Зависимость между магнитным потоком и векторным потенциалом

По определению магнитный поток равен:

Используя соотношение

получаем:

Преобразовав этот интеграл по теореме Стокса, получим:

Магнитный поток сквозь поверхность S равен циркуляции векторного потенциала вдоль кривой L, ограничивающей эту поверхность.Итак, для определения магнитного потока, пронизывающего площадкуS, вычисляется циркуляция векторного потенциала по контуруL,ограничивающему поверхностьS. Формулой удобно пользоваться тогда, когда известно значениеАна контуреL.

Граничные условия в магнитном поле

На границе двух сред векторы магнитного поля ВиНдолжны удовлетворять определенным условиям, которые называются граничными.

Рассмотрим замкнутую цилиндрическую поверхность S. Площадки ΔSнебольшие, и поэтому можно считать, что векторВимеет одинаковые значения во всех точках данной площадки. Поток вектораВчерез всю поверхностьSравен нулю, так как поверхность замкнутая. С другой стороны, поток может быть разбит на три части: Ф₁— поток сквозь верхнюю площадку; Ф₂— поток сквозь нижнюю площадку и Ф_б— поток сквозь боковую поверхность цилиндра, причем сумма этих потоков должна равняться нулю

.

Так как

то

Если высоту цилиндра уменьшить так, чтобы верхняя и нижняя площадки ΔSсовпали с граничной поверхностью, то поток сквозь боковую поверхность обратится в нуль, и тогда

В_1п=В_2п.

Следовательно, нормальная составляющая вектора маг­нитной индукции на границе двух сред непрерывна.Это первое граничное условие. Так как,то

т. е. нормальные составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе двух сред обратно пропорциональны магнитным проницаемостям этих сред.

Чтобы получить второе граничное условие, составим циркуляцию вектора Нвдоль кривойL. По закону полного тока

Циркуляцию по контуру можно представить в виде суммы трех интегралов, взятых: по верхнему участку Δl, по нижнему участку длиной Δlи по боковым участкам. Если Δlмало и направление обхода контура совпадает с направлением движения часовой стрелки, то можно за­писать:

Уменьшая длину боковых сторон так, чтобы участки Δl совпадали с граничной поверхностью, получаем:

Если по граничной поверхности течет конечной вели­чины ток с поверхностной плотностью ,то полный ток равен:

Следовательно,

На границе двух сред касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля претерпевает скачок, равный плотности поверхностного тока, протекающего по границе.Если η = 0, т. е. по граничной поверхности ток не протекает, тоН_1τ=Н_2τ,т. е. касательная составляющая вектораНнепрерывна на границе двух сред.

Так как

то

На рисунке изображена одна из линий вектора Ву границы двух сред с проницаемостью μ₁и μ₂. Нетрудно получить соотношение

или

Соотношение это представляет собой закон преломле­ния линий вектора В на границе двух сред.

Энергия магнитного поля

Энергию магнитного поля линейного контура с током можно подсчитать по формуле (ТОЭ, ч. I, гл. 1)

или в случае одного витка

где ψ — магнитное потокосцепление; Ф — магнитный поток.

Чтобы определить, каким образом энергия распределяется в объеме, занятом полем, преобразуем написанное выражение. Площадь S,ограниченную контуром, разобьем на элементарные площадкиdS. Магнитный поток сквозь каждую площадку равен:

Весь поток, сцепленный с контуром, получится при интегрировании элементарных потоков сквозь площадь S

Построим на контурах, ограничивающих площадки dS, силовые трубки. Так как в магнитном поле линии вектораВвсегда замкнуты, то силовые трубки получатся замкнутыми. Они заполнят весь объемV,занятый магнитным полем. Если обозначить ось трубкиL,то циркуляция вектораНвдоль оси любой трубки будет равна току контура

Энергия, заключенная в объеме каждой трубки,

Так как магнитный поток dФ в пределах одной трубки неизменен, то он не зависит от переменнойdlи может быть внесен под знак интеграла как постоянная величина

Энергия, заключенная во всех трубках, равна энергии магнитного поля

Таким образом мы получили новое выражение для энергии магнитного поля контура с током

Эта формула справедлива и в случае нескольких контуров с током. Она позволяет определить энергию магнитного поля в самом общем случае. Энергию магнитного поля можно записать и таким образом, чтобы в выражение вошли векторный потенциал А и плотность тока δ. Так как В =rotА, то

Пользуясь выражением

можно записать:

Преобразовав первый интеграл по теореме Остроград­ского, получим:

где S— замкнутая поверхность, ограничивающая объемV.

Так как магнитное поле занимает неограниченный объем, то Sможно представить себе как шаровую поверхность бесконечно большого радиусаR.Вектор[АН]убывает в функции расстояния не медленнее1/R³,тогда как поверхность растет не быстрееR².

Следовательно, при R→∞

Тогда, записав по первому уравнению Максвелла вместо rotH плотность тока δ, получим:

причем интегрирование распространяется только на область V,занятую токами. Вне этой области δ = 0 и величина интеграла не изменится.