- •1. Загальні поняття фізики
- •1.1.3. Фундаментальні типи взаємодії у природі
- •1.1.4. Фундаментальні закони збереження
- •1.1.5. Основні розділи фізики
- •2. Основи кінематики
- •2.1. Кінематика поступального і обертального руху
- •2.1.2.Пoняття мaтepiaльнoї тoчки тa aбcoлютнo твepдoгo тiлa
- •2.1.4. Система вiдлiку. Положення матеріальної тoчки у просторі
- •2.1.5.Швидкість поступального руху. Закон додавання швидкостей
- •2.1.7. Кінематика обертального руху
- •3. Динаміка матеріальної точки
- •3.1. Динаміка поступального руху
- •3.1.1. Класична механіка та межі її використання
- •3.1.2. Поняття сили, маси, імпульсу. Перший, другий, третій закони Ньютона
- •3.1.3. Принцип відносності Галілея
- •3.1.4. Закон збереження імпульсу
- •3.1.5. Реактивний рух
- •3.2. Енергія і робота
- •3.2.1. Енергія, робота, потужність
- •3.2.2. Енергія кінетична. Енергія потенціальна
- •3.2.3.Закон збереження енергії
- •3.2.4. Зіткнення двох тіл
- •3.2.5.Рух тіла відносно неінерціальної системи відліку. Сили інерції. Відцентрова сила. Сила Коріоліса
- •4. Обертальний рух твердого тіла
- •4.1. Момент сили. Момент імпульсу
- •4.1.1. Тверде тіло як система матеріальних точок
- •4.1.2.А. Момент сили і пари сил відносно точки
- •4.1.2.Б. Момент сили відносно осі
- •4.1.2.В. Момент імпульсу матеріальної точки
- •4.1.3. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.1.4. Основне рівняння динаміки обертального руху
- •4.2. Момент інерції. Гіроскоп
- •4.2.1. Вільні осі. Головні осі інерції
- •4.2.2. Моменти інерції різних тіл
- •4.2.3. Кінетична енергія обертального руху
- •4.2.4. Гіроскоп. Гіроскопічний ефект. Процесія гіроскопа
- •4.3. Всесвітнє тяжіння
- •4.3.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл
- •4.3.2. Гравітаційне поле і його характеристики
- •4.3.3. Маса гравітаційна і маса інертна
- •4.3.4. Перша та друга космічні швидкості
- •5. Релятивістська механіка
- •5.1. Елементи релятивістської механіки
- •5.1.1. Зв’язок і відхилення від законів Ньютона
- •5.1.2. Постулати Ейнштейна
- •5.1.3. Перетворення Лоренца
- •5.1.4. Висновки з перетворень Лоренца
- •5.1.5.Основи релятивістської динаміки: імпульс, маса, зв’язок маси і енергії, частинка з нульовою масою
- •6. Коливальний рух
- •6.1. Вільні незгасаючі гармонічні коливання
- •6.1.1. Загальні відомості про коливання
- •6.1.2. Вільні незгасаючі гармонічні коливання
- •6.1.3. Енергія коливального руху
- •6.2. Складання коливань
- •6.2.1. Векторна діаграма. Складання коливань одного напрямку
- •6.2.2. Складання взаємно-перпендикулярних коливань
- •6.3. Згасаючі та вимушені коливання
- •6.3.1. Згасаючі коливання. Добротність
- •6.3.2. Вимушені коливання
- •6.3.3. Резонанс
- •1. Основні значення і поняття. Основи мкт газів і термодинаміки
- •1.1.2. Макроскопічні параметри і їх мікроскопічна трактовка
- •1.1.3. Закони ідеальних газів
- •1.1.4. Рівняння стану ідеального газу
- •1.1.5. Основне рівняння мкт газів
- •1.1.6. Температура. Поняття температури
- •1.2. Перший закон термодинаміки
- •1.2.1. Внутрішня енергія термодинамічної системи
- •1.2.2. Теплота. Робота. Теплоємність
- •1.2.2. Перший закон термодинаміки
- •1.2.4. Ізопроцеси в ідеальних газах
- •1.2.4.А. Ізотермічний
- •1.2.4.Б. Ізобарний
- •1.2.4.В. Ізохорний
- •1.2.4.Г. Адіабатичний
- •1.3. Другий закон термодинаміки
- •1.3.1. Кругові процеси
- •1.3.2. Цикли Карно
- •1.3.2.А. Прямий обернений цикл Карно
- •1.3.2.Б. Обернений рівновісний цикл Карно
- •1.3.2.В. Необернений цикл Карно
- •1.3.3. Нерівність Клаузіуса
- •1.3.4. Ентропія та її властивості
- •1.3.5. Другий закон термодинаміки
- •1.4. Термодинамічний потенціал. Теорема Нернста
- •1.4.1. Внутрішня енергія
