1 Градиент скалярного поля

Пусть в каждой точке области G задана скалярная функция , то есть, задано скалярное поле. Как и выше мы предполагаем, что в каждой точке области G функция является непрерывной и имеет непрерывные частные производные первого порядка . Найдем ковариантную производную функции . Из общего выражения для ковариантной производной ( ) следует, что ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра) совпадает с частной производной

(1)

и определяет ковариантные компоненты тензора первого ранга (вектора). Этот вектор и является градиентом скалярного поля, то есть

. (2)

Выражение (2) определяет градиент в локальном базисе криволинейной системы координат.

В локальном физическом базисе с ортами выражение (2) принимает вид

. (3)

В ортогональных системах координат , где коэффициенты Лямэ. Следовательно (3) принимает вид

. (4)

Учитывая полученные ранее выражения для коэффициентов Лямэ, запишем, используя (4), выражение градиента в наиболее часто используемых системах координат:

а) в декартовой системе координат (

(5)

что совпадает с (2.6);

б) в цилиндрической системе координат ( )

; (6)

в) в сферической системе координат ( )

. (7)

2 Дивергенция и ротор векторного поля

Пусть в области G пространства задано поле вектора , контровариантные и ковариантные компоненты которого и их первые производные по координатам являются непрерывными функциями в любой точке области G. Ковариантная производная контровариантных компонент вектора

является смешанным тензором второго ранга. Свертывая этот тензор, найдем его линейный (первый главный) инвариант. Полученная скалярная величина называется дивергенцией вектора и обозначается , то есть

. (1)

Выражение (1) определяет дивергенцию в локальном базисе произвольной криволинейной системы координат. Учитывая дальнейшее изложение, преобразуем его к виду

(2)

где определитель фундаментальной матрицы.

Для этого учтем, что

.

Теперь воспользуемся формулами (*) и (**). Тогда

.

Отсюда получаем

. (3)

Подставив (3) в равенство (1) и переобозначив немые индексы k через i, приходим к выражению (2).

Запишем выражение в трехмерном пространстве в различных системах координат:

а) в декартовой системе координат ()

; (4)

б) в ортогональных криволинейных системах координат (

; (5)

в) в локальном физическом базисе

, (6)

где физическая компонента вектора .

В частности,

г) в цилиндрической системе координат (

; (7)

д) в сферической системе координат (

. (8)

Физический смысл дивергенции будет установлен в .

Введем понятие ротора вектора . Вычислим ковариантную производную ковариантной компоненты вектора

. (9)

Найденное выражение (9) является чисто ковариантным тензором второго ранга. Выполняя альтернирование над этим тензором, получаем антисимметричный тензор

(10)

второго ранга, компоненты которого не зависят от метрики пространства.

В параграфе было показано, что в трехмерном пространстве антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору. Вектор дуальный тензору (10) называется ротором вектора и обозначается . Согласно формуле (…….) его контровариантные компоненты равны

, (11)

а сам вектор

, (12)

где контровариантный псевдотензор Леви -Чивита.

В декартовой системе координат (12) принимает вид

. (13)

В локальном физическом базисе с ортами

, (14)

где символом обозначены компоненты псевдотензора Леви -Чивита в декартовой системе координат.

В цилиндрической и сферической системах координат согласно (14) соответственно имеем:

, (15)

. (16)

Чтобы составить предварительное представление о физическом смысле ротора обратимся к примеру из механики. Рассмотрим в декартовой системе координат тело, вращающееся вокруг неподвижной оси вращения с угловой скоростью . Пусть линейная скорость некоторой точки этого тела. Положив в (13) , получаем

. (17)

Учитывая связь линейной и угловой скоростей

, (18)

где радиус вектор точки М, после подстановки (18) в (17) имеем

.

Следовательно, ротор скорости точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен удвоенному вектору мгновенной угловой скорости тела.

Более подробно физическое содержание ротора будет рассмотрено в параграфе .

Оператор Гамильтона

Однократное действие ковариантного дифференцирования повышает ранг дифференцируемого тензора на единицу, увеличивая на единицу количество свободных ковариантных индексов. Такое повышение ранга имеет место при умножении тензора и вектора заданного своими ковариантными компонентами. В связи с этим бывает удобно рассматривать оператор ковариантного дифференцирования как ковариантные компоненты некоторого символического вектора

. (1)

Этот вектор называется оператором Гамильтона «набла». В декартовой системе координат, где все символы Кристоффеля равны нулю, оператор Гамильтона имеет вид

. (2)

Оператор Гамильтона позволяет записать градиент скалярной функции U, дивергенцию и ротор вектора единым образом, рассматривая их как результаты «умножений» оператора на скаляр или вектор:

, (3)

, (4)

. (5)

Последнее выражение справедливо только в трехмерном пространстве.

Подчеркнем, что для получения определенного результата оператор набла должен быть расположен слева, то есть перед объектом, на который он действует. Если расположен справа, то есть после объекта, то мы получим новый оператор. Например, скалярное умножение вектора на в декартовой системе координат приводит к оператору

. (6)

Следовательно , то есть такое скалярное произведение некоммутативное.

Так как дивергенция и ротор являются соответственно скалярной и векторной функциями вектора, то имеет смысл говорить о ,

, , . Для градиента, векторной функции скалярного аргумента, имеет место операция . В теории поля записанные выражения называются дифференциальными операциями второго порядка. Используя выражения (3) – (5) легко получить результаты этих операций:

, (7)

где оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

; (8)

, (9)

что следует из свойств смешанного произведения векторов;

(10)

как векторное произведение коллинеарных векторов.

Две оставшиеся дифференциальные операции второго порядка выражаются одна через другую

. (11)

Доказательство векторного соотношения (11) проведем индексным методом. Для произвольной компоненты в декартовой системе координат, учитывая свойство ( ) псевдотензора Леви – Чивита, получаем

=.

Опуская в полученном выражении индекс i, приходим к выражению (11).

Аналогично могут быть получены и другие полезные формулы. Например, применяя дифференциальные операции первого порядка к произведению функций , , , получаем:

; (12)

; (13)

; (14)

; (15)

; (16)

. (17)

Вывод формул (12) – (17) предлагаем сделать читателю самостоятельно.

Оператор Лапласа

В формулах (7) и (11) предыдущего параграфа мы столкнулись с оператором Лапласа , который в декартовой системе координат имел вид (8). Уравнения, содержащие этот оператор, встречаются в различных разделах физики: гидродинамике, электродинамике, теории волн и др. Решения этих уравнений далеко не всегда удобно искать в декартовой системе координат. В связи с этим получим выражения оператора Лапласа в криволинейных координатах.

В общих криволинейных координатах лапласиан

, (1)

где символ ковариантной производной.

Так как ковариантные производные скаляра и вектора отличаются наличием слагаемого содержащего символы Кристоффеля, то выражения оператора Лапласа действующего на скалярную и векторную функции отличаются друг от друга. Для их вывода обычно используют упомянутые выше формулы (7) и (11) переписав их в виде

(2)

. (3)

Учитывая (1)см1 и (2)см2, для лапласиана скалярной функции U в общих криволинейных координатах из (2) имеем

. (4)

В ортогональных криволинейных координатах выражение (4) принимает вид

. (5)

В частности, для цилиндрической и сферической систем координат из (5) получаем:

а) в цилиндрической системе координат

(6)

б) в сферической системе координат

. (7)

Из (6) и (7) следует, что оператор , применяемый к скалярной функции в цилиндрической и сферической системах координат соответственно, имеет вид

, (8)

. (9)

Теперь рассмотрим действие оператора Лапласа на векторную функцию . Прежде всего, отметим, что, согласно (3), полученный результат является вектором. В общих криволинейных координатах этот вектор равен

(10)

Выражение (10) получается из (3) если воспользоваться соотношениями (1)см.1, (2) и (12)см.2. При записи второго слагаемого в правой части выражения (3) следует учесть, что rota определяется через ковариантную производную от ковариантной компоненты вектора, а формула (12) определяет контровариантные компоненты вектора .

В ортогональных системах координат (10) принимает вид

, (11)

где физические компоненты вектора .

В частных случаях для физических компонент вектора из (11) следует:

а) в декартовой системе координат

; (12)

б) в цилиндрической системе координат

,

, (13)

,

где оператор Лапласа определяется выражением (8);

в) в сферической системе координат

,

, (14)

,

где оператор Лапласа определяется выражением (9).

Интегральные теоремы векторного анализа

Интегральные теоремы устанавливают связь между значениями тензоров внутри поля и их значениями на границах поля. В этом смысле они являются обобщением известной формулы Ньютона‒Лейбница

,

выражающей интеграл от производной функции через значения этой функции на границах интервала интегрирования.

