- •Числові методи в інформатиці
- •Постановка задачі інтерполювання. Обчислення значень многочлена Лагранжа. Схема Ейткена.
- •Застосування
- •Побудова таблиці розділених різниць. Обчислення значень інтерполяційного полінома Ньютона. Інтерполяційний поліном Ньютона
- •Ітераційні методи уточнення коренів нелінійних рівнянь.
- •Метод поділу проміжку навпіл (половинного ділення).
- •Значення задається в межах 10 –410 –6.
- •Метод хорд (метод помилкового положення, метод пропорційних частин)
- •Метод січних Якщо знаходження f’(X) коштує дорогого, або неможливе, метод січних є кращим вибором, ніж метод Ньютона.
- •Абсциси точок а1а2; в1в2… – преставляють собою відповідно послідовне наближення кореня х*.
- •Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Множина розв'язків
- •Методи розв'язання
- •Метод послідовного виключення
- •Точні методи
- •Ітераційні методи
- •Постановка задачі числового інтегрування. Інтерполяційні формули.
- •Постановка задачі наближеного інтегрування функцій
Ітераційні методи
Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов збіжності вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням ітерацій. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щоб знайти нерухому точку матричного рівняння:
,
еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у методі Якобі на наближення, знайдене на попередньому кроці:
.
Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці , що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конктретного метода.
Серед ітераційних методів можна відзначити найпопулярніші:
-
Метод Якобі
-
Метод Зейделя
-
Постановка задачі числового інтегрування. Інтерполяційні формули.
Інтерполяційні формули, формули, що дають наближене вираження функції в = f ( x ) за допомогою інтерполяції, тобто через інтерполяційний многочлен Р n ( х ) міри n , значення якого в заданих точках x 0 , x 1 ..., х n збігаються з значеннями в 0 , в1 ..., у n функції f в цих крапках. Многочлен Р n ( х ) визначається єдиним чином, але залежно від завдання його зручно записувати різними по вигляду формулами.
Постановка задачі наближеного інтегрування функцій
Важливе значення на практиці мають числові методи обчислення інтегралів функцій
.
Задача числового інтегрування функцій полягає в обчисленні значення визначеного інтеграла на підставі ряду значень підінтегральної функції.
Формули для обчислення однократного інтеграла називаються квадратурними, а подвійного інтеграла – кубатурними.
Для визначеного інтеграла , де – неперервна на відрізку , наближена рівність
, (51)
де – деякі числа, – точки відрізку , називається квадратурною формулою, що визначається вагами та вузлами .
Кажуть, що квадратурна формула є точною для багаточленів степеня , якщо при заміні на довільний алгебраїчний багаточлен степеня наближена рівність (51) стає точною.
Звичайний шлях у числовому інтегруванні полягає в тому, що задану функцію на відрізку замінюють інтерполяційною або апроксимуючою функцією простого вигляду (наприклад, поліномом), а потім наближено припускають:
.
Функція має бути такою, щоб інтеграл обчислювався безпосередньо.
Теорема (узагальнена теорема про середнє).
Нехай , причому , . Тоді існує така точка , що .
Доведення. Позначимо , .
Тоді, оскільки , справедлива подвійна нерівність: , ,
і, отже, .
Звідси, оскільки , , слідує існування такого числа с, що задовольняє подвійній нерівності: , для якого справедливо:
Оскільки – неперервна функція, то знайдеться така точка , в якій , що задовольняє умові теореми.
Теорему доведено.
Нехай для функції відомі значення , у ()-й точках відрізка .
Потрібно наближено знайти .
За даними значеннями функції у вузлах можна побудувати інтерполяційний багаточлен, наприклад, Лагранжа:
,
причому .
Замінюючи функцію багаточленом , отримаємо рівність:
, (52)
де – похибка квадратурної формули (52) або остаточний член.
Звідси, скориставшись виразом для багаточлена Лагранжа, отримаємо наближену квадратурну формулу:
, (53)
де , .
Якщо границі інтегрування та є вузлами інтерполяції, то квадратурна формула (53) називається квадратурною формулою „замкненого типу”, в іншому випадку – „відкритого типу”.
Для обчислення коефіцієнтів зазначимо, що:
1) коефіцієнти при даному розташуванні вузлів не залежать від вибору функції ;
2) для функції , що є багаточленом степеня від , формула (53) є точною, оскільки .
Покладаючи у формулі (53), отримаємо лінійну систему з -го рівняння:
де ,
з якої можна обчислити коефіцієнти .
Зазначимо, що при використанні цього методу не треба фактично будувати багаточлен Лагранжа.