3 Тензорные поля

1 Поле тензора ранга r

Пусть некоторая область пространства. Если каждой точке М области G поставлен в соответствие некоторый тензор Т ранга r, то говорят, что в области G задано поле тензора ранга r. При этом предполагается, что компоненты тензора Т являются определенными функциями координат точки М.

В зависимости от ранга тензора образующего тензорное поле рассматривают различные типы полей: скалярные поля, векторные поля, поля тензоров второго ранга и т. д..

Тензоры, ранг которых являются скалярами. В связи с этим поле тензоров нулевого ранга называют скалярным полем. Согласно сказанному выше это означает, что каждой точке М области G поставлено в соответствие некоторое число .

Примером скалярного поля может служить поле температур внутри нагретого тела. В этом случае в каждой точке М этого тела задана соответствующая температура U(M). Наряду с полями, заданными в пространственных областях, часто приходится рассматривать плоские (двумерные) скалярные поля. Примером такого поля может служить освещенность части плоскости, создаваемая каким – либо источником света.

Тензоры первого ранга – векторы – образуют векторные поля. В этом случае каждой точке М области G ставится в соответствие некоторый вектор .

Приведем примеры векторных полей. Пусть область G заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с некоторой скоростью , не зависящей от времени но, вообще говоря, различной в разных точках области G. Поставив в соответствие каждой точке М из области G вектор , мы получим векторное поле, называемое полем скоростей.

Другим примером векторного поля может служить электростатическое поле. В этом случае каждой точке М из области G ставится в соответствие вектор напряженности электрического поля создаваемого системой неподвижных электрических зарядов.

Для задания поля тензора ранга каждой точке М области G необходимо поставить в соответствие тензор второго ранга. Так как тензоры второго ранга имеют матричное представление, то сказанное означает, что каждой точке М из G ставится в соответствие матрица, элементы которой являются функциями координат точки М. Примером поля тензора второго ранга может служить поле тензора напряжений описывающего напряженное состояние тела в точке.

Выше мы неоднократно встречались с метрическим тензором – тензором второго ранга, компоненты которого являются функциями координат точек пространства. Пространство, арифметизированное координатами с определенной метрикой, является полем метрического тензора, то есть полем тензора второго ранга.

В физике наиболее часто встречаются скалярные и векторные поля. Ниже мы рассмотрим эти поля более детально.

2 Скалярное поле

При изучении скалярного поля методами анализа необходимо в первую очередь описать его локальные свойства, то есть изменение величины при переходе от точки к близким к ней точкам. Для решения этой задачи вводится понятие производная по направлению.

Рассмотрим две близкие точки и . Положение точки относительно точки зададим вектором , где длина отрезка , фиксированный единичный вектор. Составим отношение

(1)

и потребуем, чтобы точка приближалась к точке так, что вектор не изменяет своего направления.

Определение. Предел отношения (1)

, (2)

если он существует, называется производной скалярного поля в точке по направлению .

Производная характеризует скорость изменения величины в направлении .

Вычислим производную в декартовой системе координат. В этом случае

, (3)

,

, (4)

где ификсированные углы образованные единичным вектором с соответствующими осями координат.

Производная совпадает с производной по от сложной функции (4) при и равна

. (5)

Выражению (5), позволяющему вычислять производную функции в заданном направлении, можно придать иной вид. Его можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: единичного вектора , заданного выражением (3), и некоторого вектора, имеющего компоненты . Этот вектор называется градиентом скалярного поля и обозначается символом gradU. Таким образом, в декартовой системе координат

gradU = (6)

и, следовательно,

gradU=, (7)

где угол между gradU и вектором .

Из (7) видно, что в каждой точке М области G, в которой , существует единственное направление, определяемое условием , производная по которому имеет наибольшее значение. Это направление совпадает с вектором gradU. Как всякий вектор, вектор gradU характеризуется модулем и направлением. Направление вектора gradU совпадает с направлением наибыстрейшего возрастания величины U , а его модуль равен модулю скорости возрастания величины U в этом направлении.

Очевидно, что ни направление наибыстрейшего возрастания функции, ни величина ее производной в этом направлении не зависят от выбора системы координат. Следовательно, градиент скалярного поля зависит лишь от самого поля, но не от выбора системы координат, то есть является инвариантной характеристикой скалярного поля.

Основные дифференциальные операции теории поля в криволинейных системах координатах

Рассмотрим область G пространства арифметизированного криволинейной системой координат. Тогда положение точки М определяется ее криволинейными координатами , то есть

.

В этом случае, для введения рассмотренных выше основных дифференциальных операций теории поля, удобно исходить из понятия ковариантной производной тензора рассмотренного в параграфе . Такой подход обладает несомненным преимуществом, так как позволяет получить выражения для градиента, дивергенции и ротора в любой системе координат.