- •1.4.2. Енергія Гальм-Гольца
- •1.4.3. Ентальпія
- •1.4.4. Потенціал Гіббса
- •1.4.4. Теорема Нернста. Третій закон термодинаміки
- •2.1. Кристали та їх властивості
- •2.1.1. Будова кристалу
- •2.1.2. Класи і типи кристалів
- •2.1.3. Дефекти в кристалах
- •2.1.4. Теплоємність кристалів
- •2.2. Рідини та їх властивості
- •2.2.1. Будова рідини
- •2.2.2. Поверхневий натяг
- •2.2.3. Явища на межі рідини і твердого тіла
- •2.2.4. Капілярні явища
- •2.3. Фазові переходи
- •2.3.1. Фаза, фазові переходи
- •2.3.2. Випаровування, плавлення, конденсація, кристалізація
- •2.3.3. Рівняння Клайперона-Клаузіуса
- •2.3.4. Потрійна точка. Діаграма стану
- •2.4. Розподіл молекул газу за енергіями
- •2.4.1. Закон розподілу Больцмана
- •2.4.2. Закон розподілу Максвела
- •2.4.3. Закон розподілу Максвела-Больцмана
- •Частина 1. Електростатика і магнетизм Розділ 1. Електростатичне поле у вакуумі
- •§1. Постійний електричний струм
- •§2. Опис векторного поля
- •§ 3. Обчислення напруженості поля на підставі теореми Гауса
- •Розділ 2. Діелектрик в зовнішньому електричному полі
- •§4. Діелектрик в зовнішньому електричному полі
- •Розділ 3. Провідник в зовнішньому електростатичному полі
- •§5. Провідник в зовнішньому електростатичному полі
- •Розділ 4. Енергія електростатичного поля
- •§6. Енергія електростатичного поля
- •Розділ 5. Постійний електричний струм
- •§7. Постійний електричний струм та його характеристики.
- •§8. Класична електронна теорія електропровідності металів
- •Розділ 6. Контактна і об’ємна різниця потенціалів
- •§9. Робота виходу електрона
- •Розділ 7.Електричний струм у рідинах
- •§10. Електричний струм у рідинах
- •Розділ 8. Електричний струм у газах
- •§11. Електричний струм у газах
- •Частина 2. Електромагнетизм Розділ 1. Магнітне поле у вакуумі
- •§1. Магнітне поле і його характеристики
- •§ 2. Закон повного струму
- •§ 3. Контур зі струмом в зовнішньому магнітному полі
- •Розділ 2. Магнітне поле в речовині
- •§ 4. Магнітне поле в магнетиках
- •§ 5. Класифікація магнетиків
- •Розділ 3. Електромагнітна індукція
- •§ 6. Електромагнітна індукція
- •Розділ 4. Електричні коливання
- •§ 7. Електричні коливання
- •Розділ 5. Система рівнянь Максвела
- •§ 8. Електромагнітне поле
4.2.2. Моменти інерції різних тіл
1. Момент інерції стержня масою m і завдовжки l відносно осі, перпендикулярної до його грані:
.
Рис. 3.а
2. Момент інерції стержня масою m і завдовжки l відносно осі, перпендикулярної до кінця стержня:
.
Рис. 3.б
Момент інерції порожнистого тонкостінного циліндра масою m і радіусом оболонки R відносно геометричної осі:
.
Момент інерції суцільного циліндра (вала, диска) масою m і радіусом R відносно геометричної осі:
.
5. Момент інерції тонкого диска відносно осі, яка співпадає з діаметром диска:
.
6. Момент інерції кулі масою m і радіусом R відносно осі, що проходить через центр кулі :
.
4.2.3. Кінетична енергія обертального руху
Рис. 4
Умовно розіб’ємо тіло на N елементарних мас. Кінетична енергія однієї такої маси . Якщо врахувати зв’язок між лінійною швидкість і кутовою швидкістю, то отримаємо:
. (1)
Кінетична енергія тіла обумовлена тільки обертанням тіла і дорівнює сумі кінетичних енергій усіх елементарних мас, тобто:
. (2)
Дане рівняння справедливе при обертанні тіла відносно довільно-вибраної осі обертання.
Знайдемо роботу, яку необхідно виконати над тілом, щоб повернути дане тіло на кут . Враховуючи співвідношення між кінетичною енергією тіла і роботою, знаходимо, що. Так як вектори кутового прискорення і приросту кутового прискорення паралельні, а момент інерції не залежить від кутової швидкості, то дану елементарну роботу можна виразити:
.
