Билет 1.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны и являются острыми;

2. Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

Определение: Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство: Пусть Δ – равнобедренный, с основанием , и – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках и углы и равны, как углы при основании равнобедренного, стороны и равны по определению равнобедренного треугольника, стороны и равны, потому что – середина отрезка . Отсюда получаем, что Δ Δ.

Билет 2.

Геометрическое место точек – это множество всех точек, удовлетворяющих определенным заданным условиям.

1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

2. Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.

3. Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра.

Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек

Определение: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Доказательство: Пусть к — данные точки, — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему. Любая точка прямой находится на одинаковом расстоянии от точек и , следует из равенства треугольников и . У этих треугольников углы при вершине прямые, сторона общая, а , так как — середина отрезка .

Билет 3.

Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними углами треугольника.

Сумма внешних углов многоугольника всегда равна .

Теорема о внешнем угле треугольника

Определение: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: Пусть Δ – данный треугольник. Из теоремы о сумме углов треугольника, . Но — величина внешнего угла при вершине , значит, внешний угол равен .

Билет 4.

Прямые, на всем своем протяжении не имеющие точек пересечения, называются параллельными.

Признаки параллельности прямых

1. Две прямые, параллельные третьей параллельны.

2. Если внутренние накрест лежащие* углы равны, то прямые параллельны.

3. Если сумма внутренних односторонних* углов равна 180°, то прямые параллельны.

4. Если соответственные* углы равны, то прямые параллельны.

*см. Билет 7.

Билет 5.

Соотношения между прямыми и отрезками окружности

1. Произведение отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

2. Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки равны.

   

   

   

   

   

3. Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки:

   

   

   

4. Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны:

Билет 6.

I

Первый признак равенства треугольников

Определение: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ, у которого , и . Так как , то Δ можно наложить на Δ так, что вершина совместится с вершиной , а стороны и наложатся соответственно на лучи и . Поскольку , , то точка совместится с точкой , а точка – с точкой . Итак, Δ и Δ равны.

II