Кроме упомянутой выше связи интегральные теоремы позволяют сформулировать инвариантные определения и , которые не содержат никаких указаний на конкретную систему координат и поэтому могут быть использованы для их вычисления в любой системе координат (косоугольной, криволинейной и др.).

Наконец, используя основные дифференциальные операции теории поля, эти теоремы можно записать в векторной форме, что делает их применение весьма удобным во многих разделах теоретической физики.

Для вывода требуемых соотношений рассмотрим интеграл

,

где скалярная функция прямоугольных декартовых координат . Интегрирование выполняется по некоторому объему V области трехмерного евклидова пространства, в которой задано скалярное поле .

Выполним интегрирование в направлении оси . Предварительно заметим, что прямая, параллельная оси , может пересекать поверхность S ограничивающую объем V в нескольких точках. Обозначив точки входа этой прямой внутрь объема через , а точки выхода через , получим

,

где площадь проекции области занимающей объем V на плоскость .

Элемент площади можно рассматривать как проекцию элемента поверхности S на плоскость . В точках входа прямой, параллельной оси , внутрь объема V

,

а в точках выхода

,

где орт внешней нормали к поверхности S, орт оси . Тогда

. (1)

В правой части формулы (1) интегрирование выполняется по поверхности S ограничивающей объем V.

Производная функции , являющаяся подынтегральной функцией интеграла в левой части (1), является и проекцией на ось . Записав выражения аналогичные (1) для проекций на оси и , умножим каждое равенство на орт соответствующей оси и сложим

полученные выражения. В результате придем к инвариантному, то есть независящему от выбора системы координат, равенству

. (2)

Рассмотрим точку М в скалярном поле функции . Охватим эту точку замкнутой поверхностью и допустим, что объем части пространства внутри поверхности достаточно мал. Тогда, применяя к (2) интегральную теорему о среднем, получаем

.

Здесь градиент функции в какой-то точке находящейся внутри объема , стремится к нулю одновременно с .

Следовательно,

. (3)

Будем теперь стягивать объем к точке так, чтобы его поверхность также стремилась к нулю. Тогда точка сольется с точкой М в силу непрерывности производных , являющихся компонентами вектора , и выражение (3) принимает вид

. (4)

Равенство (4), если предел в его правой части существует, можно рассматривать как определение градиента не зависящее от выбора системы координат.

Теперь будем считать, что в области G трехмерного евклидова пространства, ограниченной поверхностью S и имеющей объем V, задано векторное поле некоторого вектора . Возвратимся к формуле (1). Заменив в ней скалярную функцию f проекцией вектора на ось , имеем

.

Аналогичные соотношения можно записать для проекций и вектора .

Сложив правые и левые части этих равенств, получаем

= (5)

или

. (6)

Равенство (6) выражает теорему Остроградского в векторной форме: интеграл по объему от дивергенции векторного поля равен потоку векторного поля через произвольную замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. При этом предполагается, что проекции вектора непрерывны внутри поверхности S вместе со своими частными производными.

Применяя к формуле Остроградского (6) рассуждения подобные тем, которые позволили поучить из формулы (2) выражение (4), нетрудно убедиться, что

. (7)

Равенство (7) является инвариантным определением дивергенции: дивергенцией векторного поля в точке М называется предел, к которому стремится отношение потока векторного поля через произвольную, окружающую точку М, поверхность к ограниченному этой поверхностью объему при стремлении объема к нулю.

Из выражения (7) также следует, что дивергенцию векторного поля можно рассматривать как объемную плотность потока векторного поля в данной точке М. Некоторые примеры будут рассмотрены в параграфе .

Перейдем к рассмотрению . Используя формулу (1), найдем:

,

.

Отсюда

.

Аналогично можно получить еще два соотношения отличающихся от записанного циклической перестановкой индексов. Эти три соотношения эквивалентны векторному равенству

. (8)

Из (8), используя рассуждения приведенные выше, получаем равенство

, (9)

которое не зависит от системы координат и может служить инвариантным определением ротора.

Сравнивая равенства (4), (7) и (9) нетрудно заметить, что инвариантные определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля формально могут быть получены как результат действия оператора

(10)

на скалярную или векторную функции соответствующим образом. Соотношение (10) можно рассматривать как выражение оператора набла в форме, не зависящей от системы координат.

