- •Билет 1.
- •Свойства равнобедренного треугольника
- •Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника
- •Билет 2.
- •Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек
- •Второй признак равенства треугольников
- •Третий признак равенства треугольников III
- •Билет 7.
- •Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Рис.7.1
- •Билет 18.
- •Свойства параллелограмма
- •Билет 21. Теорема Менелая
- •Билет 22. Средняя линия треугольника
- •Второй признак подобия треугольников
- •Вывод формулы площади параллелограмма
- •Билет 34.
- •Вывод формулы площади трапеции
- •Теорема о четырех точках трапеции
- •Билет 38.
- •Свойства окружности Апполония
- •Билет 39. Теорема Чевы
Второй признак равенства треугольников
Определение: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ, где , и . Треугольники подобны по двум углам (, ). Более того, их коэффициент подобия , следовательно, они равны.
Третий признак равенства треугольников III
Определение: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ такие, что , , а . Они подобны по третьему признаку подобия треугольников**. Так как стороны не только пропорциональны, но и равны, то коэффициент подобия . Следовательно, Δ и Δ равны.
** см. Билет 31.
Билет 7.
На чертеже:
– накрест лежащие;
– односторонние;
– соответственные.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Рис.7.1
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство: Пусть , и секущая , пересекающая их, образует накрест лежащие углы и . Проведем перпендикуляр из точки к прямой и из точки к прямой . Данные треугольники будут равны по углу и двум сторонам (общ.), отсюда .
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Доказательство: Обратимся к рис.7.1. Докажем, что соответственные углы, к примеру, равны. Так как углы – вертикальные, то . Углы равны как накрест лежащие, следовательно,.
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, сумма односторонних углов равна .
Доказательство: Обратимся к рис.7.1. Докажем, что сумма односторонних углов, к примеру, равна . Углы равны как накрест лежащие. Углы смежные, поэтому их сумма равна . Но , следовательно, , что и требовалось доказать.
Билет 8.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Площадь круга:
Площадь кругового сектора
Так как площадь круга равна , то площадь кругового сектора ограниченного дугой в равна . Отсюда площадь сектора, ограниченного дугой в градусов: .
Билет 9.
Нахождение значений , и
Пусть – равнобедренный прямоугольный треугольник.
Выразим гипотенузу через катеты по теореме Пифагора:
.
Т. к. синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, то:
Аналогично, .
Билет 10.
Вывод формулы площади треугольника
За основу возьмем формулу площади треугольника *.
Так как синус по определению – это отношение противолежащего
катета к гипотенузе, то . Отсюда, .
Подставив в исходную формулу, получаем:
иными словами, , что и требовалось доказать.
*см. Билет 32.
Билет 11.
Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу
(по теореме о сумме углов треугольника**)
** см. Билет 15.
Билет 12.
Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника
Определение: Сумма углов n-угольника равна
Доказательство: Пусть — данный выпуклый многоугольник, и . Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам диагонали: . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на треугольника: ΔΔΔ. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть . Следовательно, сумма углов n-угольника равна . Теорема доказана.
Билет 13.
Деление отрезка на равных частей
Пусть
– данный отрезок. Проведем из точки
луч
,
не содержащий отрезок
.
Отложим от точки
на построенном луче равные отрезки:
, .
Соединим точки
и
.
Проведем через точки
,
прямые, параллельные* прямой
.
Они пересекают отрезок
в точках
, .
Отрезки
,
– искомые отрезки.
* см. Билет 45.
Билет 14.
Зависимость между стороной правильного n-угольника и радиусом описанной и вписанной окружности
Рассмотрим рис.14.1. В прямоугольном треугольнике Δ где – величина угла правильного n-угольника. Эту величину можно найти по формуле (следствие из теоремы о сумме углов многоугольника**). Отсюда . Тогда сторона ; а . Из последней формулы выразим . Подставим вместо получившееся выражение: .
Рис.14.1
Рассмотрим несколько частных случаев:
Для равностороннего треугольника:
Для квадрата:
Для правильного шестиугольника:
** см. Билет 12.
Билет 15.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Теорема о сумме углов треугольника
Определение: Сумма углов треугольника равна .
Доказательство: Рассмотрим рис.15.1. Углы и равны как накрест лежащие. Аналогично, . Но углы , и образуют развернутый угол, следовательно, их сумма равна . тогда сумма соответствующих углов треугольника также равна , ч. т. д.
Рис.15.1
Билет 16.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
См. Билет 6.
Примечание: при доказательстве признаков равенства прямоугольных треугольников следует принимать во внимание, что один прямой угол у них итак равен.
Билет 17.
Признаки параллелограмма
-
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: Пусть – данный четырехугольник, – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. ΔΔ по первому признаку равенства треугольников (по условию теоремы, , как вертикальные углы). Следовательно, . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По признаку параллельности прямых прямые и параллельны. Так же доказываем, что и тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.
-
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: Пусть – данный четырехугольник. и . Тогда ΔΔ по первому признаку равенства треугольников (, как внутренние накрест лежащие между прямыми и и секущей , по условию, – общая). Следовательно, , а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По теореме признаке параллельности прямых и параллельны. Значит, – параллелограмм. Теорема доказана.
-
Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: Пусть дан четырехугольник . и. Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников и . По теореме о сумме углов треугольника, получаем: . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то и . Углы и являются внутренними односторонними для прямых и и секущей , их сумма равна , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые и параллельны. Так же доказывается, что . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм по определению. Теорема доказана.