Використаємо основне рівняння динаміки обертального руху у вигляді, що: , знаходимо, що, тоді елементарна робота буде чисельно дорівнювати:
,
або якщо записати це рівняння у вигляді
,
можна побачити, що ,- зміна кута.
Для повороту тіла на кут , необхідно виконати роботу:
, (3)
А – робота сили, що обертає тіло.
4.2.4. Гіроскоп. Гіроскопічний ефект. Процесія гіроскопа
Гіроскопом називається симетричне тіло, яке обертається навколо осі симетрії або своєї осі, що є однією з вільних осей.
Найпростіший гіроскоп – юла. Якщо дзиґу розкрутити і залишити, то вона зберігатиме напрямок своєї осі обертання. Дане явище можна пояснити виходячи з рівняння обертального руху
.
Оскільки під час обертання вовчка момент сили тяжіння відносно центра мас дорівнює нулю, то:
,
а це і є закон збереження моменту імпульсу:
.
Тобто момент імпульсу системи зберігає свої величину і напрям за відсутності зовнішніх моментів сил. Дану властивість використовують в технічних(навігаційних) пристроях.
Схема типового гіроскопа:
Рис. 5
Складовими частинами типового гіроскопа є важке тіло (D), вісь обертання (AA’) та карданний підвіс, який складається з двох кілець – зовнішнього, яке вільно обертається навколо осі і внутрішнього, яке обертається навколо осі, яка перпендикулярна до неї і проходить через вістря CC’. Вісь AA’ диску спирається на внутрішнє кільце карданного підвісу. Це забезпечує їй можливість вільно обертатися у просторі у будь-якому напрямі. Вісь симетрії є однією з головних осей гіроскопа. Коли обертання буде відбуватися навколо цієї осі, то момент імпульсу гіроскопа збігається за напрямом з віссю обертання і тому таке обертання стійке і вісь обертання зберігає незмінним свій напрям в разі будь-якого переміщення(зміщення) підставки чи іншого пересування даного приладу. Для зміни напряму осі гіроскопа відносно нерухомої системи координат необхідно, щоб на нього діяв момент зовнішніх сил. В такому разі спостерігається явище, що називається гіроскопічним ефектом.
Розглянемо цей ефект на прикладі гіроскопа:
Рис. 6
Надамо гіроскопу обертання у вертикальній площині. Дану вісь розташуємо горизонтально. Момент імпульсу:,направлена по осі стержня.
Момент імпульсу дуже малий і направлений вздовж осі вовчка. Підвісимо на вісь деяке тіло масою m. Оскільки момент сили і колінеарний йому вектор приросту моменту імпульсу dL розташований в горизонтальній площині, то гіроскоп буде обертатися в горизонтальній площині навколо вертикальної осі. В разі нового положення осі вовчка, вісь вовчка знову повернеться. Рух, який виникне – прецесійний рух. Вісь прецесії – це вертикальна вісь, що перпендикулярна напряму зовнішньої сили.
Прецесійний рух має властивості: він практично безінерційний. Прецесія миттєво зупиняється, коли зникає , тобто відключається дія моменту сили. Це пов’язано з тим, що момент зовнішніх сил створює кутове прискорення осі гіроскопа. Коли момент сили стає таким, що дорівнює нулю, то кутове прискорення дорівнює нулю, вектор кутової швидкості перестає змінювати свій напрям і вісь вовчка не буде повертатися.
Розглянемо рух гіроскопа в нашому випадку, коли його вісь закріплена в точці O, яка не збігається з центром мас. При цьому гіроскоп перебуває під дією сили тяжіння.
Рис. 7
Момент сили направлений перпендикулярно до осі гіроскопа. В результаті вісь гіроскопа буде обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через нерухому т.О, описуючи конус. Припустимо, що момент імпульсу вовчка направлений вздовж його осі(коли ). Сила тяжіннястворює момент, напрям якого перпендикулярний до вертикальної площини, що проходить через вісь вовчка. Визначимо кутову швидкість прецесії:
Момент сили дорівнює добутку радіус-вектора на силу. Радіус-вектор дорівнює , тоді:
. (4)
Таким чином, кутова швидкість прецесії не залежить від кута нахилу вовчка і чим більша кутова швидкість обертання, тим менша швидкість прецесії.
Якщо розділити ліву і праву частини рівняння, отримаємо:
. (5)
В даному рівнянні величина mgr пропорційна потенціальній енергії гіроскопа в полі тяжіння, а - кінетична енергія обертального руху гіроскопа. Умоваозначає, що потенціальна енергія в полі тяжіння дуже мала порівняно з його кінетичною енергією обертання.
Гіроскопи використовуються в приладах, що зазначають напрям або автоматично ліквідують відхилення від заданого напряму.
Лекція 7