. Методы определения функций корреляции

Задача экспериментального определения функций корреляции является одной из наиболее важных и широко распространенных на практике исследования случайных процессов. Разработаны многочисленные методы определения корреляционных функций. Рассмотрим наиболее распространенные из этих методов.

Мультипликационный метод является основным методом экспериментального определения функций корреляций. В случае дискретных наблюдений оценки корреляционной функции вычисляют по формуле

.(9.4.36)

При этом предполагается, что m₁{x} иm₁{y} известны и равны нулю. Рассмотрим алгоритм машинной оперативной корреляционной обработки случайного дискретного процесса, представленный в виде последовательности {x_ij} выборки, по алгоритму

. (9.4.37)

Метод разложения функции корреляции в ряд. Этот метод также имеет широкое распространение. Чаще всего используется разложение по ортогональным полиномам ЛаггераL_n().

Известно, что автокорреляционная функция может быть представлена в виде ряда

, (9.4.38)

где ;

.

Таким образом, задача получения коэффициентов b_nможет быть решена путем усреднения по времени произведений исходной реализацииx(t)и этой же реализации, пропущенной через линейный фильтр с весовой функцией:

,

что соответствует передаточной функции фильтра:

.

По найденным значениям можно определить искомую функцию корреляции

(9.4.39)

где k – число фильтров Лаггера (k =5…6).

Основным достоинством указанного метода является отсутствие элементов задержки.

Иногда может оказаться удобным и разложение в ряд Маклорена. В этом случае

(9.4.40)

где

Этот метод удобен в тех случаях, когда могут быть непосредственно измерены производные случайного процесса.

Метод, основанный на использовании двумерной плотности вероятности, позволяет вычислить из соотношения

(9.4.41)

где f(x,y,τ) –двумерная плотность вероятности процессовy(t +τ)и x(t).

Следовательно, для определения оценки корреляционной функции необходимо иметь оценку двумерной плотности вероятности.

Метод дискретных апериодических выборок использует следующее соотношение для корреляционной функции:

(9.4.42)

где t_i- моменты времени, в которых процессx(t)пересекает уровень η, т.е.x(t_i) =η, η – константа, принимающая любые значения, кроме нуля.

Для нормальных случайных процессов показано, что существует оптимальное значение константы η, равное , при котором ошибка в вычислении функции корреляции за конечное время анализа минимальна

. Методы определения спектральной плотности

Спектральная плотность S(ω) позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность на различных частотах, или, иначе, среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.

Поскольку спектральная и корреляционная функция случайного стационарного процесса связаны прямым и обратным соотношениями Винера-Хинчина то при изучении частотных свойств процесса достаточно определить любую их этих функций. Однако в ряде случаев определение S(ω) является более предпочтительным.

(9.4.43)

Алгоритмы определения спектральной плотности можно разделить на четыре основные группы:

• алгоритмы, построенные на принципе узкополосной фильтрации;

• алгоритмы, использующие преобразование Фурье от реализации случайного процесса;

• алгоритмы, использующие аппроксимацию ортогональными полиномами;

• алгоритмы, основывающиеся на преобразовании Фурье от корреляционной функции.

Различают также методы получения спектральных характеристик последовательного действия, в которых анализ происходит последовательно на каждой частоте, и параллельного действия, которые позволяют анализировать параллельно во времени для нескольких значений частот. При этом следует отметить, что время изменения для последовательного метода значительно больше, чем для параллельного