2. Расчет индуктивности, взаимной индуктивности простейших устройств

Расчет магнитного поля чаще всего сводится к определению вектора напряженности Н. Величины токов и положения проводников, по которым эти токи протекают, должны быть заданы. Если рассматривается поле в неферромагнитной среде, можно считать, что

гн/м.

Если непосредственное определение напряженности маг­нитного поля Нсвязано с большими математическими труд­ностями, удобно вводить векторный потенциал. Определив векторный потенциал, можно легко найти напряженность поля.

При расчете магнитных полей могут быть применены следующие методы:

метод наложения; применение закона полного тока в интегральной форме; применение первого уравненияМаксвелла; применение уравнений Пуассона и Лапласа для векторного потенциала; метод зеркальных изображений; метод конформных преобразований; графический метод расчета и ряд других методов. Ниже на ряде конкретных примеров будут рассмотрены некоторые из перечисленных выше методов.

Расчет магнитного поля одиночного провода

По прямому цилиндрическому проводу круглого сечения протекает ток I. Радиус проводаа.Требуется определить напряженности магнитного поля внутри и вне провода, считая его уединенным и бесконечно длинным.

В силу симметрии линии вектора Нявляются окружностями, плоскости которых перпендикулярны оси провода. Центры этих окружностей лежат на оси цилиндра. На одинаковых расстояниях от оси цилиндра численное значение вектораНодно и то же

Рассмотрим линию вектора Нвнутри провода. ЦиркуляцияН_вн по этой линии равна охваченному току

Так как Н_внвдоль контура интегрирования имеет одинаковое чис­ленное значение и направлена по касательной к линииL, то

Приравняв циркуляцию и полный ток, получим:

На поверхности проводника напряженность поля имеет наибольшее значение.

Если контур интегрирования Lпровести вдоль линии вектораНвне провода, циркуляцияН_вшравна току в проводе:

Следовательно,

На границе

На рисунке показана кривая

Определим векторный потенциал А. Направление векторного потенциала совпадает с направлением вектора плотности тока. Следовательно, для прямого проводника с током вектор А направлен параллельно оси провода. Если осьz цилиндрической системы координат совме­стить с осью провода, то векторыАиНбудут иметь по одной про­екцииА=A_z, Н =H_ф, которые зависят от координатыz.Так как по определению векторного потенциала

то в рассматриваемом случае

Внутри провода

Если принять А_вн =0 приz=a,постоянная интегрирования равна:

Поэтому

Вне провода

Так как векторный потенциал непрерывен, то при А_вн ==A_вш. Постоянная интегрирования в выражении А_вшравна:

Следовательно,

Линии вектора Нопределяются равенством. Вдоль них векторный потенциал постоянен. Это положение справедливо для любого плоскопараллельного магнитного поля.

Магнитный поток внутри провода на участке длиной I

Следовательно,

Чтобы подсчитать потокосцепление ψ_вн, найдем часть токаI, с которым сцеплен потокdФ_вн, пронизывающий площадкуdS=I dr. Эта часть тока будет относиться к токуI, как πr²относится к πа².

Искомое потокосцепление определяется из выражения

Так как , то. Следовательно, потокосцепление в рассматриваемом случае в 2 раза меньше потока.

Зная потокосцепление, можно найти внутреннюю индуктивность одиночного провода

Как видно из формулы, L_BHне зависит от радиуса провода. Внешний поток и потокосцепление будут равны. Внешняя индуктивность одиночного провода будет равна бесконечности, так как обратный провод бесконечно удален от рассматриваемого.

Энергию магнитного поля в объеме можно подсчитать по двум формулам:

или

В обоих случаях она равна: