ЛЕКЦИИ ПО ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ
1 Ортогональные преобразования системы координат.
Рассматривая вопрос об инвариантности математических объектов относительно преобразований систем координат, ограничимся практически важным случаем ортогональных преобразований.
Определение. Ортогональными преобразованиями (ОП) системы координат называются преобразования оставляющие без изменения квадрат длины вектора, то есть квадрат расстояния между двумя точками пространства.
Примерами таких преобразований могут служить: параллельный перенос системы координат (трансляция); вращение; отражение координатных осей (инверсия).
В дальнейшем ОПСК
будем описывать матрицей
Матрица
является ортогональной.
Напомним , что матрица А
называется ортогональной , если
транспонированная матрица
и матрица
,
обратная матрице
А , равны:
Покажем ,что определитель
ортогональной
матрицы, в частности матрицы
,
может принимать только два значения
Действительно
где
единичная
матрица. Вычисляя определители обоих
частей записанного равенства, получаем
Отсюда
Отмеченное обстоятельство позволяет разделить все ОП на две группы:
- непрерывные
ортогональные преобразования (НОП).
К ним относятся ОП, определитель матрицы
которых
.
НОП оставляют правую систему координат
правой, а левую - левой. Примерами таких
преобразований могут служить трансляции
и вращения.
- дискретные
ортогональные преобразования (ДОП).
Определитель матрицы этих преобразований
ДОП преобразуют правую систему координат
в левую и наоборот левую в правую.
Простейшим примером такого преобразования
является инверсия координатной оси.
Стремясь максимально упростить поставленную задачу, мы, на начальном этапе, ограничимся изучением вопроса об инвариантности математических объектов только по отношению к НОПСК.
2 Контровариантные и ковариантные компоненты вектора.
Читателю уже
известно, что для математической записи
физических законов используются скаляры
и векторы. Поэтому вопрос об инвариантности
математических объектов при НОПСК
естественно начать с рассмотрения этих
простейших тензорных величин. Если
говорить о скалярных величинах, то их
поведение очевидно. Они, как и должно
быть, инвариантны. Действительно, масса,
электрический заряд, расстояние между
двумя точками и др. не изменяются, если
мы прейдем от одной системы координат
к другой, например повернутой относительно
первой на угол
.
Этот результат мы можем записать так
Здесь
скалярная
величина в новой (штрихованной) системе
координат,
та
же величина в старой (нештрихованной)
системе координат.
Если говорить о векторе, то при переходе к новой СК его модуль и направление останутся прежними, то есть
.
Однако компоненты вектора (проекции вектора на оси СК) изменяются. Что бы выяснить законы, по которым происходят эти изменения, мы сначала познакомимся с понятием компоненты вектора более детально, чем это обычно принято в традиционном курсе векторной алгебры и аналитической геометрии.