Символическая запись (10) означает, что применение оператора к некоторому выражению (…), скаляру или вектору , сводится к отысканию предела отношения величины некоторого поверхностного интеграла (в каждом случае своего) к величине объема, ограниченного поверхностью интегрирования, при стягивании области ограниченной этой поверхностью к некоторой внутренней точке М. Этот предел, по определению, не зависит от формы бесконечно малой поверхности охватывающей точку М.

Поместим точку М внутрь прямого цилиндра высоты h, образующие которого параллельны некоторому единичному вектору . Пусть площадь боковой поверхности цилиндра, а площади его оснований. Обозначим через , и внешние нормали к соответствующим составляющим поверхности цилиндра такие, что и , где орт касательной к боковой поверхности цилиндра. Найдем проекцию на направление вектора . Учитывая, что объем цилиндра и опуская индекс М в выражении (9), получаем

. (11)

Так как векторы , и коллинеарные, то подынтегральные функции в двух первых интегралах равны нулю. Оставшийся интеграл по боковой поверхности , учитывая, что

и , перепишем в виде

,

где направленный элемент контура основания цилиндра.

Тогда

. (12)

Интеграл , входящий в выражение (12), называется циркуляцией вектора по контуру . При его вычислении следует помнить, что направление обхода контура (L) связано с направлением вектора правилом правого винта.

Формула (12) определяет проекцию вектора на любое направление независимо от выбора системы координат:

проекция на какое-либо направление в каждой точке поля равна пределу отношения циркуляции вектора по границе плоской площадки, проходящей через эту точку, перпендикулярно к , к площади этой площадки, когда граница площадки стягивается к рассматриваемой точке.

Допустим, что в поле вектора дан замкнутый контур на который опирается криволинейная незамкнутая поверхность S (рисунок ). Разобьем поверхность на элементы , ограниченные контурами . Циркуляция вектора по контуру равна сумме циркуляций по контурам элементов , так как внутренние границы смежных элементов

, (14)

где орт нормали во внутренней точке элемента , стремится к нулю, если стремится к нулю. Подставив (14) в (13), получаем

. (15)

Перейдем к пределу, увеличивая количество m элементов до бесконечности и уменьшая до нуля. Тогда, заменяя сумму в правой части выражения (15) поверхностным интегралом, получаем

. (16)

Формула (16) выражает теорему Стокса в векторной форме:

циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность , опирающуюся на контур .

Теорема Стокса завершает ряд основных интегральных теорем устанавливающих связь «область интегрирования ‒ граница области интегрирования».

Формулы Грина

Получим формулы Грина известные из матанализа. Не обсуждая их самостоятельного значения, мы воспользуемся ими для нахождения выражения оператора Лапласа в форме, не зависящей от системы координат. Проще всего требуемые формулы могут быть получены как частные случаи формулы Остроградского при соответствующем задании вектора .

Пусть вектор

,

где и скалярные функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого и второго порядков. Тогда

,

.

Подставив эти выражения в формулу Остроградского (6), получим первую формулу Грина

. (17)

Полагая вектор в формуле Остроградского равным

,

получаем вторую формулу Грина

. (18)

В частном случае обе формулы Грина совпадают и приводят к равенству

. (19)

Из равенства (19) следует, что оператор Лапласа можно представить в виде

(20)

независящем от системы координат.(Возможно добавить остатки стр.200 Борисенко).

Классификация векторных полей

В теории поля рассматривают три основных типа векторных полей: потенциальное поле, соленоидальное поле и лапласово поле. Основной характеристикой каждого из этих полей является потенциал поля, свой для каждого типа поля. Так, потенциалы лапласова и потенциального поля ‒ скаляры, потенциал соленоидального поля ‒ вектор.

Сразу отметим, что для всех трех типов полей соответствующие потенциалы могут быть определены однозначно только в том случае, если область G, в которой задано поле, является односвязной. Если G ‒ многосвязная область, то потенциалы становятся многозначным. В этом случае их определение требует введения дополнительных условий налагаемых на (резко сужает )

В связи со сделанным замечанием, напомним понятия односвязной и многосвязной областей. Область называется однозначной, если любой замкнутый контур, расположенный внутри области, может быть стянут в точку непрерывным образом, не пересекая границ области. Примерами односвязных областей могут служить: все пространство, вся плоскость, область внутри или вне шара, куба и т.п. Если это условие не выполняется, то область является многосвязной: двухсвязной, трехсвязной и т.д. Пример двухсвязной области показан на рисунке . Здесь

Теперь прейдем к рассмотрению конкретных типов полей.

