- •Билет 1.
- •Свойства равнобедренного треугольника
- •Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника
- •Билет 2.
- •Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек
- •Второй признак равенства треугольников
- •Третий признак равенства треугольников III
- •Билет 7.
- •Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Рис.7.1
- •Билет 18.
- •Свойства параллелограмма
- •Билет 21. Теорема Менелая
- •Билет 22. Средняя линия треугольника
- •Второй признак подобия треугольников
- •Вывод формулы площади параллелограмма
- •Билет 34.
- •Вывод формулы площади трапеции
- •Теорема о четырех точках трапеции
- •Билет 38.
- •Свойства окружности Апполония
- •Билет 39. Теорема Чевы
Билет 38.
Окружность Аполлония –геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек – величина постоянная.
Пусть на плоскости даны две точки и . Рассмотрим все точки этой плоскости, до каждой из которых . При эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ; в остальных случаях указанное геометрическое место – окружность, называемая окружностью Аполлония.
Свойства окружности Апполония
-
Радиус окружности Апполония равен .
-
Отрезок между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним.
Билет 39. Теорема Чевы
Определение: В произвольном треугольнике на сторонах , , взяты соответственно точки , , , тогда выполняются следующие два равносильных утверждения:
а) прямые , , пересекаются в некоторой точке треугольника ;
б) (Условие Чевы)
Доказательство: Доказать теорему Чевы проще всего, заменив отношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей:
Следовательно,
Точно так же получим, что
Теперь осталось только перемножить эти три равенства:
.
Обратная теорема Чевы
Пусть и пересекаются в точке . Пусть прямая пересекает сторону треугольника в точке . Для точек , , выполняется условие Чевы.
Билет 40.
Построение касательной к окружности
Касательную из точки к окружности можно провести следующим образом:
1. На отрезке как на диаметре строят окружность радиуса ;
2. Точки и пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;
3. Отрезки и определяют положение касательных и проведенных из точки к окружности.
Билет 41.
Выражение координат середины отрезка через координаты его концов
Билет 42.
Радиус вписанной в треугольник и описанной вокруг него окружности
Исходя из формулы получаем .
Радиус описанной окружности *
*Примечание: к сожалению, эксперты Волшебной Формулы не смогли найти доказательство данной теоремы.
Билет 43.
Вывод формулы окружности
Выведем формулу окружностью с радиусом и центром . Расстояние от точки до произвольной точки всегда можно найти по формуле . Если лежит на данной окружности, то , или . Отсюда . В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имело бы вид .
Билет 44.
Правильный многоугольник – такой многоугольник, стороны которого равны.
Построение квадрата
Построим на плоскости окружность и проведем ее диаметр. Затем построим другой диаметр, перпендикулярный** предыдущему. Соединив точки пересечения диаметра, мы получаем квадрат. Для того чтобы получить квадрат со стороной , нужно строить окружность с диаметром .
** см. Билет 28.
Схема построения квадрата:
Построение правильного шестиугольника со стороной
Построим окружность с радиусом . Затем, возьмем любую точку лежащую на данной окружности, и построим другую окружность того же радиуса с центром в этой точке. Затем построим другую окружность того же радиуса в центре с точкой пересечения предыдущей окружности с первой окружностью. Подобно тому, как мы строили эту окружность, построим еще три таких же. Соединив точки пересечения получившихся окружностей с исходной, получаем правильный шестиугольник.
Схема построения правильного шестиугольника:
Билет 45.
Построение прямой, параллельной данной
Задача: Даны прямая , и точка такая, что . Построить прямую, параллельную прямой , и проходящую через точку .
Решение: Построим перпендикуляр* из точки к прямой . Затем отложим другой перпендикуляр к , и отметим на нем отрезок , равный , причем . Тогда прямая, проведенная через точки будет параллельна .
* см. Билет 28.
Билет 46.
Способ 1) см. Билет 13.
Способ 2) Проведем из концов отрезка две окружности одинакового радиуса, как показано на рис.46.1. Прямая, проходящая через общие точки этих окружностей и рассекает данный отрезок равно напополам.
Рис.46.1
Билет 47.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны.
Два угла с общей вершиной, одна из сторон которых – общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой, называются смежными. Сумма смежных углов равна .
Билет 48.
Описанный четырехугольник – это четырехугольник, в который вписана окружность.
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .