- •Новочеркасск 2008 Содержание
- •Тема №1 Модели и моделирование.
- •Погрешности численных методов.
- •Тема №2 Аппроксимация функций.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- •Метод половинного деления.
- •Метод простых итераций.
- •Метод Хорд
- •Метод Ньютона (касательных).
- •Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- •1) Прямые
- •2) Итерационные
- •Метод Гаусса.
- •Метод прогонки.
- •Уточнение решения (итерационный метод).
- •Метод Гаусса-Зейделя.
- •Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- •Простой Итерации
- •Метод Ньютона для систем уравнений.
- •Метод возмущения параметров.
- •Тема №6 Численное интегрирование.
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона.
- •Метод Гаусса.
- •Метод Монте-Карло.
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- •Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- •Метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера.
- •Метод Рунге – Кутта.
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- •Метод стрельбы.
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- •Уравнение теплопроводности.
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Тема №9 Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления.
- •Метод золотого сечения.
- •Метод покоординатного подъёма (спуска).
- •Метод градиентного подъёма (спуска).
- •Метод наискорейшего подъёма.
- •Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- •Задача о ресурсах.
- •Волновое уравнение.
- •Уравнение Лапласа.
Волновое уравнение.
Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс нестационарный, то одной из независимых переменных является время t. Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения.
Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используется для исследования колебаний тонкой пластины. Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в пространстве.
Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде
Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x,t) описывает положение струны в момент t. В этом случае , где Т — натяжение струны, — ее линейная плотность. Уравнение записано для случая свободных колебаний. Сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.
Решим задачу Коши для этого уравнения. Вот условия задачи:
Эти условия описывают начальную форму струны и скорость ее точек.
На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины . В этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закрепленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид
Для решения такой задачи используем явную трехслойную схему типа крест. Заменим в начальном уравнении вторые производные искомой функции U по t и х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции в узлах сетки
Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (j + 1)-м слое:
Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-м слое нужно знать решения на j-м и (j — 1)-м слоях. Поэтому начать счет можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Они находятся с помощью начальных условий. На нулевом слое имеем
Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием. Производную заменим конечно-разностной аппроксимацией.
Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое:
Отметим, что аппроксимация начального условия в таком виде ухудшает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка ,т. е. первого порядка по , хотя сама схема имеет второй порядок аппроксимации по h и . Положение можно исправить, если взять более точное представление
Так как,
то:
Теперь разностная схема обладает погрешностью аппроксимации порядка .
Рассмотренная разностная схема решения задачи условно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид
Следовательно, при выполнении этого условия и с учетом аппроксимации схема сходится к исходной задаче со скоростью .