудоемкие вычисления. Для стационарных процессов близкие к максимально достижимым результатам дает фильтр Винера:

x_i+k = , (9.3.25)

где m– память фильтра,

{a_j} – коэффициенты, настраиваемые по критерию минимума СКВ предсказания.