- •Новочеркасск 2008 Содержание
- •Тема №1 Модели и моделирование.
- •Погрешности численных методов.
- •Тема №2 Аппроксимация функций.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- •Метод половинного деления.
- •Метод простых итераций.
- •Метод Хорд
- •Метод Ньютона (касательных).
- •Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- •1) Прямые
- •2) Итерационные
- •Метод Гаусса.
- •Метод прогонки.
- •Уточнение решения (итерационный метод).
- •Метод Гаусса-Зейделя.
- •Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- •Простой Итерации
- •Метод Ньютона для систем уравнений.
- •Метод возмущения параметров.
- •Тема №6 Численное интегрирование.
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона.
- •Метод Гаусса.
- •Метод Монте-Карло.
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- •Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- •Метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера.
- •Метод Рунге – Кутта.
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- •Метод стрельбы.
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- •Уравнение теплопроводности.
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Тема №9 Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления.
- •Метод золотого сечения.
- •Метод покоординатного подъёма (спуска).
- •Метод градиентного подъёма (спуска).
- •Метод наискорейшего подъёма.
- •Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- •Задача о ресурсах.
- •Волновое уравнение.
- •Уравнение Лапласа.
Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
Задача нахождения корней нелинейного уравнения возникает достаточно часто.
Нелинейные уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные. Для алгебраического уравнения - это полином некоторой степени больше единицы.
Хотя алгебраические и трансцендентные уравнения часто решают одними и теми же методами, но существуют численные методы, использующие свойства алгебраических уравнений. Методы решения делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют найти решения уравнений непосредственно с помощью формул.
Пример: Решение квадратного уравнения по формулам Виета. В итерационных методах задаётся процедура решения в виде многократного применения некоторой процедуры. В этом случае нахождение корня уравнения состоит из двух этапов.
1 этап: отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка.
2 этап: уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной точности. Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами:
1) из физических соображений
2) из решения аналогичной задачи при других исходных данных;
3) графическим методом.
Если удалось найти две точки, образующих отрезок, на концах которого имеет различный знак, то в качестве начального приближения можно взять середину
Если знак разный, то это гарантирует, что между ними будет хоть один корень.
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате получается последовательность приближенных значений корня. Если эта последовательность с ростом (числа итераций) приближается к истинному значению корня, то итерационный процесс сходится. К сожалению, часто бывает, что итерационный процесс не сходится. Поэтому надо следить за условиями сходимости и предусмотреть возможность расхождения итерационного процесса.
Метод 10
Метод половинного деления.
Метод половинного деления является одним из простейших методов решения нелинейных уравнений, и один из самых распространённых.
Допустим, нам удалось найти отрезок, на концах которого функция имеет разный знак. В этом случае можно быть уверенным, что на отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения и (если - непрерывная)
Число корней n+1, n – четное.
В качестве начального приближения берем точку, находящуюся на середине отрезка
и получаем два отрезка и затем проверяем на концах, какого из этих двух отрезков функция имеет разный знак. Если знак у разный на отрезке , то полагаем и получаем новый отрезок , содержащий . Если на отрезке , то
Полученный сокращенный отрезок делим пополам и получаем .
If , then
else ,
При этом надо учитывать, что итерационный процесс может быть расходящимся. Но метод половинного деления обладает значительным преимуществом – он всегда сходится. На итерационном шаге с номером будет достигнута точность
Недостатком этого метода является достаточно медленная сходимость.
Метод 11