Потенциальное векторное поле.

Векторное поле называется безвихревым в области G пространства ?????, если в каждой точке этой области

. (1)

Примером такого поля может служить поле градиента скалярной функции U, то есть

. (2)

В этом случае функция называется скалярным потенциалом векторного поля, а само векторное поле называется потенциальным. Из (2) следует, что если векторное поле имеет потенциал, то этот потенциал определяется полем однозначно, с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Всякое потенциальное поле, независимо от связности области G, является безвихревым. Это следует из формулы .Однако безвихревое поле является потенциальным только в том случае, если оно определено в односвязной области. Если область G многосвязная, то построить однозначную функцию потенциала в каждой точке нельзя. В этом случае принято говорить о многозначном потенциале поля.

Многозначность потенциала отражается на виде векторных линий поля. Векторные линии потенциального поля являются линиями градиента скалярного поля U. Если потенциал однозначен, то векторные линии его градиента не могут быть замкнутыми, так как тогда по таким линиям . У многозначного потенциала возможны замкнутые некоторые линии его градиента (рисунок).

Рассмотрим циркуляцию векторного поля по контуру :

. (3)

Отсюда следует, что в случае однозначного потенциала выражение является полным дифференциалом скалярного потенциала векторного поля. Следовательно, криволинейный интеграл

(4)

не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной М₀ и конечной М точек этого пути. Этот вывод, выражающий основное свойство потенциального поля, имеет весьма важное практическое значение. Например, если силовое поле имеет однозначный потенциал, то из (4) следует, что работа сил поля равна разности потенциалов в начальной и конечной точках.

Заметим, что (3) согласуется с теоремой Стокса

.

Так как теорема справедлива для любого контура, а следовательно и для любой поверхности, то равенство нулю поверхностного интеграла возможно, если , то есть если векторное поле потенциально

.

Соленоидальное векторное поле.

Векторное поле называется соленоидальным или вихревым в области пространства…., если в каждой точке этой области

. (5)

Примером соленоидального поля является поле ротора некоторой векторной функции , то есть

. (6)

Действительно, согласно ( ) .

Функция называется векторным потенциалом поля. Даже в односвязной области векторный потенциал поля определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции f, что следует из формулы .

Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что его векторные линии не имеют начала или конца. Они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Имея в виду физический смысл , можно сказать, что соленоидальное поле не имеет ни источников ни стоков.

Для доказательства этого свойства выделим в поле векторную трубку (рисунок ). Пусть и поперечные сечения трубки, а часть ее боковой поверхности. Обозначим через , и внешние нормали к соответствующим поверхностям, а через объем

заключенный в нашей поверхности . Тогда, согласно теореме Остроградского,

,

так как по определению соленоидального поля.

Отсюда, учитывая, что , следует

.

Интеграл по поверхности равен нулю, так как во всех точках этой поверхности векторы и ортогональны. Теперь, заменяя на , чтобы потоки через сечения и вычислялись в одном направлении, получаем

.

Так как сечения и выбраны произвольно, то записанное равенство означает, что поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки одинаков. А так как поток пропорционален числу векторных линий пересекающих поверхность, то, следовательно, через любое поперечное сечение трубки проходит одно и тоже число векторных линий. Последнее означает, что векторные линии соленоидального поля не возникают и не исчезают.

Лапласово векторное поле.

Векторное поле называется лапласовым, если в любой его точке выполняются равенства

;

.

Отсюда видно, что векторное лапласово поле одновременно является и потенциальным и соленоидальным.

Выше было установлено, что в односвязной области условие выполнено, если , где некоторая, непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка, скалярная функция. Тогда из условия следует

,

то есть функция должна удовлетворять уравнению Лапласа

. (7)

Таким образом в односвязной области G лапласово векторное поле полностью определяется функцией , удовлетворяющей уравнению Лапласа, которая является его скалярным потенциалом.

Функция непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков, удовлетворяющая уравнению Лапласа называется гармонической. Поэтому для изучения потенциала лапласова векторного поля используют свойства гармонических функций рассматриваемые в матанализе.(дать итог? Стр226 Бор).

Основная теорема векторного анализа теорема Гельмгольца?

Поле тензора второго ранга(Бор.стр177)