Решение

Напряженность поля в сферическом конденсаторе: E(r )=kq/r², если R₁<r< R₂. Разность потенциалов между пластинами

Отсюда находим емкость конденсатора C=4πε₀/(1/R₁-1/R₂). Энергия поля составляет

W_эл=q²/2C

13. Электрическая цепь состоит из источника тока с постоянной ЭДС Є и внутренним сопротивлением r и внешнего сопротивленя R. Определить, как зависит полезная мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении, и КПД источника в цепи от величины внешнего сопротивления R. Построить графики этих зависимостей. При какой величине сопротивленя R тепловая мощность, выделяемая в нем, будет максимальна?

Решение.

Для нахождения тока следует воспользоваться законом Ома для замкнутой цепи

IR+Ir-Є=0.

Отсюда получается ток I=Є/(R+r). Мощность, выделяющуюся в сопротивлении, следует найти по закону Джоуля-Ленца:

W_R=I²R=Є²R/(R+r)²

Мощность, расходуемая источником тока:

W_Є=ЄI=Є²/(R+r)

Тогда КПД составит:

КПД= W_R/ W_Є =R/(R+r)

Для нахождения максимальной мощности, выделяющейся в сопротивлении, используем условие максимума функции:

dW_R/dR=Є²[((R+r)²-2R(R+r)]/ (R+r)⁴=Є²(r-R)/(R+r)³=0,

т.е. максимальная мощность выделяется в сопротивлении при R=r и составляет

(W_R)_макс=Є²/4r

14. В электрической цепи определить показания идеальных вольтметра и амперметра. ЭДС источников тока и их внутренние сопротивления равны соответственно: Є₁=9 В, Є₂= 12В, r₁=3 Ом , r₂=4 Ом, сопротивление резистора R=5 Ом. Какое количество тепла выделится в резисторе R за время t=10 с?

Решение.

Идеальный вольтметр обладает бесконечным внутренним сопротивленим, идеальный амперметр – нулевым внутренним сопротивленим. По закону Джоуля-Ленца в резисторе R за время t выделится энергия Q=I²Rt. Таким образом, требуется найти ток через резистор R.

П

Є₂₂

r₂

о первому правилу Кирхгофа имеем:

I₁+I₂=I

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Для контуров, содержащих резистор R и источники тока по второму правилу Кирхгофа имеем:

IR+I₁r₁ - Є₁=0

-IR - I₂r₂ - Є₂=0

Выражая из первого уравнения ток I₂ и подставляя в последнее уравнение, имеем:

IR+I₁r₁ =Є₁

IR +Ir₂ - I₁ r₂=-Є₂

Умножая первое уравнение на r₁, а второе – на r₂ и складывая, получим

I=( r₂Є₁ - r₁Є₂)/(R(r₁+r₂)+r₁r₂)

Окончательно, Q=I²Rt. Подставляя численные значения, получим I=0, Q=0.

15. Определить заряд конденсатора в цепи в установившемся режиме. Считать все параметры элементов цепи известными. Какое колическво теплоты выделится на резисторах R₁ и R₂ после размыкания ключа?

Решение.

В установившемся режиме ток через конденсатор не течет, он заряжен до напряжения, равного падению напряжения на резисторе R₂. Полное сопротивление замкнутого контура, по которому протекает ток, образовано последовательно соединенными сопротивлениями резисторов R₂ и R₃ и внутренним сопротивлением источника тока. По закону Ома для замкнутой цепи ток в ней составит

I=Є/(R₂ + R₃+r)

Падение напряжения на резисторе R₂

U=I R₂=Є R₂/(R₂ + R₃+r)

Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе, после замыкания ключа перейдет в теплоту Q, которая выделится на резисторах R₁ и R₂ ,

Q=CU²/2.

16. В масс-спектрометре заряженные частицы массой m и зарядом q первоначально ускоряются в электрическом поле, проходя без начальной скорости разность потенциалов U. Затем они поступают в магнитное поле с индукцией B перпендикулярно направлению поля и движутся в магнитном поле по окружности радиуса R. Определить удельный заряд частиц q/m.

Решение.

При ускорении заряженной частицы в электрическом поле потенциальная энергия частицы, при прохождении разности потенциалов U составляющая qU, переходит в кинетическую энергию:

При попадании частицы в магнитное поле перпендикулярно направлению поля частица под действием силы Лоренца движется по дуге окружности радиуса R:

Отсюда получается vBR=2U, или v=2U/RB. С другой стороны, из второго уравнения следует v=(q/m)RB, и окончательно

(q/m)=2U/(RB)² .

17. Плоская прямоугольная катушка из N=100 витков со сторонами a=10 см и b=20 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В=0.1 Тл. Каков максимальный вращающий момент может действовать на катушку, если сила тока в катушке I=2A.

Решение.

Пусть ось x направлена вдоль одной из сторон катушки, ось y – вдоль другой стороны, ось z - параллельно нормали к плоскости катушки, начало координат выбрано в одной из вершин катушки. При вращении правого винта по направлению тока в катушке винт движется в направлении единичного вектора нормали . На рисунке показаны положение и размеры катушки и направление тока I.

В выбранной системе координат вектор нормали совпадает с базовым вектором системы координат.

Токи в проводниках 03 и 12 противоположны по направлению, а длины этих проводников равны. Поэтому силы Ампера, действующие на эти проводники, равны и противоположны, т.е. образуют пары сил. Момент пары этих сил составляет . Аналогично, момент пары сил, действующих на проводники 01 и 23 составляет . Для сил Ампера имеем , . Подставляя выражения для сил Ампера в выражения для моментов и раскрывая по правилам двойные векторные произведения, для полного момента сил, действующих на виток катушки, получается следующее выражение

Замечая, что векторное произведение , полный момент сил Ампера, действущих на виток катушки, можно представить в виде

,

где S=ab – площадь витка. Можно определить магнитный момент витка с током как , вектор нормали к плоскости витка образует правовинтовую систему с направлением тока в витке. Тогда момент сил Ампера составит . Последние два выражения записаны в инвариантой виде, т.е. не зависят от выбора системы координат и применимы для витков любой формы.

Складывая моменты сил, действующих на каждый виток катушки, получаем полный момент сил

,

Он максимален, когда вектор индукции перпендикулярен нормали к плоскости витков катушки и составляет M_макс=NISB. Подставляя численные значения, находим

M_макс=100 2 0.1 0.2 0.1=0.4 Н м

18. По круговоаму витку радиуса R циркулирует ток I. Определить индукцию магнитного поля на оси витка в зависимости от расстояния х от его центра. Построить график этой зависимости. Исследовать предельные случаи x<<R и x>>R.