- •Новочеркасск 2008 Содержание
- •Тема №1 Модели и моделирование.
- •Погрешности численных методов.
- •Тема №2 Аппроксимация функций.
- •Интерполяционная формула Лагранжа.
- •Сплайны
- •Сплайны третьей степени
- •Метод наименьших квадратов
- •Тема №3 Решение нелинейных уравнений.
- •Метод половинного деления.
- •Метод простых итераций.
- •Метод Хорд
- •Метод Ньютона (касательных).
- •Тема №4 Решение систем линейных уравнений.
- •1) Прямые
- •2) Итерационные
- •Метод Гаусса.
- •Метод прогонки.
- •Уточнение решения (итерационный метод).
- •Метод Гаусса-Зейделя.
- •Тема №5 Решение систем не линейных уравнений.
- •Простой Итерации
- •Метод Ньютона для систем уравнений.
- •Метод возмущения параметров.
- •Тема №6 Численное интегрирование.
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеции
- •Метод Симпсона.
- •Метод Гаусса.
- •Метод Монте-Карло.
- •Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
- •Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду).
- •Метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера.
- •Метод Рунге – Кутта.
- •Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
- •Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков.
- •Метод стрельбы.
- •Метод конечных разностей (мкр) (метод сеток).
- •Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- •Уравнение теплопроводности.
- •Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности.
- •Тема №9 Задачи оптимизации.
- •Метод половинного деления.
- •Метод золотого сечения.
- •Метод покоординатного подъёма (спуска).
- •Метод градиентного подъёма (спуска).
- •Метод наискорейшего подъёма.
- •Тема №10 Задания для самостоятельной проработки. Транспортная задача.
- •Задача о ресурсах.
- •Волновое уравнение.
- •Уравнение Лапласа.
Тема №2 Аппроксимация функций.
Возьмём функцию, относительно этой функции известно, что в n точках с координатами, где функция принимает значения . Предположим, что аргумент x находится в пределах отрезка , такого что .
Значения могут быть результатами эксперимента или расчёта по какой-то сложной формуле.
Нашей задачей является приближенное нахождение искомой функции . Приближенная замена искомой функции некоторой другой известной функцией называется аппроксимацией. Для практики важен случай аппроксимации неизвестной функции многочленами.
В этом случае аппроксимация сводится к нахождению коэффициентов полинома. Коэффициенты полинома подбирают таким образом, чтобы достичь наибольшей близости полинома к неизвестной функции .Таким образом, неизвестная функция – это аппроксимируемая функция, а полином – это аппроксимирующая функция.
Понятие близости может отличаться в различных методах аппроксимации.
Метод 1
Интерполяционная формула Лагранжа.
Интерполяционная формула Лагранжа есть формула полинома степени , проходящего через все узлы интерполяции. То есть, через точки можно провести единственный полином степени n
Построим такой полином.
Введём полином
Легко убедится, что во всех точках кроме точки .
, если
, если
Отсюда следует, что искомый полином, проходящий через все табличные точки можно представить в виде
Так как - это полином степени , то и тоже является полиномом степени .
Другого полинома отличного от полинома Лагранжа проходящего через все узлы быть не может. С помощью полинома Лагранжа можно вычислить приближённое значение аппроксимируемой функции для любого . Таким образом, нахождение аппроксимируемой функции для значений х внутри заданного отрезка , называется интерполяцией, а за пределами экстраполяцией. Экстраполяция даёт значительно большую погрешность, чем интерполяция, поэтому её желательно избегать.
Вычисление полинома Лагранжа обычно не представляет трудности, однако пользоваться им следует с достаточной осторожностью. Дело в том, что полином Лагранжа, особенно при больших значениях может испытывать резкие колебания (особенно сильные вблизи концов отрезка интерполирования ). Поэтому при некоторых значениях аргумента полином Лагранжа может давать значительную погрешность.
Эта погрешность непрерывно распределена на отрезке . При равноотстоящих узлах наибольшая точность наблюдается в середине интервала , а наименьшая вблизи концов интервала. Можно построить интерполяционный полином для которого погрешность равномерно распределена по отрезку , для этого узлы должны являться корнем полинома Чебышева.
Метод 2
Сплайны
При большом числе узлов интерполяции {} использование полинома Лагранжа может оказаться нежелательным, в этом случае аппроксимацию можно производить с помощью сплайнов.
Сплайн – это функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всём заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке {} в отдельности является полиномом некоторой степени. Максимальная по всем частичным отрезкам степень полинома называется степенью сплайна. Простейшим сплайном, сплайном 1-й степени, является кусочно-линейная функция. Представим уравнение сплайна для -го интервала в виде уравнения . Найдём коэффициенты сплайна и для этого используем следующие условия непрерывности.
Из этих условий получаем
Метод 3