Метод Монте-Карло.

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание, причем в качестве приблизительного значения математического ожидания можно использовать среднее значение из серии испытаний случайной величины X.

Это соотношение можно использовать для приближенного вычисления интеграла. Пусть Т – это случайная величина равномерно распределённая на отрезке . Равномерность распределения означает, что плотность распределения этой случайной величины во всех точках отрезка имеет одинаковое значение равное единице. То есть плотность распределения для этой случайной величины равна

В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления по определению математического ожидания используется следующая формула

где, - это случайные числа равномерно распределённые на .

Тогда

При вычислении интеграла на путем замены интеграл приводится к отрезку если отрезок разбить на n частей, и каждый отрезок преобразовать в единичный, то для интеграла по

где - это случайное число на .

Метод 27

Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.

Особенно эффективно применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов. Например, двойной интеграл по области в виде единичного квадрата может быть представлен в виде

где - это случайные числа, равномерно распределённые на интервале

При интегрировании по прямоугольнику R, не совпадающему с единичным квадратом, необходимо сначала произвести преобразование переменных.

Обобщим метод Монте-Карло на область произвольной конфигурации. Пусть требуется вычислить двойной интеграл по области произвольной конфигурации.

Построим прямоугольник R охватывающий область и введём функцию, совпадающую с области и равную нулю за пределами области .

Очевидно, что искомый интеграл

Точность зависит от качества генератора, не совсем точная (равномерная плотность распределения).

Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).

К решению дифференциальных уравнений приводит большое число научно-исследовательских задач и задач инженерной практики, но лишь не многие из них удается решить аналитически, поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в инженерной практике.

Дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Для решения дифференциального уравнения необходимо задание дополнительных условий, если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такие условия называются начальными, а задача решения уравнения называется задачей с начальными условиями или задача Коши.

Если условия задаются при двух или более значениях переменной, то такие условия называются граничными, а задачу называют краевой.

В задаче Коши роль независимой переменной играет величина (время), а дополнительное условие для начального момента времени (). В краевых задачах в качестве независимой переменной выступает координата отрезка, а граничные условия задаются в начале и конце отрезка.

Для решения задачи Коши и краевой принимают различные численные методы. Часто краевую задачу решают путем сведения её к задаче Коши. Отсюда следует, что обычно задачи Коши являются более легкими для численного решения.

При численном решении вводится шаг по координате, и решение находится в точках отстоящих друг от друга на величину шага. Для решения задачи Коши разработано множество методов, которые можно разделить на 2 группы:

1 группа – одношаговые методы.

В них для нахождения решения в следующей точке (удаленной на расстояние h) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.

2 группа – многошаговые методы.

Методы прогноза и коррекции.

В них для нахождения значения в следующей точке требуется информация из нескольких предыдущих точек.

При численном решении дифференциальных уравнений можно выделить 3 типа погрешности:

1. погрешность округления;

2. погрешность усечения, связана с аппроксимацией бесконечных рядов несколькими первыми членами, обусловлена численным методом;

3. погрешность распространения, она является результатом накопления погрешностей появившихся на предыдущих этапах счета.

Метод 28