7.1. Классический метод расчета переходных процессов

Согласно классическому методу:

полное решение (интеграл) линейного неоднородного диф. уравнения равно сумме частного решения исходного диф. уравнения и общего решения этого уравнения при равенстве нулю правой части (однородного диф. уравнения):

.

Частное решение (одно из решений, удовлетворяющее исходному неоднородному диф. уравнению) определяют путем расчета установившегося режима в послекоммутационной схеме. Эта составляющая переходного тока (напряжения) называется принужденной:

.

Общее решение диф. уравнения без правой части (без источников э.д.с., тока) определяет свободную составляющую переходного тока (напряжения).

Из курса математики известно, что решение однородного линейного диф. уравнения вида

представляет собой сумму экспонент

,

где p_k– показатели затухания, определяемые как корни характеристического уравнения, полученного из исходного путем замены

; ; ... ; ;

и получения линейного алгебраического уравнения n-ого порядка

;

A_k– постоянные интегрирования, определяемые по значениям искомой функции и ее производных в момент коммутации (начальные условия).

Начальные условия определяем с помощью законов коммутации.

Действительно: .

При :

;.

Тогда составляем систему из nалгебраических уравнений и находимA_k:

.

7.2.1. Подключение катушки индуктивности к источнику постоянного напряжения

1. На основании законов Кирхгофа для мгновенных значений и с учетом, что или () составляем диф. уравнение для послекоммутационной схемы:

.

2. Записываем искомое решение: .

3. Находим (при;– подставляем в исходное диф. уравнение и получаем):

.

4. Находим показатели затухания p_k. Характеристическое уравнение:

.

5. ,

где p– показатель затухания,;

A– постоянная интегрирования, А.

Таким образом: .

Характеристическое уравнение для определения pчасто составляют более простым путём. С этой целью составляют выражение для входного сопротивления цепи на переменном токе [Z(j)], а затем заменяют в немjна p и приравниваютZ(p) нулю:

. Тогда.

Важнейшая характеристика переходного процесса – постоянная времени:

.

6. Определяем постоянную интегрирования.

6.1.

При :

.

6.2.

На основании 1-го закона (правила) коммутации: .

6.3. Следовательно .

7. Определяем искомую функцию:

Определяем :

;

;

.

За время величинаiуменьшится вeраз:

t	0	τ	2 τ	3 τ	4 τ	5 τ
1–exp(-t/τ)	0	0,632	0,865	0,95	0,982	0,993
exp(-t/τ)	1	0,308	0,135	0,05	0,018	0,007

Примечание

1. Длительность переходного процесса характеризуется 

Переходный процесс практически завершается через t= (35).

2. Длительность переходного процесса определяется только параметрами цепи (R, L, C)

Пример:

U=10 В; R=10 Ом; L=0,01 Гн

;

; .

Время, через которое закончится переходный процесс:t_пер = 5 мс.

7.2.2. Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения

1. Диф. уравнение: .

2. Искомая величина: .

3. Принужденная составляющая: , т.к..

4.Характеристическое уравнение: ;

постоянная времени.

5.Свободная составляющая: ;.

6. .

По 1-ому закону коммутации: .

7. Искомая функция:

;

;

.

Примечание

При отключении катушки индуктивности от источника питания на ее зажимах возникает напряжение, определяемое соотношением:

.

В частности, при отключении катушек индуктивности без шунтирующего сопротивления перенапряжения на зажимах катушек могут достичь опасных величин.

;

.