- •Билет 1.
- •Свойства равнобедренного треугольника
- •Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника
- •Билет 2.
- •Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек
- •Второй признак равенства треугольников
- •Третий признак равенства треугольников III
- •Билет 7.
- •Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Рис.7.1
- •Билет 18.
- •Свойства параллелограмма
- •Билет 21. Теорема Менелая
- •Билет 22. Средняя линия треугольника
- •Второй признак подобия треугольников
- •Вывод формулы площади параллелограмма
- •Билет 34.
- •Вывод формулы площади трапеции
- •Теорема о четырех точках трапеции
- •Билет 38.
- •Свойства окружности Апполония
- •Билет 39. Теорема Чевы
Билет 18.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
-
В параллелограмме противоположные стороны равны. Доказательство: Пусть – параллелограмм. Диагональ делит его на два треугольника: Δи Δ. Эти треугольники равны по стороне и двум углам ( – общая, , – как накрест лежащие). Отсюда, . Теорема доказана.
-
В параллелограмме противоположные углы равны. Доказательство: аналогично свойству I.
-
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство: Пусть – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Δ Δ по стороне и двум углам ( как вертикал., , как накрест лежащие). Отсюда , , ч. т. д.
Билет 19.
Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
Особое свойство прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны. Доказательство: Рассмотрим прямоугольник . Δ Δ по двум катетам. Отсюда диагонали Обратное утверждение (признак): Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Билет 20.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Особое свойство ромба
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам. Доказательство: Рассмотрим ромб , требуется доказать, что , и что диагонали ромба делят его углы пополам. Докажем, например, что . Т. к. , то Δ – равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то точкой пресечения его диагонали делятся пополам, значит – медиана равнобедренного треугольника , а значит его биссектриса и высота. Поэтому и .
Билет 21. Теорема Менелая
Определение: Если точки ,, лежат соответственно на сторонах , и треугольника Δ или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .
Доказательство: Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку Δ подобен Δ (по двум углам), тогда . Так как подобными так же являются Δ и Δ, то . Выразив из второй формулы и подставив в первую, получаем: . Остается заметить, что возможны два расположения точек , и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем: , что и требовалось доказать.
Билет 22. Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Обладает следующими свойствами:
-
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
-
При проведении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5.
-
Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.
Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Обладает следующими свойствами:
-
средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;
-
середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
Билет 23.
Расстояние между двумя точками на плоскости
Определение:
Доказательство:
Расстояние между началом координат и заданной точкой:
Билет 24.
Окружностью называется геометрическое место точек,
равноудаленных от заданной.
Длина окружности:
Длина дуги окружности
Так как длина окружности равна , то длина дуги в равна . Отсюда дуги в градусов: .
Билет 25.
Построение треугольника по трем элементам
Задача: Построить треугольник с данными сторонами
Решение: Проведем луч и на нем отложим отрезок , равный . Раствором циркуля, равным , проведем дугу с центром в точке . Далее раствором циркуля, равным , проведем вторую дугу с центром в точке . Пусть – точка пересечения этих дуг. Соединив точку с точками и получим треугольник . Это и есть искомый треугольник, так как стороны равны данным отрезкам: . Задача: Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Решение: Пусть даны отрезки , и угол . Построим угол , равный углу . С помощью циркуля на сторонах угла отложим отрезок , равный , и отрезок , равный . Соединив точки , получим искомый треугольник .
Задача: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.
Решение: Пусть даны два угла с вершинами , и отрезок . Проведем прямую и на ней отложим отрезок , равный отрезку . На одной из полуплоскостей построим два угла. Один из этих углов равен углу и сторона угла сонаправлена с лучом , и соответственно второй угол равен углу и сторона угла сонаправлена с лучом . Вторые стороны этих углов пересекаются в точке . Полученный треугольник – искомый треугольник.
Билет 26.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
-
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
-
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
-
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Построение биссектрисы угла
Из вершины данного угла, как из центра, опишем окружность произвольного радиуса. Пусть и – точки пересечения ее со сторонами угла. Построим еще две окружности с тем же радиусом с центрами в и . Пусть – точка их пересечения. Тогда – искомая биссектриса угла .
Билет 27.
Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным его гипотенузы и другого катета
Билет 28.
Построение прямой проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в данной точке . Пусть и – точки пересечения этой окружности данной прямой . Из точек и радиусом проведем окружность, точку пересечения этих двух окружностей обозначим через . Проведем прямую . Перпендикулярность прямых и следует из равенства треугольников и .
Билет 29.
Четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным.
Свойства вписанного четырехугольника
-
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
-
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
-
Площадь вписанного четырехугольника со сторонами можно вычислить по формулам: , где – полупериметр, – радиус окружности.
-
Диагонали вписанного четырехугольника равны:
Билет 30.
Построение окружности вписанной в треугольник
Построим биссектрисы хотя бы двух углов треугольника*. Из точки пересечения биссектрис проведем перпендикуляр** к любой из сторон треугольника. Тогда центр вписанной окружности будет лежать в точке пересечения биссектрис , а радиус этой окружности будет равен расстоянию от этой точки к стороне треугольника, то есть .
* см. Билет 26. ** см. Билет 28.
Построение окружности описанной вокруг треугольника
Найдем середины хотя бы двух сторон треугольника***. Из точек, являющихся серединами этих сторон, проведем перпендикуляры**. Точка пересечения серединных перпендикуляров будет являться центром описанной окружности. Радиусом будет являться расстояние от этой точки до любой из вершин треугольника.
*** см. Билет 46.
Билет 31.
III
II
I
Подобные треугольники – треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.
Первый признак подобия треугольников
Определение: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
Доказательство: Допустим, даны Δ и Δ такие, что . по теореме о сумме углов треугольника. Теперь найдем площадь первого треугольника: . Площадь второго треугольника можно найти по формуле . Но , значит и . Тогда: . Аналогично, Отсюда, , значит, треугольники подобны.